1、第六章 力法 Chapter 6 Force Method,2020/7/31,結構力學,School of Civil Engineering, Tongji Univ.,超靜定結構的概念,Contents,6-1,力法的基本原理,6-2,超靜定次數和力法基本結構,6-3,力法典型方程和力法應用例題,6-4,對稱性的利用,6-5,支座移動和溫度改變時的力法計算,6-6,超靜定結構的位移計算,6-7,Strucural Analysis,超靜定結構最終內力圖的校核,6-8,超靜定結構的求解方法 總體思想：同時考慮“變形、本構、平衡”。,6-1 超靜定結構的概念,超靜定結構的幾何特征和靜力特征

2、幾何特征：有多余約束的幾何不變體系。 靜力特征：僅由靜力平衡方程不能求出所有內力和反力。 與靜定結構相比的優(yōu)點：內力分布均勻；能夠內力重分布，抵抗破壞的能力強。,School of Civil Engineering, Tongji Univ.,Strucural Analysis,超靜定結構的求解方法 總體思想：同時考慮“變形、本構、平衡”。 基本方程中的未知量既有力（或應力）也有位移（或應變），選擇不同類型的物理量作為基本未知量對應產生了三種不同的求解方法。 以力作為基本未知量，在自動滿足平衡條件的基礎上，將本構寫成用力表示位移的形式，代入幾何方程求解，這時最終方程是以力的形式表示的幾何方

3、程，這種分析方法稱為力法（force method）。 以位移作為基本未知量，在自動滿足幾何方程的基礎上，將本構寫成用位移表示力的形式，代入平衡方程，當然這時最終方程是用位移表示的平衡方程，這種分析方法稱為位移法（displacement method）。 如果一個問題中既有力的未知量，也有位移的未知量，力的部分考慮位移約束和變形協調，位移的部分考慮力的平衡，這樣一種分析方案稱為混合法（mixture method）。,平衡方程力（或應力）的表達式 基本方程 本構（物理）方程力與位移（或應力與應變）關系 幾何方程位移（或應變）的表達式,6-1 超靜定結構的概念,School of Civil

4、Engineering, Tongji Univ.,Strucural Analysis,“力法”的發(fā)展 法國的納維于1826年提出了求解超靜定結構問題的一般方法（基本方程）。 19世紀30年代，由于橋梁跨度的增長，出現了金屬桁架結構。從1847年開始的數十年間，學者們應用圖解法、解析法等研究靜定桁架的受力，這奠定了桁架理論的基礎。1864年英國的麥克斯韋創(chuàng)立了單位荷載法和位移互等定理，并用單位荷載法求出桁架的位移，由此學者們終于得到了求解超靜定問題的方法力法。 土木工程專業(yè)的力學可分為兩大類，即“結構力學類”和“彈性力學類”。 “結構力學類”包括理論力學、材料力學和結構力學，其分析方法具有強

5、烈的工程特征，簡化模型是有骨架的體系（質點、桿件或桿系），其力法基本未知量一般是“力”，方程形式一般是線性方程。 “彈性力學類”包括彈塑性力學和巖土力學，其思維方式類似于高等數學體系的建構，由微單元體（高等數學中的微分體）入手分析，簡化模型通常是無骨架的連續(xù)介質，其力法基本未知量一般是“應力”，方程形式通常是微分方程。,6-1 超靜定結構的概念,School of Civil Engineering, Tongji Univ.,Strucural Analysis,力法的基本概念 以圖示單跨梁為例說明。,6-2 力法的基本原理 Fundamentals of the Force Method,

6、School of Civil Engineering, Tongji Univ.,Strucural Analysis,力法的基本概念 對基本結構應用疊加原理,6-2 力法的基本原理 Fundamentals of the Force Method,School of Civil Engineering, Tongji Univ.,Strucural Analysis,力法的基本概念 和 的計算,6-2 力法的基本原理 Fundamentals of the Force Method,School of Civil Engineering, Tongji Univ.,Strucural An

7、alysis,單位彎矩圖,荷載彎矩圖,疊加計算最終內力：,力法的特點 以多余約束力作為基本未知量。故，該方法稱為力法。 以內力和位移計算方法已知的結構（通常是靜定結構）作為基本結構。 根據多余約束力作用點沿多余約束力作用方向的位移（或變形）條件，建立關于多余約束力的方程力法方程。 求出多余約束力后，化超靜定問題為靜定問題。,6-2 力法的基本原理 Fundamentals of the Force Method,School of Civil Engineering, Tongji Univ.,Strucural Analysis,將未知問題轉化為已知問題，通過消除已知 問題和原問題的差別，使

