1、,窄帶隨機(jī)過程的定義 解析信號與希爾伯特變換 窄帶隨機(jī)過程的性質(zhì) 窄帶高斯隨機(jī)過程Z(t)的高斯分布 余弦波加窄帶高斯過程,第六章 窄帶隨機(jī)過程,6.1 窄帶隨機(jī)過程的定義,窄帶系統(tǒng)-很多無線電系統(tǒng)的通頻帶 是比較窄的，它們遠(yuǎn)小于其中心頻率 ，這種系統(tǒng)只允許輸入信號靠近 附近的頻率分量通過，故稱為窄帶系統(tǒng)。其滿足：,為高頻載波。,窄帶隨機(jī)過程- 若一個隨機(jī)過程的功率譜密度，只分布在高頻載波 0 附近的一個較窄的頻率范圍內(nèi)，且滿足0 時，則稱該過程為窄帶隨機(jī)過程。記為：Z( t ) 。,例：圖6.1為以窄帶隨機(jī)過程的功率譜密度函數(shù),問題: 對應(yīng)于功率譜密度GZ ()的窄帶隨機(jī)過程Z(t)的表達(dá)

2、式為何？即如何 。,1. 由 可知: 若Gz()占的頻帶很窄，則ZT()也一定占很窄的 頻帶,即其系統(tǒng)函數(shù)具有與功率轉(zhuǎn)移函數(shù)相似的形式 2. 由信號與線性系統(tǒng)可知： 時域中的一個慢變化信號對一高頻(0)信號調(diào)幅變換時, 信號具有如圖所示的頻響特征。,窄帶隨機(jī)過程的時域表達(dá)(一):,B( t ),Z( t )的一個樣本函數(shù),B( t )-窄帶隨機(jī)過程Z(t)的包絡(luò)函數(shù)-慢變化 ( t )-窄帶隨機(jī)過程Z(t)的相位函數(shù)-慢變化， B( t ) , ( t )都是隨時間 t 慢變化的隨機(jī)過程。,表達(dá)式(二)：,其中：,由于 與 正交，故稱 X( t )-Z( t )的同相分量， Y( t )-Z(

3、 t )的正交分量。 引入表達(dá)式 2 的目的是將Z( t )分解成兩個相互正交的分量， 以便于分別分析。,表達(dá)式 1 和表達(dá)式 2 兩者間的幾何關(guān)系： 表達(dá)式1： 表達(dá)式2：,表達(dá)式1： 表達(dá)式2：,問題的提出：,平穩(wěn)窄帶過程,B( t )與( t ) X( t )和Y( t ),統(tǒng)計特性或功率譜密度如何確定呢？,一般時域信號 S(t),滿足共軛對稱性，即，,由此可知：時域?qū)嵭盘栒?、?fù)頻域的頻譜可互求。, 6.2 解析信號與希爾伯特變換,1 解析信號的引入- 僅在正頻域有值的復(fù)信號.,從有效利用信號的角度出發(fā)，實信號負(fù)頻域部分是冗余 余的，所以只要保留正頻域的頻譜，記為 ，即可。,時域復(fù)信號。

4、,Fourier 變換,問題：如何由給定的時域?qū)嵭盘枠?gòu)造對應(yīng)的時域復(fù)信號?,2解析信號的構(gòu)造,對給定的時域?qū)嵭盘杝(t)，設(shè)構(gòu)造的時域復(fù)信號為,其中， 為一由s(t)構(gòu)造的信號，其構(gòu)造方法可為，,即，,H(w)的設(shè)計要求： 1要滿足使得Z(w)只有正頻域頻譜； 2要使z(t)信號與s(t)信號的總能量保持不變。,。,故此，,H s(t)，,稱為Hilbert變換。,由此可得:,Hilbert 變換與反變換:,H(w)或h(t)稱為Hilbert變換器。 它不改變信號的幅頻特性，只改變信號的相頻特性。,由此方法構(gòu)造的復(fù)信號稱為實信號s(t)的解析信號:,H,全通濾波器,90相移器,3Hilber

