1、多元函數(shù)的偏導數(shù),第八章,一、 偏導數(shù)的概念,二 、偏導數(shù)的計算,第二節(jié),四 、高階偏導數(shù),三 、偏導數(shù)的幾何意義,一、偏導數(shù)的概念,1.引例,研究弦在點 x0 處的振動速度與加速度 ,就是將,中的 x 固定,求,于x0 處,振幅,t 的一階導數(shù)與二階導數(shù).,弦線的振動問題.,關于,2. 定義8.6,對x 的偏導數(shù)，記為,同樣可定義,函數(shù) f(x, y) 在點 對 y 的偏導數(shù),注,記為,注 1 偏導函數(shù),z = f ( x , y ) 在域 D 內(nèi)每一點 ( x , y ),偏導數(shù) ,記為,處對 x的（或 y )偏導數(shù)都存在 , 稱該偏導數(shù)為,若函數(shù),z = f(x, y) 對自變量x (或

2、y)的偏導函數(shù), 也簡稱為,由此可知：,2 偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù),例如: 三元函數(shù) u = f (x , y , z) 在點(x , y , z) 處對 x 的,偏導數(shù)定義為,(請自己寫出),3 可(偏)導,例1,求證:,證,(R 為常數(shù)) ,一定量理想氣體的狀態(tài)方程,5,3. 偏導數(shù)存在與連續(xù)的關系,對于一元函數(shù)：,可導,連續(xù),對于多元函數(shù)：,可（偏）導,連續(xù),例2,證,注 對于二元函數(shù)：,可偏導,連續(xù),例3,解(方法1),其值隨 k 的不同而變化，,從而 f (x , y) 在點(0 , 0)并不連續(xù)!,(方法2),注 對于二元函數(shù)：,可偏導,連續(xù),由偏導數(shù)的定義可知,為一元

3、函數(shù)的導數(shù)計算.,偏導數(shù)的計算可歸結(jié),二、偏導數(shù)的計算,求某個具體的點處的偏導數(shù)時方便,例4 求,解(方法1),在點(1 , 2) 處的偏導數(shù).,先求后代,先代后求,(方法2),例5 設,證,求證,解,例6,三、偏導數(shù)的幾何意義,是曲線,在點 M0 處的切線,對 y 軸的斜率.,例7,解,四、高階偏導數(shù),設 z = f (x , y)在域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導數(shù),若這兩個偏導數(shù)仍存在偏導數(shù)，,則稱它們是,z = f ( x , y )的二階偏導數(shù) .,按求導順序不同,有下列四個二階偏導數(shù):,類似可以定義更高階的偏導數(shù).,例如，z = f (x , y) 關于 x 的三階偏導數(shù)為,z = f (

4、x , y) 關于 x 的 n 1 階偏導數(shù) , 再關于,y 的一階偏導數(shù)為,例8 求函數(shù),解,注 此處,但這一結(jié)論并不總是成立.,的二階偏導數(shù)及,問題：,二階混合偏導數(shù)一定都相等嗎？,不一定！,例如：,二者不等,則,定理,例如, 對三元函數(shù) u = f (x , y , z) ,本定理對 n 元函數(shù)的高階混合偏導數(shù)也成立.,當三階混合偏導數(shù),在點 (x , y , z) 連續(xù)時, 有,(證明略),問題：,具備怎樣的條件，混合偏導數(shù) 相等？,例9 證明函數(shù),滿足拉普拉斯,證,利用對稱性 , 有,方程,內(nèi)容小結(jié),1. 偏導數(shù)的概念及有關結(jié)論,定義; 記號; 幾何意義,函數(shù)在一點偏導數(shù)存在,函數(shù)在此點連續(xù),混合偏導數(shù)連續(xù),與求導順序無關,2. 偏導數(shù)的計算方法,求一點處偏導數(shù)的方法,先代后求,先求后代,利用定義,求高階偏導數(shù)的方法,逐次求導法,(與求導順序無關時, 應選擇方便的求導順序),解,備用題,例2-1,例5-1