1、1/61,重積分,第八章,習(xí)題課,一、關(guān)于二重積分計算,二、關(guān)于三重積分在直角坐標(biāo)系下計算,三、關(guān)于二重積分的應(yīng)用,2/61,（一）、重積分常見題目類型,1.一般重積分的計算：,a. 選擇坐標(biāo)系,使積分域多為坐標(biāo)面(線)圍成;,被積函數(shù)用此坐標(biāo)表示簡潔或變量分離.,b. 確定積分序,積分域分塊要少, 累次積分易算為妙 .,列不等式法 (投影穿線),c. 寫出積分限, 累次積分法,d. 計算要簡便,充分利用對稱性,應(yīng)用換元公式,一、關(guān)于二重積分計算,3/61,2.改變累次積分的積分次序,題目要求改變積分次序或按原積分次序積不出來，必須改變積分次序.,3.求平面圖形D 的面積,4.求由曲面所圍立體

2、的體積,5.用二重積分求曲面的面積,4/61,6.重積分性質(zhì)的應(yīng)用題,（二）、重積分計算的基本技巧,分塊積分法,利用對稱性,1. 交換積分順序的方法,2. 利用對稱性簡化計算,3. 消去被積函數(shù)絕對值符號,4.被積函數(shù)為1時巧用其幾何意義,5/61,其中函數(shù) 、 在區(qū)間 上連續(xù).,(三)、利用直角坐標(biāo)系計算二重積分,(1)X型域,【X型區(qū)域的特點】 穿過區(qū)域內(nèi)部且平行于y 軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.,1. 【預(yù)備知識及二重積分公式推導(dǎo)】,6/61,若積分區(qū)域為X型域：,【方法】根據(jù)二重積分的幾何意義以及計算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法來求.,7/61,即得,公式1,8/

3、61,【幾點小結(jié)】,a,b,x,9/61,(2)Y型域,【Y型區(qū)域的特點】穿過區(qū)域內(nèi)部且平行于x 軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.,10/61,公式2,11/61,(3)既非X型域也非Y型域,在分割后的三個區(qū)域上分別都是X型域(或Y型域),如圖 , 則必須分割.,由二重積分積分區(qū)域的可加性得,2.【二重積分的計算步驟可歸結(jié)為】,畫出積分域的圖形，標(biāo)出邊界線方程；,根據(jù)積分域特征，確定積分次序；,根據(jù)上述結(jié)果，化二重積分為二次積分并計算.,12/61,(1) 使用公式1必須是X型域，公式2必須是Y型域.,(2)若積分區(qū)域既是X型區(qū)域又是Y 型區(qū)域 ,為計算方便,可選擇積分次序, 必要時還可

4、交換積分次序.,則有,(3) 若積分域較復(fù)雜,X-型域或Y-型域.,【說明】,可將它分成若干,13/61,【例1】,【解】,看作X型域,D既是X型域又是Y型域,法1,3、 【利用直角坐標(biāo)系計算二重積分題類】,14/61,看作Y型域,法2,15/61,【例2】,【解】,D既是X型域又是Y型域,法1,16/61,法2,注意到先對x 的積分較繁，故應(yīng)用法1較方便,注意兩種積分次序的計算效果！,17/61,【例3】,【解】,D是Y型域 也可以視X型域,先求交點,18/61,法1,視為X型域,（計算較繁）,本題進(jìn)一步說明兩種積分 次序的不同計算效果！,法2,（計算簡單）,19/61,【例4】,【解】,X

5、-型,20/61,【例5】,【解】,先去掉絕對值符號，如圖,21/61,【例6】,【解】,【分析】交換積分次序,若直接計算，積分比較困難！,（注意被積函數(shù)）,作業(yè) P152;同濟p154,22/61,（四）、利用極坐標(biāo)系計算二重積分,首先分割區(qū)域 D,兩組曲線將 D 分割成許多小區(qū)域,用,1.極坐標(biāo)系下二重積分表達(dá)式,23/61,將典型小區(qū)域近似看作矩形（面積=長寬）,則 面積元素,扇形弧長,徑向?qū)挾?24/61,則,二重積分極坐標(biāo)表達(dá)式,可得下式,【注意】極坐標(biāo)系下的面積元素為,直角坐標(biāo)系下的面積元素為,區(qū)別,25/61,2.二重積分化為二次積分的公式,區(qū)域特征如圖,（1）極點O 在區(qū)域 D