5、t變換的性質(zhì),性質(zhì)1. H = 性質(zhì)2 若 ，則 H 性質(zhì)3 和x(t)的能量及平均功率相等，即,。,性質(zhì)4. 平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)和其對應(yīng)的Hilbert變換,的自相關(guān)函數(shù)滿足：,性質(zhì)5. 平穩(wěn)隨機(jī)過程 X(t) 的互相關(guān)函數(shù)滿足：,變換后平均功率不變,X(t) 在同一時刻正交,為奇函數(shù),性質(zhì)6. 設(shè)具有有限帶寬 Dw的信號 a(t)的傅氏變換 A(w) , 假定 ， 則有,H ,H ,即: 幅度調(diào)制信號(窄帶過程), 僅對載波進(jìn)行Hilbert 變換.,6.3 窄帶隨機(jī)過程的性質(zhì),的功率譜密度 或統(tǒng)計特性,設(shè): 若Z(t)是任意的窄帶、寬平穩(wěn)、實隨機(jī)過程，零均 且功率譜密度滿足：,問題：若

6、已知,如何確定,則X(t)和Y(t)具有下列性質(zhì)：,性質(zhì)1 X(t)和Y(t)各自寬平穩(wěn)且聯(lián)合寬平穩(wěn)。,性質(zhì)2,性質(zhì)3,性質(zhì)4,性質(zhì)5,性質(zhì)6,性質(zhì)7,性質(zhì)8,性質(zhì)9,性質(zhì)10,性質(zhì)11,性質(zhì)12,其中，Lp為求等效低通運算。即，令0=0,窄帶隨機(jī)過程性質(zhì)的證明，p.165168。 窄帶隨機(jī)過程的性質(zhì)的證明與討論： 1. 均值 (性質(zhì)2), 由,的條件，可知：,2.相關(guān)函數(shù),由Z(t)的平穩(wěn)性：,可知，Z(t)的自相關(guān)函數(shù)應(yīng)該與時間 t 無關(guān)，而僅與 有關(guān)。 即 t 可為任何值，而不影響 。 故，,( 1 ) 令 t=0，可得：,（2） 令 t=/20，可得：,性質(zhì)1. 若Z(t)是寬平穩(wěn)的,

7、 則X(t)與Y(t)也是寬平穩(wěn)的。,、 以及 、 的性質(zhì)： 性質(zhì)5. 窄帶隨機(jī)過程的同相和正交分量的自相關(guān)函數(shù)相等。 由上述關(guān)系式（2）-（1），可得,性質(zhì)7. 同相和正交分量的互相關(guān)函數(shù)為奇函數(shù)。 由式（3）同理可得：,由互相關(guān)函數(shù)性質(zhì)：,性質(zhì)8. 同時刻的X(t)與Y(t)正交 同時刻互不相關(guān)。,和,為奇函數(shù),性質(zhì)8. 零均窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過程Z(t)、X(t)、Y(t)的 平均功率及方差相同。, 前面假設(shè)窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過程的均值為零， ,即: X(t),Y(t),Z(t) 的平均功率相同,令,性質(zhì)性質(zhì)4證明:,例6.6 對于窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過程,。若其均值為零，功率譜密度為,其中W, w，w0都

8、是正實常數(shù)。試求: Z(t)的平均功率； X(t)的功率譜密度； X(t),Y(t)的互相關(guān)函數(shù)； X(t),Y(t)是否正交？,解:, 其中,和,所以 X(t),Y(t)處處正交 低通特性對稱的窄帶過程, X(t),Y(t)處處正交. 一般情況只滿足 同時刻正交 。,6.4 窄帶高斯隨機(jī)過程Z(t)的概率分布,1. 同相分量X(t)/正交分量Y(t)的概率分布,由,，可得：, Z(t)為高斯 X(t1)和Y(t2)也是高斯隨機(jī)變量。 高斯過程若是寬平穩(wěn)的，則一定是嚴(yán)平穩(wěn)的， 而嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的概率密度函數(shù)與時間起點無關(guān),， t 的任意性。,， t 的任意性。,故，,其中， 可替換為 或 。,