8、未知問題得以解決。 這是科學研究的基本方法之一。,超靜定次數 力法基本未知量和基本結構是相互對應的。 若選擇靜定結構作為基本結構，那么基本未知量就是多余約束力，故，基本未知量的數量就是多余約束的數量。 多余約束的個數稱為超靜定次數。若一個結構有n個多余約束，則稱其為n次超靜定結構。,6-3 超靜定次數和力法基本結構,School of Civil Engineering, Tongji Univ.,Strucural Analysis,幾次超靜定?,一根桿件所需要的最少約束數量是3個，本結構有2個多余約束，故，2次超靜定。,力法基本結構 原結構解除多余約束所形成的靜定結構，稱為力法基本結構。,

9、6-3 超靜定次數和力法基本結構,School of Civil Engineering, Tongji Univ.,Strucural Analysis,力法基本結構,力法基本未知量與基本結構的關系 力法基本未知量與基本結構是一一對應的，基本未知量確定后，對應的基本結構也就確定了。 力法基本未知量數目（超靜定次數）是唯一的，而基本結構不唯一。,還可以選擇哪些 基本結構?,6-3 超靜定次數和力法基本結構,School of Civil Engineering, Tongji Univ.,超靜定次數的判別 判別方法 物理方法解除多余約束法 數學方法計算自由度法 物理方法：解除多余約束，使原始超

10、靜定結構變?yōu)殪o定結構，從而確定多余約束數量。常見解除多余約束的方法主要有以下四種。 去掉一支桿或切斷一鏈桿（相當于去掉一個線位移約束）,Strucural Analysis,6-3 超靜定次數和力法基本結構,School of Civil Engineering, Tongji Univ.,超靜定次數的判別 去掉一個單鉸（相當于去掉兩個線位移約束）,Strucural Analysis,將一個單剛連接改為單鉸連接（相當于去掉一個角位移約束）,6-3 超靜定次數和力法基本結構,School of Civil Engineering, Tongji Univ.,超靜定次數的判別 切斷一個單剛結點（

11、相當于去掉兩個線位移約束和一個角位移約束）,Strucural Analysis,數學方法：計算結構體系的自由度，如果自由度小于零，說明體系是超靜定結構，超靜定次數為自由度的絕對值。,按平面鏈桿體系計算自由度： 結點數量8；鏈桿數量16；支桿數量3。 自由度W=2 (結點數)(鏈桿數+支桿數) =28(16+3)=3 三次超靜定。,6-3 超靜定次數和力法基本結構,School of Civil Engineering, Tongji Univ.,超靜定次數的判別 兩種方法的比較,Strucural Analysis,具體應用中建議先采用物理方法判別超靜定次數，然后采用數學方法校核。,注意的問

12、題 超靜定結構解除多余約束的方法有多種，對應的靜定結構有多種形式，但作為力法基本結構的靜定結構必須幾何不變。,6-3 超靜定次數和力法基本結構,School of Civil Engineering, Tongji Univ.,Strucural Analysis,注意的問題 超靜定結構解除多余約束的方法有多種，對應的靜定結構有多種形式，但作為力法基本結構的靜定結構必須幾何不變。,一個超靜定結構可能有多種形式的基本結構，不同基本結構帶來不同的計算工作量。,6-3 超靜定次數和力法基本結構,School of Civil Engineering, Tongji Univ.,Strucural A

13、nalysis,注意的問題 多余約束可以是外部約束，也可以是內部約束，解除約束要徹底。特別是無鉸封閉框的內部多余約束極易忽略，一個無鉸封閉框有三個多余約束。,6-3 超靜定次數和力法基本結構,School of Civil Engineering, Tongji Univ.,Strucural Analysis,例題：判別下列結構的超靜定次數，并作力法的基本結構。,(a),(b),(c),(d),(e),6-3 超靜定次數和力法基本結構,School of Civil Engineering, Tongji Univ.,Strucural Analysis,例題：判別下列結構的超靜定次數，并作

14、力法的基本結構。,(f),(h),(g),課堂練習：Text Book P.170習題6-1,6-4 力法典型方程和力法應用例題,School of Civil Engineering, Tongji Univ.,Strucural Analysis,力法典型方程 以圖示三次超靜定剛架為例，說明如何建立力法方程。,基本結構,基本結構在未知多余約束力和已知外荷載共同作用下，與原結構等效；故，B點與三個多余約束力對應的位移均為零。即,引入： 基本結構在 單獨作用下， 作用點沿 作用方向的位移。 基本結構在已知外荷載單獨作用下， 作用點沿 作用方向的位移。,根據疊加原理：,所以：,6-4 力法典型方

