1、直線與圓的方程,第六課時(shí) 圓的方程,考綱要求,掌握確定圓的幾何要素，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.,知識(shí)梳理,一、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 設(shè)圓心C坐標(biāo)(a,b)，半徑是r,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-a) 2+(y-b)2=r2.特別地，圓心為O(0,0)時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=r2. 二、圓的一般方程 當(dāng)D2+E2-4F0時(shí)，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方 程 ，其圓心為_，半徑r= _,三、圓的直徑式方程 以(x1,y1)、(x2,y2)為直徑的圓的方程可寫為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 四、二元二次方程表示圓的充要條件 設(shè)二元二次方程為Ax2+Bxy+Cy

2、2+Dx+Ey+F=0. 故方程表示圓的充要條件為：A=C0，B=0，D2+E2-4AF0，而A=C0，B=0，只是方程表示圓的必要條件.,五、常見的圓系方程及其應(yīng)用（屬知識(shí)拓展） 1.過定直線l:Ax+By+C=0和定圓x2+y2+Dx+Ey+F=0兩交點(diǎn)的圓系：x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0. 2.過兩定圓x2+y2+D1x+E1y+F=0和x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交點(diǎn)的圓系：x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0，當(dāng)=-1時(shí)，方程表示兩圓公共弦所在直線方程.,基礎(chǔ)自測(cè),1.圓x2y22x2y=0的周長(zhǎng)是（） A.2 B

3、. C. D.4,答案：C,2.方程x2y22k2xyk1/4=0所表示的曲線關(guān)于y2x1=0對(duì)稱，則k的值為（） A. B. C. D.不存在,答案：B,3.（2009年陜西卷）過原點(diǎn)且傾斜角為60的直線被圓 x2+y2-4y=0所截得的弦長(zhǎng)為_.,4.（2008年天津卷）已知圓C的圓心與點(diǎn)P（-2，1）關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱.直線3x+4y-11=0與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=6，則圓C的方程為x2+(y+1)2=18.,典例試解,根據(jù)下列條件，求圓的方程. (1)和圓O：x2+y2=4相外切于點(diǎn)P(-1， )，且半徑為4； (2)經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)P(1，1)，并且圓心在直線2x+

4、3y+1=0上； (3)已知一圓過P(4，-2)、Q(-1，3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長(zhǎng)為,思路分析:在用待定系數(shù)法求圓的方程時(shí)，若已知條件與圓心、半徑有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;若已知條件與圓心、半徑的關(guān)系不大，則設(shè)圓的一般方程.,(1)設(shè)圓心Q的坐標(biāo)為(a，b)， O與Q相外切于P， O、P、Q共線，且 所求圓的方程為(x+3) 2+(y-3) 2=16.,(2)顯然，所求圓的圓心在OP的垂直平分線上，OP的垂直平分線方程為： 即x+y-1=0， 解方程組 x+y-1=0 2x+3y+1=0得圓心C的坐標(biāo)為(4，-3). 又圓的半徑r=|OC|=5, 所求圓的方程為(x-4)2+(y+3)

5、2=25.,(3)設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0 將P、Q點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入，得： 4D-2E+F=-20 D-3E-F=10 令x=0，由得y2+Ey+F=0 由已知|y1-y2|= ，其中y1、y2是方程的兩根.,(y1-y2)2=(y1+y2) 2-4y1y2=E2-4F=48 ,解由、組成的方程組，得,D=-2 E=0 F=-12,D=-10 E=-8 F=4,或,故所求圓的方程為x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10 x-8y+4=0.,點(diǎn)評(píng)：無論是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或是圓的一般方程，都有三個(gè)待定系數(shù)，因此求圓的方程，應(yīng)有三個(gè)條件來求.一般地，已知圓心或半徑的條件，選用標(biāo)準(zhǔn)

6、式，否則選用一般式.,變式探究,1.求經(jīng)過點(diǎn)A(5,2)、B(3,2),圓心在直線2x-y-3=0上的 圓的方程.,答案：(x-4)2+(y-5)2=10,一圓與y軸相切，圓心在直線x3y=0上，且直線y=x截圓所得弦長(zhǎng)為 ，求此圓的方程.,思路分析: 利用圓的性質(zhì)：半弦、半徑和弦心距構(gòu)成的直角三角形.,解析：因圓與y軸相切，且圓心在直線x3y=0上，故設(shè)圓方程為（x3b）2+(y-b)2. 又因?yàn)橹本€y=x截圓得弦長(zhǎng)為 ， 則有 解得b=1.故所求圓方程為（x3)2+（y1)2=9 或（x+3)2+（y+1)2=9.,點(diǎn)評(píng):在解決求圓的方程這類問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意以下幾點(diǎn) （1）確定圓方程首先明

7、確是標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程； （2）根據(jù)幾何關(guān)系（如本例的相切、弦長(zhǎng)等）建立方程求得a、b、r或D、E、F； （3）待定系數(shù)法的應(yīng)用，解答中要盡量減少未知量的個(gè)數(shù).,變式探究,2.一圓經(jīng)過兩點(diǎn)A(4,2)、B(-1,3)，且在兩坐標(biāo)軸上四個(gè)截距之和為2，求圓的方程.,答案：x2+y2-2x-12=0,求過直線2x+y+4=0和圓x2+y2+2x-4y+1=0的交點(diǎn)，且面積最小的圓的方程. 思路分析:面積最小的圓即為半徑是最小的圓.,解析：設(shè)所求圓的方程為 x2+y2+2x-4y+1+(2x+y+4)=0, 即x2+y2+2(1+)x+(-4)y+1+4=0. 圓的半徑為,當(dāng)=8/5時(shí)，r最小，此

