1、第3講等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和板塊一知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)必備知識(shí)考點(diǎn)1等比數(shù)列的有關(guān)概念1定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為q.2等比中項(xiàng)如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)即：G是a與b的等比中項(xiàng)a，G，b成等比數(shù)列G2ab(ab0)考點(diǎn)2等比數(shù)列的有關(guān)公式1通項(xiàng)公式：ana1qn1.2前n項(xiàng)和公式：Sn必會(huì)結(jié)論等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：anamqnm(n，mN*)(2)若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，則amanapaqa.(3)若數(shù)列

2、an，bn(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則an，a，anbn，(0)仍然是等比數(shù)列(4)在等比數(shù)列an中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即an，ank，an2k，an3k，為等比數(shù)列，公比為qk.(5)公比不為1的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.(6)等比數(shù)列an滿(mǎn)足或時(shí)，an是遞增數(shù)列；滿(mǎn)足或時(shí)，an是遞減數(shù)列考點(diǎn)自測(cè)1判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列()(2)滿(mǎn)足an1qan(nN*，q為常數(shù))的數(shù)列an為等比數(shù)列()(3)G為a，b的等比

3、中項(xiàng)G2ab.()(4)如果an為等比數(shù)列，bna2n1a2n，則數(shù)列bn也是等比數(shù)列()(5)如果數(shù)列an為等比數(shù)列，則數(shù)列l(wèi)n an是等差數(shù)列()答案(1)(2)(3)(4)(5)22018河南名校聯(lián)考在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a13，a9a2a3a4，則公比q的值為()A. B. C2 D3答案D解析由a9a2a3a4得a1q8aq6，所以q2a，因?yàn)榈缺葦?shù)列an的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以qa13.故選D.3課本改編等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知S3a210a1，a59，則a1()A. B C. D答案C解析由已知條件及S3a1a2a3，得a39a1，設(shè)數(shù)列an的公比為q，則q29.

4、所以a59a1q481a1，得a1.故選C.42018黃岡調(diào)研設(shè)等比數(shù)列an中，公比q2，前n項(xiàng)和為Sn，則的值()A. B. C. D.答案A解析根據(jù)等比數(shù)列的公式，得.52015全國(guó)卷在數(shù)列an中，a12，an12an，Sn為an的前n項(xiàng)和若Sn126，則n_.答案6解析a12，an12an，數(shù)列an是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列又Sn126，126，n6.62018衡中檢測(cè)在等比數(shù)列an中，若a4a26，a5a115，則a3_.答案4或4解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q0)，則兩式相除，得，即2q25q20，解得q2或q.所以或故a34或a34.板塊二典例探究考向突破考向等比數(shù)列的基本運(yùn)

5、算例1(1)2017全國(guó)卷我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()A1盞 B3盞 C5盞 D9盞答案B解析設(shè)塔的頂層的燈數(shù)為a1，七層塔的總燈數(shù)為S7，公比為q，則由題意知S7381，q2，S7381，解得a13.故選B.(2)2017江蘇高考等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn.已知S3，S6，則a8_.答案32解析設(shè)an的首項(xiàng)為a1，公比為q，則兩式相除得，解得所以a8272532.觸類(lèi)旁通等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)

6、列中的一類(lèi)基本問(wèn)題，數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過(guò)列方程(組)所求問(wèn)題可迎刃而解解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式，并靈活運(yùn)用，在運(yùn)算過(guò)程中，還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡(jiǎn)化運(yùn)算的過(guò)程【變式訓(xùn)練1】(1)2018東北師大附中月考已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1a3，且a2a4，則()A4n1 B4n1 C2n1 D2n1答案D解析設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由題意，得解得則ana1n1，Sn，所以2n1.故選D.(2)2018安徽皖江名校聯(lián)考已知Sn是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a2a416，S37，則a8_.答案128解析a2a4a16

7、，a34(負(fù)值舍去)，a3a1q24，S37，q1，S23，3q24q40，解得q或q2，an0，q舍去，q2，a11，a827128.考向等比數(shù)列的性質(zhì)命題角度1等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例2(1)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a1a2a35，a7a8a910，則a4a5a6()A5 B7 C6 D4答案A解析(a1a2a3)(a7a8a9)a50，a4a5a6a5.選A.(2)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若an0，q1，a3a520，a2a664，則S5_.答案31解析a3a5a2a664，因?yàn)閍3a520，所以a3和a5為方程x220x640的兩根，因?yàn)閍n0，q1，所以a30的思維定式的

8、影響，遺漏當(dāng)q0時(shí)，S31q123，當(dāng)且僅當(dāng)q1時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)公比q0時(shí)，S31121，當(dāng)且僅當(dāng)q1時(shí)，等號(hào)成立所以S3(，13，)答案D答題啟示等比數(shù)列的公比q0時(shí)，數(shù)列中的各項(xiàng)符號(hào)相同；用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，如果其公比q不確定，要分q1和q1兩種情況進(jìn)行討論.跟蹤訓(xùn)練已知an為等比數(shù)列，a4a72，a5a68，則a1a10()A7 B5 C5 D7答案D解析由已知得解得或當(dāng)a44，a72時(shí)，易得a18，a101，從而a1a107；當(dāng)a42，a74時(shí)，易得a108，a11，從而a1a107.板塊四模擬演練提能增分A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1在等比數(shù)列an中，Sn表示前n項(xiàng)和，若a32S21，a42S