15、程和力法應用例題,School of Civil Engineering, Tongji Univ.,Strucural Analysis,力法典型方程,基本結構,力法方程：,力法方程的物理含義：（要求從以下三個方面理解） 方程整體的物理含義： 表示原結構的位移(或變形)條件，即基本結構在多余約束力和已知外荷載共同作用下，多余約束力作用點沿多余約束力作用方向的位移與原結構的對應位移相同。通常方程等號左側表示基本結構的位移，等號右側表示原結構的位移。,原結構的位移,6-4 力法典型方程和力法應用例題,School of Civil Engineering, Tongji Univ.,Strucu

16、ral Analysis,力法典型方程,基本結構,力法方程：,力法方程的物理含義：（要求從以下三個方面理解） 方程整體的物理含義 方程行和列的物理含義： 行表示位移(變形)條件。第i行表示與第i個多余約束力Xi對應的位移(變形)條件。 例：上述第2個方程表示基本結構B點豎向位移為零。 列表示基本結構的受力狀態(tài)。例：上述方程等號左側4列表示將基本結構的受力 分解成4種狀態(tài)，其中第1、2、3列分別表示基本結構只承受X1、X2、X3單獨 作用，第4列表示基本結構只承受已知外荷載單獨作用。圖示如下：,6-4 力法典型方程和力法應用例題,School of Civil Engineering, Tong

17、ji Univ.,Strucural Analysis,力法典型方程,基本結構,力法方程：,6-4 力法典型方程和力法應用例題,School of Civil Engineering, Tongji Univ.,Strucural Analysis,力法典型方程,基本結構,力法方程：,力法方程的物理含義：（要求從以下三個方面理解） 方程整體的物理含義 方程行和列的物理含義 系數項和自由項的物理含義：, 基本結構在 單獨作用下， 作用點沿 作用方向的位移。 基本結構在已知外荷載單獨作用下， 作用點沿 作用方向的位移。 系數項和自由項均可按照靜定結構的位移計算方法計算。,6-4 力法典型方程和力法

18、應用例題,School of Civil Engineering, Tongji Univ.,Strucural Analysis,力法典型方程,對于n次超靜定結構，去掉n個多余約束后，有n個位移條件與之對應，建立n個方程如下：,上式即為力法典型方程，可簡寫成矩陣形式 ，其中 稱為結構的柔度矩陣。,主系數 恒正；副系數 和自由項 可正，可負；可零。,副系數 。,Why?,位移互等,6-4 力法典型方程和力法應用例題,School of Civil Engineering, Tongji Univ.,Strucural Analysis,力法典型方程,解力法方程求出多余約束力后，由于基本結構與原

19、結構等效，故原超靜定結構的內力就是基本結構在多余約束力和已知外荷載共同作用下的內力。可采用疊加原理計算。以彎矩為例，有,由上述力法典型方程的建立，可以歸納出力法解題的一般步驟：,判別超靜定次數(唯一)，選取基本結構(不唯一)。,列出力法方程。 (強調：理解方程的物理含義),計算方程的系數項 和自由項 。 (力法的主要計算工作),求解力法方程，得多余約束力。,用疊加原理計算最終內力。,6-4 力法典型方程和力法應用例題,School of Civil Engineering, Tongji Univ.,Strucural Analysis,力法應用例題,【例1超靜定梁】用力法求作圖示兩跨連續(xù)梁的

20、彎矩圖。已知 。,【解】 判別超靜定次數，選基本結構。,本結構1次超靜定，取基本結構如圖。,注意：基本結構的選擇應盡量使力法方程的系數項和自由項計算簡單，即盡量使基本結構在多余約束力和外荷載作用下的彎矩圖簡單，便于圖乘。,列出力法方程：,(物理含義？),作單位彎矩圖 和荷載彎矩圖 ，計算系數項 和自由項 。,1,6-4 力法典型方程和力法應用例題,School of Civil Engineering, Tongji Univ.,Strucural Analysis,力法應用例題,【例1超靜定梁】用力法求作圖示兩跨連續(xù)梁的彎矩圖。已知 。,【解】 判別超靜定次數，選基本結構。,列出力法方程：,

