1、專題2 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)1指數(shù)和對數(shù)(1)分數(shù)指數(shù)的定義：a(a0，m，nN，m2)，a(a0，m，nN，m2)(2)如同減法是加法的逆運算，除法是乘法的逆運算一樣，對數(shù)運算是指數(shù)運算的逆運算abNlogaNb(a0，a1，N0)由此可得到對數(shù)恒等式：alogaNN，blogaab.(3)對數(shù)換底公式logaN(a0，b0，a1，b1，N0)的意義在于把各個不同底數(shù)的對數(shù)換成相同底數(shù)的對數(shù)，這樣，一可以進行換算，二可以通過對數(shù)表求值(4)指數(shù)和對數(shù)的運算法則有：amanamn，logaMlogaNloga(MN)，(am)namn，logaMnnlogaM，amanamn，logaM

2、logaNloga.(aR，m，nR)(M，NR，a0，a1)2指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)(1)要熟記這三個函數(shù)在不同條件下的圖象，并能熟練地由圖象“讀”出該函數(shù)的主要性質(zhì)；(2)同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于直線yx成軸對稱圖形由圖可“讀”出指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的主要性質(zhì)：指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)(1)定義域：R(1)定義域：R(2)值域：R(2)值域：R(3)過點(0,1)(3)過點(1,0)(4)a1時為增函數(shù)，0a1時為減函數(shù)(4)a1時為增函數(shù)，0a1時為減函數(shù)如果兩個函數(shù)yf(x)和xg(x)描述的是同一個對應(yīng)法則，則稱這兩個函數(shù)互為反函數(shù)這時兩者之間滿足關(guān)系g(f(x)x和f(g(y

3、)y，并且它們的圖象關(guān)于直線yx成軸對稱函數(shù)f叫作g的反函數(shù)，g也叫作f的反函數(shù)f的定義域是g的值域，f的值域是g的定義域，兩者同為遞增或遞減由上面反函數(shù)的定義，我們知道，指數(shù)函數(shù)yax(a0且a1)和同底數(shù)的對數(shù)函數(shù)ylogax(a0且a1)互為反函數(shù)這給研究對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)帶來了方便(3)冪函數(shù)yxn在第一象限內(nèi)的圖象由冪指數(shù)的不同取值可分為三種走勢由下圖，當(dāng)n0時冪函數(shù)的主要性質(zhì)是：恒過(0,0)，(1,1)兩點；在區(qū)間0，)上為增函數(shù)當(dāng)n0時冪函數(shù)的主要性質(zhì)有：恒過點(1,1)；在區(qū)間(0，)上為遞減函數(shù)；圖象走向和x軸、y軸正向無限接近3函數(shù)與方程(1)實系數(shù)一元二次方程當(dāng)0時有

4、兩個不等實根；當(dāng)0時有兩個相等實根；當(dāng)0時無實數(shù)根(2)方程f(x)0的解就是函數(shù)yf(x)的圖象和x軸交點的橫坐標(biāo)，也叫作函數(shù)的零點；方程f(x)g(x)的解也就是兩個函數(shù)yf(x)和yg(x)圖象交點的橫坐標(biāo)(3)可以用二分法或其他近似方法求得函數(shù)零點的近似值4函數(shù)模型及其應(yīng)用(1)目前我們能建立的函數(shù)模型主要是一次函數(shù)，二次函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的模型；(2)建模的目的是：模擬實際問題和用模擬函數(shù)的性質(zhì)去推測判斷未進行測量或不便測量的數(shù)據(jù)，特別是實際問題的未來走勢；(3)建模的大致步驟是：了解和簡化實際問題，建立實際問題的數(shù)學(xué)模型，分析所得數(shù)學(xué)模型，把模型所判斷的結(jié)論和實際模型

5、的表現(xiàn)加以比較，改進數(shù)學(xué)模型.題型一有關(guān)指數(shù)、對數(shù)的運算問題指數(shù)與指數(shù)運算、對數(shù)與對數(shù)運算是兩個重要的知識點，不僅是本章考查的重要題型，也是高考的必考內(nèi)容指數(shù)式的運算首先要注意化簡順序，一般負指數(shù)先轉(zhuǎn)化成正指數(shù)，根式化為指數(shù)式；其次若出現(xiàn)分式，則要注意把分子、分母因式分解以達到約分的目的對數(shù)運算首先要注意公式應(yīng)用過程中范圍的變化，前后要等價；其次要熟練地運用對數(shù)的三個運算性質(zhì)，并根據(jù)具體問題合理利用對數(shù)恒等式和換底公式等換底公式是對數(shù)計算、化簡、證明常用的公式，一定要掌握并靈活運用例1(1)化簡；(2)計算：2log32log3log3825log53.解(1)原式abaaba.(2)原式lo

6、g34log3log3852log53log3(48)52log53log399297.跟蹤演練1(1)求5log5216的值(2)已知x1，且xx16，求xx.解(1)5log52162(24)2811.(2)2xx12624，又x1，xx0，x2.題型二指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)的圖象是研究函數(shù)性質(zhì)的前提和基礎(chǔ)，它較形象直觀地反映了函數(shù)的一切性質(zhì)教材對冪、指、對三個函數(shù)的性質(zhì)的研究也正好體現(xiàn)了由圖象到性質(zhì)，由具體到抽象的過程，突出了函數(shù)圖象在研究相應(yīng)函數(shù)性質(zhì)時的作用例2已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)x.(1)畫出函數(shù)f(x)的圖象；(2)根據(jù)圖象寫

