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1、4.1 中值定理,4.1.1 中值定理,4.1.2 洛必塔法則,如果函數(shù) 滿足條件：,則在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使,定理4.1（羅爾定理）,4.1.1 中值定理,幾何解釋:,例設(shè)，在區(qū)間顯然滿足羅爾定理前兩個(gè)條件.且 ，即第三個(gè)條件也成立,例1驗(yàn)證函數(shù) 在區(qū)間 上滿足羅爾定理的三個(gè)條件,并求出滿足 的 ,解 因 是多項(xiàng)式,所以在 上可導(dǎo)，故在 上連續(xù)， 且在 可導(dǎo).,容易驗(yàn)證,因此， 滿足羅爾定理的三個(gè)條件.,而,練習(xí)一下列函數(shù)在指定的區(qū)間上是否滿足羅爾定理的條件？如滿足，就求出定理中的 .,定理4.2（拉格朗日Lagrange定理）,則在區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得,.,如果函數(shù)滿足條件：,幾何解

2、釋:,就是滿足定理結(jié)論的點(diǎn).,還有下面兩個(gè)推論：,推論1如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都等于零，則在 內(nèi) 是一個(gè)常數(shù).,例2驗(yàn)證函數(shù) 在區(qū)間 上 滿足拉格朗日定理.,例3證明：在區(qū)間 內(nèi),練習(xí)二下列函數(shù)在指定的區(qū)間上是否滿足拉格朗日定理的條件？如滿足，就求出定理中的 .,定義如果當(dāng)(或)時(shí)，兩個(gè) 函數(shù)與都趨于零或都趨于無窮大， 那么極限可能存在，也可能不存在. 通常把這種極限稱為或未定式。,例如,4.1.2 洛必塔法則,(2)與在點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)(點(diǎn)可除外)可導(dǎo)，且；,(1)，；,(3)（或）,1.型未定式,則（或）,例1求 .,解當(dāng)時(shí)，有和 ，這是型未定式由洛必達(dá)法則,例2 求 ,解當(dāng)時(shí)，有和 ，這是型未定式.由羅必達(dá)法則,當(dāng)時(shí)，有和，仍是型未定式再用羅必達(dá)法則,例3求,解當(dāng)時(shí)，有和 ，這是型未定式.由羅必達(dá)法則,1.型未定式,則或,解當(dāng)時(shí)，有 和 ，這是型未定式.由羅必達(dá)法則,例4求,例5 求 ,解當(dāng)時(shí)，有和 ，這是型未定式由羅必達(dá)法則,練習(xí)三利用洛必達(dá)法則求下列極限,關(guān)鍵:將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型 .,步驟:,3.型未定式,例6,解,例7求(型),解,(已化為 型),例8,解,步驟:,例9求型 .,已化為 型,解,例10,解,極限不存在,洛必

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