21、作單位彎矩圖 和荷載彎矩圖 ，計算系數項 和自由項 。,1,解方程：,作最終彎矩圖：,6-4 力法典型方程和力法應用例題,School of Civil Engineering, Tongji Univ.,Strucural Analysis,力法應用例題,【例2超靜定桁架】用力法求圖示桁架內力。各桿 。,【解】 2次超靜定，選基本結構如圖。,6-4 力法典型方程和力法應用例題,School of Civil Engineering, Tongji Univ.,Strucural Analysis,力法應用例題,【例2】,力法方程：,6-4 力法典型方程和力法應用例題,School of Ci

22、vil Engineering, Tongji Univ.,Strucural Analysis,力法應用例題,【例2】,解方程，得,所有桿件最終內力均采用疊加法計算，以AB桿件為例：,6-4 力法典型方程和力法應用例題,School of Civil Engineering, Tongji Univ.,Strucural Analysis,力法應用例題,【思考題】上述計算中基本結構（一）是將多余的桁架桿件切斷，請考慮能否將多余的桁架桿件去掉，選擇基本結構（二）進行力法計算？二者有何區(qū)別？,基本結構的力法方程：,力法方程表示與多余約束力對應的幾何條件，兩個不同基本結構多余約束力的作用點發(fā)生了變

23、化，故力法方程應該不同。,基本結構的力法方程：,兩個方程的主系數計算不同， 的方程主系數比的方程主系數大，各多了一根斜桿的內力功項，其大小剛好等于方程等號右邊項的系數。故兩個方程等效。,6-4 力法典型方程和力法應用例題,School of Civil Engineering, Tongji Univ.,Strucural Analysis,力法應用例題,【例3超靜定剛架】用力法求作圖示剛架的彎矩圖。各桿 。,【解】 2次超靜定，選基本結構如圖。,6-4 力法典型方程和力法應用例題,School of Civil Engineering, Tongji Univ.,Strucural Anal

24、ysis,力法應用例題,【例3超靜定剛架】用力法求作圖示剛架的彎矩圖。各桿 。,圖乘可求：,力法方程：,解得：,6-4 力法典型方程和力法應用例題,School of Civil Engineering, Tongji Univ.,Strucural Analysis,力法應用例題,【例3超靜定剛架】用力法求作圖示剛架的彎矩圖。各桿 。,疊加做最終彎矩圖：,6-4 力法典型方程和力法應用例題,School of Civil Engineering, Tongji Univ.,Strucural Analysis,力法應用例題,【解】 1次超靜定。,【例4超靜定組合結構】圖示加勁梁，已知橫梁 ，

25、試用力法計算當 分別為 和 時梁的彎矩圖。并分析 等于多少時梁的正負彎矩相等？,當 時，,6-4 力法典型方程和力法應用例題,School of Civil Engineering, Tongji Univ.,Strucural Analysis,力法應用例題,【解】,【例4超靜定組合結構】圖示加勁梁，已知橫梁 ，試用力法計算當 分別為 和 時梁的彎矩圖。并分析 等于多少時梁的正負彎矩相等？,當 時，,有無下部鏈桿時梁內最大彎矩之比,6-4 力法典型方程和力法應用例題,School of Civil Engineering, Tongji Univ.,Strucural Analysis,力法

26、應用例題,【例4超靜定組合結構】圖示加勁梁，已知橫梁 ，試用力法計算當 分別為 和 時梁的彎矩圖。并分析 等于多少時梁的正負彎矩相等？,當 時，,梁的彎矩與兩跨連續(xù)梁相同。,通過改變連桿的剛度，可以調整梁內彎矩分布。,6-4 力法典型方程和力法應用例題,School of Civil Engineering, Tongji Univ.,Strucural Analysis,力法應用例題,【解】設豎桿壓力為X1時，梁正負彎矩相等。,【例4超靜定組合結構】圖示加勁梁，已知橫梁 ，試用力法計算當 分別為 和 時梁的彎矩圖。并分析 等于多少時梁的正負彎矩相等？,負彎矩 （疊加原理）,設最大正彎矩發(fā)生在離支座距離為S 處，此處剪力應為零，有,6-4 力法典型方程和力法應用例題,School of Civil Engineering, Tongji Univ.,Strucural Analysis,力法應用例題,【解】,【例4超靜定組合結構】圖示加勁梁，已知橫梁 ，試用力法計算當 分別為 和 時梁的彎矩圖。并分析 等于多少時梁的正負彎矩相等？,由 得,對應的力法方程為,從而，