1、1,復(fù)變函數(shù)的主要研究對象是解析函數(shù).因?yàn)椋环矫嫠哂斜容^良好的性質(zhì)，如能展成冪級數(shù)，具有任意階導(dǎo)數(shù)，實(shí)、虛部皆為調(diào)和函數(shù)；另一方面這也是實(shí)際問題中應(yīng)用較為廣泛的一類函數(shù)，如平面無旋流體的流函數(shù)與勢函數(shù)，靜電場中的電通量和電位，它們皆與解析函數(shù)有密切聯(lián)系.,第二章 解析函數(shù),2,主要內(nèi)容： 1、解析函數(shù)的概念； 2、函數(shù)可導(dǎo)與解析的充要條件； 3、初等函數(shù).,第二章 解析函數(shù),3,1 解析函數(shù)的概念,實(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),4,5,1、導(dǎo)數(shù)定義,定義 設(shè)函數(shù)w=f (z) zD, 且z0、 z0 +zD， 如果極限 存在，則稱函數(shù) f (z)在點(diǎn)z0處可導(dǎo)。稱此極限值為f (z)在z0的導(dǎo)數(shù)， 記作,

2、如果w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱 f (z)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo).,6,應(yīng)當(dāng)注意, 定義中z0+Dzz0(即Dz0)的方式是任意的, 定義中極限值存在的要求與z0+Dzz0的方式無關(guān), 也就是說, 當(dāng)z0+Dz在區(qū)域D內(nèi)以任何方式趨于z0時(shí), 比值,若上述極限不存在，則稱函數(shù)在z0點(diǎn)不可導(dǎo).,7,微分,稱為f(z)在z0處的微分.,8,例1,解,9,例2,解,2、 可導(dǎo)與連續(xù)之間的關(guān)系,10,注：與實(shí)變函數(shù)一樣，一個(gè)復(fù)變函數(shù)連續(xù)不一定可導(dǎo)！,11,實(shí)變函數(shù)的連續(xù)與可導(dǎo),如果函數(shù)圖像在某一點(diǎn)有角，那么雖然圖像時(shí)連續(xù)的但是由于不能在一個(gè)角上確定它的切線，從而不能確定切線的斜率，也就不能確定導(dǎo)數(shù)，

3、所以導(dǎo)數(shù)不存在 只要可導(dǎo)，那么在這一點(diǎn)就是有定義的，并且由于有定義，所以在這一點(diǎn)的極限值等于函數(shù)值，從而確定是連續(xù)的，也就是說的可導(dǎo)必連續(xù)。,12,與實(shí)函數(shù)一樣，可導(dǎo)一定連續(xù).,事實(shí)上, 由在z0點(diǎn)可導(dǎo)的定義, 對于任給的e 0, 相應(yīng)地有一個(gè)d 0, 使當(dāng)0|Dz|d 時(shí), 有,13,由于復(fù)函數(shù)與實(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義和極限運(yùn)算法則在 形式上完全一致，因而二者具有相同的求導(dǎo)法則：,3、 求導(dǎo)法則,14,（5）反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ，其中 w=f (z) 與z=(w)互為單值的反函數(shù)，且(w)0.,這樣，我們知道多項(xiàng)式處處可導(dǎo).例如，,另外，有理分式在分母不為零的點(diǎn)處可導(dǎo).,15,4、 解析函數(shù)的概念,不解

4、析的點(diǎn)稱為奇點(diǎn).,注：（1）可導(dǎo)與解析是兩個(gè)完全不同的概念，解析 一定可導(dǎo)，但可導(dǎo)未必解析.不解析的點(diǎn)可能可導(dǎo)， 即解析的條件比可導(dǎo)要強(qiáng)，但我們卻有以下結(jié)論：,若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)，則在D內(nèi)一定解析.,即在區(qū)域上，可導(dǎo)與解析是等價(jià)的.（為什么？）,例如:,以z=0為奇點(diǎn),16,關(guān)于解析函數(shù)一些作者不用解析而用各種不同的名稱，例如全純，正則，解析正則，單演，伴生（synectic）等,17,例3,答案：,18,19,極限不存在.,20,21,22,例4,解,23,定理1.1 解析函數(shù)的和、差、積、商仍為解析函數(shù).,由求導(dǎo)法則，不難看出：,定理1.2 解析函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為解析函數(shù).,24,2 函

5、數(shù)可導(dǎo)與解析的條件,本節(jié)內(nèi)容：介紹一種判別函數(shù)可導(dǎo)性、解析性的非常有效的方法；建立函數(shù)的可導(dǎo)性與其實(shí)、虛部的偏導(dǎo)之間的關(guān)系.,25,舉例嘗試,容易求得,觀察、尋找聯(lián)系后發(fā)現(xiàn)有,26,究竟是偶然的現(xiàn)象還是必然的規(guī)律？,？,為方便起見，對于實(shí)二元函數(shù) g(x, y),記,27,(1) 此條件也被稱為達(dá)朗貝爾-歐拉條件,注,(2) 這個(gè)條件實(shí)際上是復(fù)變函數(shù)論與偏微分方程理 論之間的一座橋梁。,28,推論1 函數(shù)f (z)=u(x, y)+iv(x, y),如果u(x, y) 和 v(x, y)的四個(gè)偏導(dǎo)數(shù) : 在點(diǎn)(x,y)處連續(xù), 且滿足C-R方程，則f(z)在點(diǎn) z=x+iy處可導(dǎo)。,29,定理2 函數(shù)f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D內(nèi)解析充要 條件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D內(nèi)可微，且 滿足Cauchy-Riemann方程,30,推論2 函數(shù)f (z)=u(x, y)+iv(x, y),在區(qū)域D內(nèi)有定義，如果在D內(nèi)u(x, y) 和 v(x, y)的四個(gè)偏導(dǎo)數(shù) : 存在且連續(xù), 并且滿足C-R方程，則f(z)在D內(nèi)解析。,31,解,不滿足柯西黎曼方程,32,四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù),指數(shù)函數(shù),33,四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù),34,例2.2,解,35,例2.3,證明,36,小 結(jié),1、導(dǎo)數(shù)的概念，復(fù)變函數(shù)