1、7.4 基本不等式及不等式的應(yīng)用,高考數(shù)學(xué),考點(diǎn)一基本不等式 1.幾個(gè)重要不等式 (1)a2+b22ab(a,bR). (2)(a,bR+). (3)+2(a,b同號). (4)ab(a,bR). (5)(a,bR+). (6)三角不等式 |a|-|b|ab|a|+|b|,知識清單,|a1a2an|a1|+|a2|+|an|. 2.利用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)求函數(shù)的最值 (1)已知x、yR+,如果積xy是定值P,那么當(dāng)x=y時(shí),和x+y有最小值,是2. (2)已知x、yR+,如果和x+y是定值S,那么當(dāng)x=y時(shí),積xy有最大值,是S2.,考點(diǎn)二不等式的綜合應(yīng)用 1.常用的證明方法 (1)比較法

2、 a.作差比較.如,a、b、m均為正數(shù),且a.基本步驟:作差, 變形,定號. b.作商比較.基本步驟:作商,變形,與1比較大小. (2)分析法與綜合法 令字母A、A1、A2、An、B分別表示一個(gè)不等式,其中B為已知不等式,A為待證不等式. 若有AA1A2AnB,綜合法是由B前進(jìn)式地推導(dǎo)A,分析法則是由A倒退式地分析到B.用分析法時(shí),必須步步充分.,(3)反證法 從否定結(jié)論出發(fā),經(jīng)過邏輯推理,得出矛盾,證實(shí)結(jié)論的否定是錯(cuò)誤的,從而肯定原結(jié)論正確. (4)放縮法 欲證AB,可通過適當(dāng)放大或縮小,借助一個(gè)或多個(gè)中間量,即BB1,B1B2,BiA或AA1,A1A2,AiB,再利用傳遞性,達(dá)到證明目的.

3、 (5)三角代換法 如,若x2+y2=1,求證:|x2-2xy-y2| . 分析:由于x2+y2=1,故可設(shè)x=cos ,y=sin , 則|x2-2xy-y2|=|cos2-2sin cos -sin2| = .,(6)基本不等式法 使用時(shí)要注意條件是否滿足以及等號何時(shí)取得. (7)函數(shù)增減性法 如,若0u,求證:u+. 分析:基本不等式的基本條件不具備,即u=時(shí),u=1,而0u,不能 取等號,可設(shè)f(u)=u+,u,可以得到f(u)在上為減函數(shù), u+ f=. (8)幾何法 如,已知a,bR,且a+b+1=0,求證:(a-2)2+(b-3)218. 分析:設(shè)直線x+y+1=0及直線外一點(diǎn)A

4、(2,3),P(a,b)為直線上任意一點(diǎn),|PA|,=,點(diǎn)A到直線的距離d=3.由于|PA|d,所以 原命題成立. (9)判別式法 如,y=,求證:y3.證明略. 2.幾個(gè)重要放縮不等式 (1)ab0,am0,則1,-.,利用基本不等式求最值的解題策略 1.已知某些變量(正數(shù))的積為定值,求和的最小值. 2.已知某些變量(正數(shù))的和為定值,求積的最大值. 在運(yùn)用基本不等式解決上述問題時(shí)要注意“一正、二定、三相等”.創(chuàng)建一個(gè)使用基本不等式的情境,常用技巧:變常數(shù)、變系數(shù)、拆項(xiàng)等. 3.對于函數(shù)f(x)=ax+(a0,b0)定義域內(nèi)不含實(shí)數(shù) 的類型的最值 問題,要會用函數(shù)單調(diào)性求解. 例1(201

5、7浙江高考模擬訓(xùn)練沖刺卷四,16)已知a+b=5(a-1,b-2),則+的最大值為.,方法技巧,解題導(dǎo)引 把+平方后開方利用基本不等式得最大值檢驗(yàn)等號成 立的條件結(jié)論,解析a+10,b+20,+= =4, 當(dāng)且僅當(dāng)a=b+1時(shí)取等號,又a+b=5,故當(dāng)a=3,b=2時(shí),+取最大 值,最大值為4.,答案4,評析本題考查利用基本不等式求最值,平方消去根號,考查化歸轉(zhuǎn)化思想.在解答此類問題時(shí),一定要注意“一正、二定、三相等”的原則.,不等式綜合應(yīng)用的解題策略 例2(2017浙江寧波二模(5月),17)若6x2+4y2+6xy=1,x,yR,則x2-y2的最大值為 .,解題導(dǎo)引 導(dǎo)引一:設(shè)x+y=m,

6、x-y=n,將原問題轉(zhuǎn)化為已知4m2+mn+n2=1,求mn的最大值問題利用基本不等式得最大值檢驗(yàn)等號成立的條件結(jié)論 導(dǎo)引二:利用x2-y2=,將x2-y2化為齊次式設(shè)t=,轉(zhuǎn)化為求關(guān) 于t的分式函數(shù)的最大值利用判別式求最大值結(jié)論 導(dǎo)引三:湊配系數(shù),利用基本不等式求最大值檢驗(yàn)等號成立的條件結(jié)論,解析解法一:設(shè)m=x+y,n=x-y,則問題轉(zhuǎn)化為“已知4m2+mn+n2=1,求mn的最大值”. 由基本不等式,知1=mn+4m2+n2mn+4|mn|,所以-mn,當(dāng)且僅當(dāng)n= 2m, 即x=-3y時(shí),取到最大值. 解法二(齊次化處理):顯然要使得目標(biāo)函數(shù)取到最大值,x0. 令z=x2-y2=,設(shè)t=,則z=,則(4z+ 1)t2+6zt+6z-1=0對tR有解.,當(dāng)z=-時(shí),t=-. 當(dāng)z-時(shí),=36z2-4(4z+1)(6z-1)0,解得-z.當(dāng)t=-=-時(shí)取 到最大值. 解法三:1=6x2+4y2+6y6x2+4y2-6=5x2-5y2,所以x2-y