1、三角形中的幾何計算及實際應(yīng)用舉例【典型例題】考點一：三角形中的幾何計算例1. 設(shè)D是直角三角形ABC的斜邊BC上的一點，AB=AD，。（1）求證：，（2）若求的值。思路分析：（1）由已知找出與的關(guān)系，即，即可證明。（2）由正弦定理得到關(guān)于的方程即可。 解：（1）由AB=AD.（2）由正弦定理得：將此式代入得：將整理得：又故。即所求的角是例2. 設(shè)P是正方形ABCD內(nèi)一點，P到A、B、C的距離分別是1，2，3，求正方形ABCD的邊長思路分析：設(shè)正方形的邊長為x，根據(jù)角ABP與角CBP互余，可知其余弦的平方和是1，建立關(guān)于x的方程，再求解。解：設(shè)邊長是x，（1x3）， ，則=90在三角形ABP中：

2、由余弦定理得：，同理在CBP中： ，90得：即有：（*） 解*得所求的邊長為。說明：使用正弦定理或余弦定理或相關(guān)的知識點解決幾何問題，首先要在已知的圖形中構(gòu)造三角形（已有三角形，不需構(gòu)造），能構(gòu)造特殊三角形的盡可能地構(gòu)造特殊的三角形?？键c二：研究幾何計算問題中的最值問題。如圖所示，點P在直徑AB=1的半圓上移動，過點P作半圓的切線PT，使PT=1，則如何確定P點的位置？才能使得四邊形ABTP的面積最大？思路分析：由已知得P點的變化引起角PAB的變化，故可把四邊形ABTP的面積表示成關(guān)于角PAB的函數(shù)，然后求函數(shù)的最值。解：連接BP，設(shè)PAB，由AB為直徑得APB90，即APB是直角三角形，由A

3、B=PT=1得：。又PT是圓的切線，故，BPTPAB 例4. 在等邊三角形ABC中，AB=a，O為中心，過O的直線交AB于M，交AC于N，求的最大值。思路分析：由于M、N的變化導(dǎo)致角MOA的變化，然后利用正弦定理，把式子表示成角MOA的函數(shù)，再求最大值。解：由已知MAO=NAO30，設(shè)MOA，則 故當(dāng)時，即時，取得最大值是?！菊f明】在三角形幾何計算中解決最值問題的關(guān)鍵是引入變量?？键c三：利用正弦定理、余弦定理解決實際問題例5. （1）（航海問題）已知一測高儀表失靈的飛機在高空以300km/h的速度按水平方向向東飛行，飛機的航線和山頂C在同一鉛直的平面內(nèi)，若在A處的飛行員利用測角儀器測得先看到海

4、拔高度為4000m的山頂C的俯角為15，經(jīng)120秒后在B點又看到山頂C的俯角是60，求飛機現(xiàn)在的海拔高度。思路分析：先根據(jù)已知條件畫出圖形，找出兩個俯角，再根據(jù)正弦定理求出BC，在直角三角形BCD中求出CD，CD加上山的高度即是飛機現(xiàn)在的海拔高度。解：根據(jù)已知畫出圖形（如圖）BAC=15，DBC=60，故BCA=45又AB=300=10（km），則在ABC中由正弦定理得：在直角BDC中：CD=BCsin60=故飛機飛行的海拔高度是3170+4000=7170（米）（2）某漁輪在航行中不幸遇險，發(fā)出呼救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，測出該漁輪在方位角45，距離為10海里的C處，并測得漁輪正沿方位

5、角為105的方向，以每小時9海里的速度向小島B靠攏，我海軍艦艇立即以每小時21海里的速度前去營救，求艦艇的航向及靠近漁輪的時間。思路分析：根據(jù)題意先畫出圖形，設(shè)艦艇收到信號后x小時在B處靠攏漁輪，在三角形ABC中利用余弦定理可求得x，再用正弦定理求得艦艇的航向。解：設(shè)艦艇收到信號x小時在B處與漁輪靠攏，則AB=21x，BC=9x，AC=10，ACB=120在ABC中，由余弦定理得：120整理得：，由正弦定理可求BAC21.8，答：艦艇沿方位角（45+21.8）的方向航行40min 可靠近漁輪。例6. （測量問題）欲測量河對岸兩點P，Q之間的距離，應(yīng)如何測量？思路分析：可以在岸邊選定距離為a的兩

6、個觀測點A，B，然后測出角BAP，角BAQ，角ABQ，角ABP，利用正弦定理求解。解：選定距離為a的兩個觀測點A，B。利用測角儀器測得：BAP=BAQ=，ABQ=ABP=，則由正弦定理得：，同理：，在三角形APQ中利用余弦定理得：例7. （臺風(fēng)問題）某城市附近的海面上有一股臺風(fēng)，臺風(fēng)中心位于城市O的南偏東方向300km海面的P處，并以每小時20km/h的速度向北偏西45的方向移動，臺風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)時半徑是60km，并以10km/h的速度不斷增大，問幾小時后該城市受到臺風(fēng)的侵襲？思路分析：設(shè)經(jīng)過x小時該城市恰好受到臺風(fēng)的侵襲，假設(shè)臺風(fēng)中心由P移到Q處（如圖），此時臺風(fēng)的侵襲半徑是OQ=60+10x,在三角形OPQ中，OP=300,PQ=20x,由余弦定理建立關(guān)于x的方程求x。解：設(shè)x小時后該城市恰好受到臺風(fēng)的侵襲，此時臺風(fēng)中心由P處移到Q處，臺風(fēng)的侵襲半徑是（60+10x）km，城市O恰好受到臺風(fēng)侵襲的條件是OQ=60+10x在三角形OPQ中：OP=300，PQ=20x，OPQ=45，cosOPQ=cos（45）=，由余弦定理得：故方程無解，即該城市不會受到臺風(fēng)的影響。【本講涉及的數(shù)學(xué)思想