7、出f(x)的單調(diào)區(qū)間，并寫出函數(shù)的值域解(1)先作出當(dāng)x0時，f(x)x的圖象，利用偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，再作出f(x)在x(，0)時的圖象(2)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，0)，單調(diào)遞減區(qū)間為0，)，值域為(0,1跟蹤演練2(1)函數(shù)f(x)lnx的圖象與函數(shù)g(x)x24x4的圖象的交點個數(shù)為()A0B1C2D3(2)函數(shù)y的圖象大致是()答案(1)C(2)C解析(1)作出兩個函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解g(x)x24x4(x2)2，在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)f(x)lnx與g(x)(x2)2的圖象(如圖)由圖可得兩個函數(shù)的圖象有2個交點(2)由3x10得x0，函數(shù)y的定義

8、域為x|x0，可排除選項A；當(dāng)x1時，y0，可排除選項B；當(dāng)x2時，y1，當(dāng)x4時，y，但從選項D的函數(shù)圖象可以看出函數(shù)在(0，)上是單調(diào)遞增函數(shù)，兩者矛盾，可排除選項D.故選C.題型三比較大小比較幾個數(shù)的大小問題是指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的重要應(yīng)用，其基本方法是：將需要比較大小的幾個數(shù)視為某類函數(shù)的函數(shù)值，其主要方法可分以下三種：(1)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性(如根據(jù)一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性)，利用單調(diào)性的定義求解；(2)采用中間量的方法(實際上也要用到函數(shù)的單調(diào)性)，常用的中間量如0,1，1等；(3)采用數(shù)形結(jié)合的方法，通過函數(shù)的圖象解決例3設(shè)a，b0.2，c2，則

9、()AabcBcbaCcabDbac答案A解析a0,0b0.21，c21，故有abc.跟蹤演練3(1)下列不等式成立的是()Alog32log23log25Blog32log25log23Clog23log32log25Dlog23log25log32(2)已知0a1，xlogaloga，yloga5，zlogaloga，則()AxyzBzyxCyxzDzxy答案(1)A(2)C解析(1)由于log31log32log33，log22log23log25，即0log321,1log23log25，所以log32log23log25.故選A.(2)依題意，得xloga，yloga，zloga.又

10、0a1，因此有l(wèi)ogalogaloga，即yxz.故選C.題型四函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系及應(yīng)用根據(jù)函數(shù)零點的定義，函數(shù)yf(x)的零點就是方程f(x)0的根，判斷一個方程是否有零點，有幾個零點，就是判斷方程f(x)0是否有根，有幾個根從圖形上看，函數(shù)的零點就是函數(shù)yf(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)，函數(shù)零點、方程的根、函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)三者之間有著內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系，利用它們之間的關(guān)系，可以解決很多函數(shù)、方程與不等式的問題在高考中有許多問題涉及三者的相互轉(zhuǎn)化，應(yīng)引起重視例4已知a是函數(shù)f(x)的零點，若0x0a，則f(x0)的值滿足()Af(x0)0Bf(x0)0Cf(x0)0Df(x

11、0)的符號不確定答案C解析如下圖所示，是y2x與yx的圖象，顯然兩個圖象的交點的橫坐標(biāo)為a，于是在(0，a)區(qū)間上，y2x的圖象在yx的圖象的下方，從而2x0x0，即f(x0)2x0x00.跟蹤演練4設(shè)函數(shù)yx3與yx2的圖象的交點為(x0，y0)，則x0所在的區(qū)間是()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)答案B解析建立函數(shù)g(x)x322x，計算判斷g(0)、g(1)、g(2)、g(3)、g(4)的符號設(shè)g(x)x322x，則g(0)4，g(1)1，g(2)7，g(3)26，g(4)63，顯然g(1)g(2)0，于是函數(shù)g(x)的零點，即yx3與yx2的圖象的交點在(1,2)

12、上題型五分類討論思想本章常見分類討論思想的應(yīng)用如下表：問題討論標(biāo)準(zhǔn)分類情況比較af(x)與ag(x)的大小a與1的大小關(guān)系(1)a1時，若f(x)g(x)，則af(x)ag(x)；(2)0a1時，若f(x)g(x)，則af(x)ag(x)解不等式af(x)ag(x)a與1的大小關(guān)系(1)a1時，f(x)g(x)；(2)0a1時，f(x)g(x)比較logax1與logax2的大小a與1的大小關(guān)系(1)a1時，若x1x2，則logax1logax2；(2)0a1時，若x1x2，則logax1logax2解不等式logaf(x)logag(x)a與1的大小關(guān)系(1)a1時，f(x)g(x)0；(2

13、)0a1時，0f(x)g(x)例5已知偶函數(shù)f(x)在x0，)上是增函數(shù)，f0，求不等式f(logax)0(a0，且a1)的解集解f(x)是偶函數(shù)，且f(x)在0，)上是增函數(shù)，又f0，f(x)在(，0)上是減函數(shù)，f0.故若f(logax)0，則有l(wèi)ogax或logax.當(dāng)a1時，由logax或logax，得x或0x.當(dāng)0a1時，由logax或logax，得0x或x.綜上可知，當(dāng)a1時，f(logax)0的解集為(，)；當(dāng)0a1時，f(logax)0的解集為(0，).跟蹤演練5已知函數(shù)y在x1,3時有最小值，求a的值解令tx23x32，當(dāng)x1,3時，t.若a1，則ymina，解得a，與a1矛盾若0a1，則ymina3，解得a，滿足題意綜合，知，a.1.函數(shù)是高中數(shù)學(xué)極為重要的內(nèi)容，函數(shù)思想和函數(shù)方法貫穿高中數(shù)學(xué)的整個過程，縱觀歷年高考試題，對本章的考查是以基本函數(shù)形式出現(xiàn)的綜合題和應(yīng)用題，一直是?？疾凰サ臒狳c問題2從考查角度看，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)概念的考查以基本