1、2.4.1平面矢量積的物理背景和意義1.平面向量的數量積。(強調)2.平面向量數量積的幾何意義。(困難)3.矢量積和實數乘法的區(qū)別。基礎探索教材編排中1矢量積的定義和性質閱讀課本P103P104中的“例1”，完成下列問題。1.向量數量積的定義已知兩個非零矢量a和b，它們的夾角為。我們稱數量|a|b|cos 為a和b的數量積(或內積),并將其寫成ab，即ab=| a | | b | cos 。規(guī)定零矢量和任意矢量的數量積為0。2.向量數量積的性質假設A和B是非零向量，是A和B之間的角度.(1)abab=0.(2)當甲和乙在同一個方向時，AB=|甲| |乙|；當A和B相反時，AB=-| A | |

2、 B |。(3) aa=| a | 2或| a |=。(4)cos =。(5)|ab|a|b|。判斷(正確鍵入“”和“錯誤鍵入”)(1)矢量夾角和直線傾角的范圍相同。()(2)兩個向量的數量積是一個向量。()(3)讓向量a和b之間的角度為，然后是cos 0ab0.()分析 (1)因為矢量的夾角包含180，所以直線的傾角不包含180。(2)因為兩個向量的乘積沒有方向，所以它不是向量。(3)。根據數量產品的定義?；卮?(1) (2) (3)。教科書中兩個向量數量積的幾何意義和運算規(guī)律閱讀課本P104案例1至P105案例2，完成下列問題。1.矢量積的幾何意義(1)投影的概念如圖241所示：=a，=b

3、，如果BB1垂直于直線OA并且垂直腳是B1，那么ob1=| b | cos 。|b|cos 稱為矢量b在一個方向上的投影，而|a|cos 稱為矢量a在b方向上的投影。圖241(2)數量乘積的幾何意義：ab的幾何意義是數量乘積ab等于a |a|的長度和b在a |b|cos 方向上的投影的乘積。2.矢量積的算術定律(1) ab=ba(交換定律)。(2) ( a) b= (ab)=a ( b)(關聯(lián)定律)。(3)(甲乙)丙=丙(分配定律)。假設| a |a|=3，向量a和b之間的夾角為，a在b方向的投影為_ _ _ _ _ _ _ _ _。分辨率矢量a在b方向的投影是| a | cos =3cos=

4、?；卮鹦〗M合作類型與矢量積相關的概念(1)以下四種說法是正確的_ _ _ _ _ _ _ _ _。(1)如果ab=0，a=0或b=0；如果向量a和b滿足ab0，則a和b形成的角度為鈍角；在 ABC中，如果=0，則ABC是一個直角三角形；如果向量A和B是兩個單位向量，A2=B2。(2)假設| A |a|=3，| B |b|=5，AB=-12，A在B方向的投影為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。(3)如果已知等腰三角形底邊的長度為4，則=_ _ _ _ _ _ _。根據數量乘積的定義、性質、運算法則和投影定義。(1) ab=| a | | b |

5、cos (是矢量a和b之間的角度)是從量積的定義中已知的。如果AB=0，=90或A=0或B=0，那么是錯誤的；如果ab0，是鈍角或=180，那么是錯的；從=0可知B=90，所以ABC是一個直角三角形，所以是正確的；用a2=| a | 2=1和B2=| b | 2=1，是正確的。(2)如果A和B之間的夾角為，那么ab=|a|b|cos =-12，因此，向量a在向量b方向上的投影是| a | cos=-；向量b在向量a方向上的投影是| b | cos=-4。(3)如圖所示，傳球a是ADBC，垂直腳是d .因為ab=交流，因此BD=BC=2，所以| | cosABC=| |=|=4=2。因此=| |

6、 | | cosABC=42=8?；卮?(1) (2)-4 (3) 81.當寫數量積時，a和b用一個實心點“”連接，但不能用“”連接，更不用說省略了。2.求平面向量數量積的方法：(1)如果向量的模及其夾角已知，則直接使用公式ab=| a | | b | cos 。(2)如果一個向量的模和另一個向量在這個向量上的投影是已知的，則量的乘積的幾何意義可以用來求ab。再練習一個問題1.給出以下判斷：如果a2 B2=0，那么a=b=0；已知A、B和C是三個非零向量。如果甲乙=，|交|=|交|；a和B共線，AB=| A | | B |a|b|0，則之間的夾角正確的是_ _ _ _ _ _ _ _。分辨率因

7、為a20，b20，如果a2 B2=0，那么a=b=0，所以是正確的；如果A B=0，那么A=-B，A，B和C是三個非零向量，所以AC=-BC，所以| AC |=| BC |，是正確的；a和b共線ab=| a | | b |，所以是不正確的；應該有| a | | b |ab；對于，應為AAA=| a | 2a A2 B2 2 | A | | B | 2ab，正確；當A和B之間的角度為0時，也有ab0，所以是錯誤的；|b|cos 表示矢量b在矢量a方向上的投影數，而不是投影長度，因此是錯誤的?？偠灾?， 是正確的?；卮?數量產品的基本操作已知| a |a|=4，| b |b|=5，當(1)ab；(