9、結(jié)論: 零均窄帶平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程Z(t)，其同相分量X(t) 和正交分量Y(t) (1) 同樣是平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程，且具有一般平穩(wěn)過程的性質(zhì)。,。,同時刻的X(t)與Y(t)統(tǒng)計獨立。,mx=my=0,同時刻的X(t)與Y(t)不相關(guān),高斯過程,(2) 由,同時刻的X(t)與Y(t)正交,設(shè)B(t)和(t)的二維概率密度函數(shù)為：,則，,2Z(t)的包絡(luò)B(t)和相位(t)的概率分布,若Z(t)為零均窄帶平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程，則,由邊緣分布可得,。,B(t)和(t)的二維概率密度函數(shù)為:,結(jié)論: 零均窄帶平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程：,其包絡(luò)B(t)服從瑞利分布， 相位(t)服從均勻分布。 B(t)與(t)在同一

10、時刻t是統(tǒng)計獨立的。,另外: 有窄帶過程，則必存在非窄帶過程。因此，相對于窄帶過程我們可以給非窄帶過程下一個粗略的定義，即： 功率譜分布的頻率范圍可與其所在的中心頻率比擬的（或 不滿足ffo條件的）隨機(jī)過程，稱為非窄帶過程。,例2：求窄帶高斯隨機(jī)過程包絡(luò)平方的概率分布。 設(shè)包絡(luò)的平方為：,，,已知：,。求,。,解：,6.5 余弦波加窄帶高斯過程,模擬通信系統(tǒng)接收機(jī)前端模型:,加性噪聲: 平穩(wěn)窄帶零均高斯過程,加白噪聲,其中：, 是0，2上均勻分布的隨機(jī)變量。S(t)為隨相余弦信號；,。,研究余弦信號加窄帶高斯過程的重要性。,且:,加性噪聲-平穩(wěn)窄帶零均高斯過程,設(shè)合成信號：,令：,其中：,。,

11、問題：余弦信號加窄帶高斯過程之和R(t)的包絡(luò)函數(shù)B(t) 和相位函數(shù)(t)的統(tǒng)計特征如何？,包絡(luò)函數(shù)B(t)的統(tǒng)計特征 若給定（即為一確定值），則,同理:,在給定的條件下，X(t)和Y(t)為高斯分布, 在任意時刻t，隨機(jī)變量Xt和Yt的聯(lián)合概率密度函數(shù)為：,利用上式可得,由此可求出的表達(dá)式如下：,包絡(luò)的條件概率：,上式與 q 無關(guān)，故可得：,上式稱為：廣義瑞利分布或萊斯密度函數(shù)。 若a=0，則退化為瑞利分布。,其中，,是零階修正貝塞爾函數(shù)。其級數(shù)形式為,。,很小,或噪聲平均功率 很大,當(dāng)x1時，有,包絡(luò)的概率密度退化為瑞利分布。,b) 當(dāng)x1時，有,即信噪比很大時:, 在慢變化系數(shù)因子中,用a 取代Bt, 可得高斯分布。,x1,信噪比很小,2. 相位函數(shù)的統(tǒng)計特征,代入 ， 并求積分可得：,，,故，相位分布積分較復(fù)雜。,小結(jié)：,Z(t)為零均窄帶高斯過程，其,。,1. 由,可知，X(t)和Y(t)分別與XN(t)和YN(t)呈線性關(guān)系，而且 二者分別是均值為 和 窄帶高斯過程；,2由 可知，B(t)