8、時(shí)圓的方程為,變式探究,3.設(shè)圓滿足：截y軸所得的弦長(zhǎng)為2；被x軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為31.在滿足條件的所有圓中，求圓心到直線l：x2y=0的距離最小的圓的方程.,答案：（x1) 2(y1)2=2或（x1)2(y1)2=2,設(shè)A(c,0)、B(c,0)(c0)為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到A點(diǎn)的距離與到B點(diǎn)的距離的比為定值a(a0)，求P點(diǎn)的軌跡.,思路分析:根據(jù)題設(shè)可直接由題中條件，建立方程關(guān)系,然后化簡(jiǎn)方程.,解析：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）. 由 化簡(jiǎn)得 (1a2)x2+2c(1+a2)x+c2(1a2)+(1a2)y2=0.,當(dāng)a=1時(shí)，化簡(jiǎn)得x=0. 所以當(dāng)a1時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是以 為圓心，

9、,為半徑的圓； 當(dāng)a=1時(shí)，P點(diǎn)的軌跡為y軸.,點(diǎn)評(píng):本題的解法是直接由題中條件，建立方程關(guān)系，然后化簡(jiǎn)方程，這種求曲線方程的方法稱為直接法.主要考查直線、圓、曲線和方程等基本知識(shí)，考查運(yùn)用解析幾何的方法解決問題的能力，對(duì)代數(shù)式的運(yùn)算化簡(jiǎn)能力有較高要求.同時(shí)也考查了分類討論這一數(shù)學(xué)思想.,變式探究,4.動(dòng)點(diǎn)在圓x2+y2=1 上移動(dòng)時(shí)，它與定點(diǎn)B(3,0)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是_.,答案：(2x3) 2+4y2=1,已知O的半徑為3，直線l與O相切，一動(dòng)圓與l相切，并與O相交的公共弦恰為O的直徑，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.,思路分析:問題中的幾何性質(zhì)十分突出，切線、直徑、垂直、圓心，如何利用這些幾

10、何性質(zhì)呢？,解析：如右圖所示，取過O點(diǎn)且與l平行的直線為x軸，過O點(diǎn)且垂直于l的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系.,O與M的公共弦為AB，M與l切于點(diǎn)C，則|MA)|=|MC|，AB又是O的直徑， MO垂直平分AB于O. 由勾股定理得|MA|2=|MO|2+|AO|2=x2+y2+9 x2+y2+9=|y+3|2. 即：x2=6y 這就是動(dòng)圓圓心的軌跡方程,點(diǎn)評(píng): 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系能使求軌跡方程的過程較簡(jiǎn)單、所求方程的形式較“整齊” .求軌跡的步驟是“建系，設(shè)點(diǎn)，找關(guān)系式，除瑕點(diǎn)”.求與圓有關(guān)的軌跡問題，充分利用圓的方程和圓的幾何性質(zhì)，找出動(dòng)點(diǎn)與圓上點(diǎn)之間的關(guān)系或動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何條件.,變式探究,5

11、.設(shè)定點(diǎn)M(-3，4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓O：x2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡.,答案：(x+3) 2+(y-4)2=4，且除去兩點(diǎn)：,課時(shí)升華,1.不論圓的標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程，都有三個(gè)字母（a、b、r或D、E、F）的值需要確定，因此需要三個(gè)獨(dú)立的條件.利用待定系數(shù)法得到關(guān)于a、b、r（或D、E、F）的三個(gè)方程組成的方程組，解之得到待定字母系數(shù)的值. 2.求圓的方程的一般步驟 （1）選用圓的方程兩種形式中的一種（若知圓上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，通常選用一般方程；若給出圓心的特殊位置或圓心與兩坐標(biāo)間的關(guān)系，通常選用標(biāo)準(zhǔn)方程）； （2）根據(jù)所給條件，列出關(guān)于D、E、F或a

12、、b、r的方程組； （3）解方程組，求出D、E、F或a、b、r的值，并把它們代入所設(shè)的方程中，得到所求圓的方程.,3.解析幾何中與圓有關(guān)的問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)，簡(jiǎn)化運(yùn)算. 4.在二元二次方程中x2和y2的系數(shù)相等并且沒有xy項(xiàng)只是表示圓的必要條件而不是充分條件. 5.如果問題中給出了圓心與兩坐標(biāo)之間的關(guān)系或圓心的特殊位置時(shí)，一般用標(biāo)準(zhǔn)方程.如果給出圓上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，一般用一般方程.,6.在一般方程中，當(dāng)D2+E24F=0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn) ，當(dāng)D2+E24F0時(shí)，無軌跡. 7.數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程的思想在解決圓的有關(guān)問題時(shí)經(jīng)常運(yùn)用，應(yīng)熟練掌握. 8.與圓有關(guān)的軌跡問題，可根據(jù)題設(shè)條件選擇適當(dāng)方法（如直接法、定義法、動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法等），有時(shí)還需要結(jié)合運(yùn)用其他方法，如交軌法、參數(shù)法等.,體驗(yàn)高考,1.（2009年上海卷）點(diǎn)P（4，2）與圓x2+y2=4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)軌跡方程是（） A.（x-2）2+（y+1）2=1 B.（x-