8、2)ab；(3)當甲和乙的夾角為135時，分別計算甲和乙的數量積。TutorialNo。高光 (1)當AB時，A和B之間的角度可以是0或180。(2)當ab時，a和b之間的角度是90。(3)如果和之間的角度和模量已知，可以用=| | cos(是和之間的角度)來計算。讓向量a和b之間的夾角為，(1)當ab時，有兩種情況：如果a和b在同一方向，=0，ab=| a | | b |=20如果a和b相反，=180，ab=-| a | | b |=-20。(2)當ab=90時，ab=0.(3)當a和b之間的角度為135時，ab=|a|b|cos 135=-10。1.求平面向量的數量積的步驟如下：求a和b之

9、間的夾角，0，;分別查找|a|和| b |;求量的乘積，即ab=| a | | b | cos 。2.非零向量A和B共線的條件是AB=| A | | B |。再練習一個問題2.假設正三角形的邊長為1，求：圖242(1)；(2)；(3)。解決方法 (1)與的夾角為60，=|cos 60=11=。(2)與的夾角為120，=|cos 120=11=-。(3)與的夾角為60，=|cos 60=11=。與向量模相關的問題假設向量a和b之間的夾角為120 ,并且| a |a|=4，| b |b|=2，則找到：(1)| a+b |；(2) |(甲乙)(甲-2B) |。TutorialNo。妙招用AA=A2或

10、| a |=來解決問題。自治解已知ab=| a | | b | cos =42cos120=-4，a2=| a | 2=16，B2=| b | 2=4。(1)|a+b|2=(a+b)2=a2+2ab+b2=16+2(-4)+4=12,|a+b|=2.(2)(a+b)(a-2b)=a2-ab-2b2=16-(-4)-24=12,|(a+b)(a-2b)|=12.1.這類模問題一般轉化為模平方問題，它與數量積有關。2.利用AA=A2=| A | 2或| A |=，可以實現(xiàn)實數運算和向量運算的相互轉換。再練習一個問題3.如果閥桿條件不變，則要求使用| a-b |。解決方法因為| a |a|=4，|

11、b |b|=2，a和b之間的夾角=120。所以| a-b |=2，所以| a-b |=2。調查研究類型平面向量數量積的性質詢問1讓A和B是非零向量。如果ab，ab等于多少？情況正好相反嗎？提示 a Bab=0。當A和B在同一個方向時，ab等于什么？當A和B相反時，ab等于什么？特別是，aa等于什么？提示當甲和乙在同一個方向時，AB=|甲| |乙|；當甲和乙相反時，甲=-|甲| |乙|；AA=A2=| A | 2或| A |=。3 |ab|和| a | b |之間的大小關系是什么？為什么？對于向量A和B，如何找到它們的夾角？提示 |ab|a|b|，讓A和B之間的角度為，然后AB=| A | |

12、B | cos 。雙方都絕對值得：|ab|=|a|b|cos |a|b|。當且僅當| cos |=1時，也就是說，當cos =1，=0或時，取“=”。因此，|ab|a|b|。cos =。假設| a |a|=3，| b |b|=2，向量a和b之間的角度是60，c=3a 5b，d=ma-3b，當m是什么值時，c垂直于d？妙點 ab由條件計算，當cd，CD=0時，列方程由m求解.自治解稱為ab=32cos60=3。對于cd，CD=0，也就是說，CD=(3a 5b)(ma-3b)=3m a2(5m-9)ab-15 B2=27m+3(5m-9)-60=42m-87=0。 m=，也就是說，當m=，c和d是

13、垂直的。1.非零向量a和b是已知的。如果ab，那么ab=0，反之亦然。2.假設A和B之間的角度為，使用公式cos =計算角度。求解時注意矢量角的取值范圍0，。再練習一個問題4.如果非零向量A和B滿足| A |=3 | B |=| A 2B |，則A和B之間的夾角余弦為_ _ _ _ _ _。resolution讓a和b之間的角度為，因為| a |=3 | b |，所以| a | 2=9 | b | 2。和| a |=| a 2b |，所以| a | 2=| a | 2 4 | b | 2 4ab=| a | 2+4 | b | 2+4 | a | b | cos=13 | b | 2+12 |

14、 b | 2cos，也就是說，9 | b | 2=13 | b | 2 12 | b | 2 cos ，所以cos =-?；卮?1.在ABC中，BC=5，AC=8，c=60，然后=()A.20 B.-20c . 20d-20分辨率=| | | | cos120=58=-20?；卮鹨?.假設e1和e2是兩個平行的單位向量。以下結果是正確的()A.e1e2=1 B.e1e2=-1C.|e1e2|=1 D.|e1e2|1解析 e1e2=| E1 | | E2 | cos =1。答案 C3.在ABC中，=a，=b，ba=0，則ABC為()A.銳角三角形C.直角三角形d。無法確定解析在ABC中，因為ba=0，ba，所以ABC是一個直角三角形。答案 C4.已知| A |a|=4，E是單位向量，A在E方向的投影是-2，那么A和E之