9、31，則公比q等于()A3 B3 C1 D1答案A解析兩等式相減得a4a32a3，從而求得3q.故選A.2已知等比數(shù)列an滿(mǎn)足a1，a3a54(a41)，則a2()A2 B1 C. D.答案C解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，a1，a3a54(a41)，由題可知q1，則a1q2a1q44(a1q31)，q64，q616q3640，(q38)20，q38，q2，a2.故選C.32018江西九江一模已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列an中，a2a616，a3a510，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn()A2n2 B2n1C2n1 D2n12答案B解析因?yàn)閍2a616，所以a3a516，又a3a510，等比數(shù)列an單調(diào)遞增

10、，所以a32，a58，所以公比q2，a1，所以Sn2n1.故選B.42018延慶模擬等差數(shù)列an的公差為2，若a2，a4，a8成等比數(shù)列，則an的前n項(xiàng)和Sn()An(n1) Bn(n1)C. D.答案A解析a2，a4，a8成等比數(shù)列，aa2a8，即(a13d)2(a1d)(a17d)，將d2代入上式，解得a12，Sn2nn(n1)故選A.52015全國(guó)卷已知等比數(shù)列an滿(mǎn)足a13，a1a3a521，則a3a5a7()A21 B42 C63 D84答案B解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則a1(1q2q4)21，又a13，所以q4q260，所以q22(q23舍去)，所以a36，a512，a724，

11、所以a3a5a742.故選B.6已知an為等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和若a3a5a1，且a4與a7的等差中項(xiàng)為，則S5等于()A35 B33 C31 D29答案C解析設(shè)等比數(shù)列an的公比是q，所以a3a5aq6a1，得a1q6，即a7.又a4a72，解得a42，所以q3，所以q，a116，故S531.故選C.72018昆明模擬設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若3，則()A2 B. C. D1或2答案B解析設(shè)S2k，S43k，由數(shù)列an為等比數(shù)列，得S2，S4S2，S6S4為等比數(shù)列，S2k，S4S22k，S6S44k，S67k，S43k，.故選B.8已知數(shù)列1，a1，a2,9是等差數(shù)列，數(shù)列1

12、，b1，b2，b3,9是等比數(shù)列，則的值為_(kāi)答案解析因?yàn)?，a1，a2,9是等差數(shù)列，所以a1a21910.又1，b1，b2，b3,9是等比數(shù)列，所以b199，易知b20，所以b23，所以.9商家通常依據(jù)“樂(lè)觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷(xiāo)售價(jià)格，即根據(jù)商品的最低銷(xiāo)售限價(jià)a，最高銷(xiāo)售限價(jià)b(ba)以及實(shí)數(shù)x(0xa，所以ba0，所以x21x，即x2x10，解得x或x(舍去)10等比數(shù)列an滿(mǎn)足：對(duì)任意nN*,2(an2an)3an1，an1an，則公比q_.答案2解析由題知2(anq2an)3anq，即2q23q20，解得q2或q，又an1an，故q2.B級(jí)知能提升1已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Snx3

13、n1，則x的值為()A. B C. D答案C解析解法一：Snx3n13n，由上述結(jié)論，得，x.解法二：當(dāng)n1時(shí)，a1S1x；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12x3n2.an是等比數(shù)列，n1時(shí)也應(yīng)適合an2x3n2，即2x31x，解得x.故選C.2記等比數(shù)列an的前n項(xiàng)積為T(mén)n(nN*)，已知am1am12am0，且T2m1128，則m的值為()A4 B7 C10 D12答案A解析因?yàn)閍n是等比數(shù)列，所以am1am1a.又am1am12am0，則a2am0.所以am2. 由等比數(shù)列的性質(zhì)可知前2m1項(xiàng)積T2m1a，即22m1128，故m4.選A.32016全國(guó)卷設(shè)等比數(shù)列an滿(mǎn)足a1a310，a2a45

14、，則a1a2an的最大值為_(kāi)答案64解析設(shè)an的公比為q，由a1a310，a2a45，得a18，q，所以ann4(nN*)，即數(shù)列為遞減數(shù)列當(dāng)n4時(shí)，an1；當(dāng)n5時(shí)，0an1，所以當(dāng)n3或4時(shí)，a1a2an最大，又a24，a32，a41，所以a1a2ana1a2a3a464.42017北京高考已知等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿(mǎn)足a1b11，a2a410，b2b4a5.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求和：b1b3b5b2n1.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.因?yàn)閍2a410，所以2a14d10，解得d2，所以an2n1.(2)設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，因?yàn)閎2b4a5，所以b1qb1q39，解得q23，所以b2n1b1q2n23n1.從而b1b3b5b2n113323n1.5已知在數(shù)列an中，a12，a24，且an13an2an