6、 的邊界曲線之外時,26/61,若區(qū)域特征如圖,特別地,27/61,（2）極點O 恰在區(qū)域 D 的邊界曲線之上時,區(qū)域特征如圖,（1）的特例,28/61,區(qū)域特征如圖,（3）極點 O 在區(qū)域 D 的邊界曲線之內(nèi)時,（2）的特例,一般在什么情況下利用極坐標(biāo)計算二重積分呢？,29/61,【解】,3、利用極坐標(biāo)系計算二重積分,30/61,【解】,的原函數(shù)不是初等函數(shù) ,故本題無法,【注】1.由于,用直角坐標(biāo)計算.,31/61,【解】,32/61,【例4】 計算二重積分,其中:,(1) D為圓域,(2) D由直線,【解】 (1) 利用對稱性.,圍成 .,33/61,(2) 積分域如圖:,將D 分為,添

7、加輔助線,利用對稱性 , 得,34/61,【例6】,【解】,作業(yè) P153;同濟p155!,35/61,4.【補充】 改變二次積分的積分次序例題,【例1】交換下列積分順序,【解】 積分域由兩部分組成:,視為Y型區(qū)域 , 則,36/61,【例2】計算,其中 D 是由直線 y=x 及拋物線 y2 = x 所圍成,【解】,積不出的積分，無法計算。,37/61,【例3】,【解】,38/61,作業(yè) P153; 同濟p155!,39/61,二、三重積分的計算,1.利用直角坐標(biāo)計算三重積分,以下只限于敘述計算方法,1.直角坐標(biāo)下 2.柱面坐標(biāo)下 3.球面坐標(biāo)下,方法1 . 投影法 (“先一后二”),方法2

8、. 截面法(切片法) (“先二后一”),先假設(shè)連續(xù)函數(shù),最后, 推廣到一般可積函數(shù)的積分計算.,-將三重積分化為三次積分,40/61,方法1 ：投影法【“先一后二”】,如圖,z軸,41/61,得,X型域,42/61,【注意】,此式稱為先對z、次對y、最后對x的三次積分,得計算公式,（1）,43/61,（2）若交點多于兩個，也可像處理二重積分那樣， 將分割，化為部分區(qū)域上的三重積分之和.,（3）也可把投影到y(tǒng)oz面或zox面上，便可 把三重積分化為其它順序的三次積分.,（要求平行于 x 軸或 y 軸且穿過閉區(qū)域內(nèi)部的直線與的邊界曲面 S 相交不多于兩點）.,44/61,【例1】,【解】,如圖,X

9、型域,作直線穿越內(nèi)部,45/61,故,則,46/61,【解】,得交線投影區(qū)域,47/61,【解】,如圖,48/61,【例4】,【解】,如圖示,49/61,【方法】,截面法(切片法)【 “先二后一”】,【“先二后一”法的一般步驟】,50/61,(?),Dz之面積,作業(yè): 同濟P164: 4,5,51/61,1.若積分區(qū)域為D,三、關(guān)于二重積分的應(yīng)用,（一）、立體的體積,概念 p138！,52/61,【例1】,【解】,由對稱性,其中,Flash 動畫演示,2.例題,53/61,例1. 求球體,被圓柱面,所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.,解:,由對稱性可知,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,54/61,【例2】,求兩個底圓半徑都等于R 的直交圓柱面所圍成 的立體的體積V.,【解】,設(shè)兩個直圓柱方程為,利用對稱性, 考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為,則所求體積為,55/61,1.設(shè)曲面的方程為：,在D上偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),設(shè)光滑曲面,則面積 A 可看成曲面上各點,處小切平面的面積 dA 無限積累而成.,設(shè)它在 D 上的投影為 d ,(稱為曲面S的面積元素),則,（二）、曲面的面積,56/61,故有曲面面積公式,即,2.若光滑曲面方程為,則有