1、等腰三角形,1、等腰三角形的定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形。 2、等腰三角形的性質(zhì)： （1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等。 （簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”） （2）等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高重合（簡(jiǎn)寫成“三線合一”） 3、等腰三角形的判定： （1）有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。 （2）有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形。 （簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”）,4、等腰三角形有關(guān)結(jié)論： （1）等腰三角形的兩底角的平分線相等。 （兩條腰上的中線相等，兩條腰上的高相等） （2）等腰三角形的底邊上的中點(diǎn)到兩腰的距離相等。 （3）等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰距離之和等于一腰上的高(需用等面積法

2、證明) （4）等腰三角形的一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半。,等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，證明線段、角相等，求線段的長(zhǎng)度、角的度數(shù)。,下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是( )；等邊三角形也是等腰三角形，任何一邊都可以作為底或腰；不等邊三角形是遍都不相等的三角形；不等邊三角形是三邊不都相等的三角形；三角形按邊可分為不等邊三角形、等腰三角形、等邊三角形。A.1 B.2 C.3 D.4,B,已知一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為4cm，5cm，且第 三邊長(zhǎng)x為整數(shù)，問： （1）由4cm,5cm,xcm為邊可組成多少個(gè)不同的三角形？ （2）如果這個(gè)三角形是等腰三角形，試確定x的值。,解：（1）由三邊關(guān)系可知，

3、5-4x 5+4， 即1 x 9 又x為整數(shù)，故x可取值為2，3，4，5，6，7，8共7個(gè)，因而可組成7個(gè)不同的三角形。 （2） 當(dāng)x=4cm或5cm時(shí)，可組成等腰三角形。,如圖，P，Q是ABC邊上的兩點(diǎn)，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求BAC的度數(shù)。,開動(dòng)腦筋,在ABC中，AB=AC,點(diǎn)D在BC上，且AD=BD, AC=CD,求B的度數(shù)。,AB=AC,AD=BD,AC=CD B=C=BAD,ADC=DAC 設(shè)B=x，則ADC=B+BAD=2x DAC=ADC=2x 在ABC中 B+C+BAC=180 x=36 故B=36,如圖，CA=CB,DF=DB,AE=AD,求A的度數(shù),設(shè)A為x CA

4、=CB A=B=x DF=DB F=B=x A=B= F =x ADE=2x AE=AD AED=ADE=2x A=1805=36,E,ABC是等邊三角形，過AC邊上的點(diǎn)D作DG/BC,交AB于點(diǎn)G，在GD的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使DE=DC，連接AE,BD。（1）求證AGEDAB。,解： ABC是等邊三角形， DG/BC AGD是等邊三角形 AG=GD=AD,AGD=60 DE=DC GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB AGD=BAD,AG=AD AGEDAB,（2）過點(diǎn)E作EF/DB，交BC于點(diǎn)F，連接AF，求AFE的度數(shù)。,解： EF/DB， DG/BC 四邊形BFED是平行四邊形 E

5、F=BD EF=AE DBC=DEF ABD+DBC=AEG+DEF 即AEF=ABC=60 AEF是等邊三角形 AFE= 60,已知，在ABC中，AB=AC,BDAC于點(diǎn)D，求證：2DBC=BAC,證明： 過點(diǎn)A作AEBC于點(diǎn)E AB=AC， AEBC 2EAC=BAC EAC+C=90 又BDAC DBC=EAC 所以2DBC=BAC,如圖，在ABC中，BAC90，ABAC，ABC的平分線交AC于D，過C作BD垂線交BD的延長(zhǎng)線于E，交BA的延長(zhǎng)線于F，求證：BD2CE,如圖，在ABC中，已知ABAC， BAC90，D是BC上一點(diǎn)，ECBC， ECBD，DFFE 求證：（1）ABDACE；

6、（2）AFDE,已知如圖1，B、C、E三點(diǎn)在同一條直線上，ABC與DCE都是等邊三角形，AE交CD于點(diǎn)G，BD交AC與點(diǎn)F，連接FG。 證明：（1）AE=BD； （2）FGBE；,圖1,（3）如圖2，若M、N分別是AE、BD的中點(diǎn)，MNC是什么三角形？請(qǐng)說明理由。,圖2,角平分線定理與垂直平分線定理,例1：如圖，已知：AB=AC，AB的垂直平分線交AC于D，垂足是點(diǎn)E，C=70，求BDC的度數(shù)。,解： AB=AC， ABC=C=70。 A=180-2C=40， 又DE垂直平分AB， AD=BD。 DBA=A=40。 BDC=A+ABD =40+40=80。,例2 如圖1，OC平分，P是OC上一

7、點(diǎn)，D是OA上一點(diǎn)，E是OB上一點(diǎn)，且PD=PE，求證：,證明：過點(diǎn)P作 ， ，垂足分別為M、N 因OC是角平分線， ， ， 故PM=PN 由PD=PE，PM=PN，得 ， 而,例3 如圖2，在 中， 的平分線與BC邊的垂直平分線相交于點(diǎn)P。過點(diǎn)P作AB、AC（或延長(zhǎng)線）的垂線，垂足分別是M、N。求證：BM=CN。,證明：因AP是 的角平分線，又因?yàn)?， ，故 PM=PN 因PD是BC的垂直平分線， 故PB=PC 因PB=PC，PM=PN， 故,例4：已知：如圖，PB、PC分別是ABC的外角平分線，相交于點(diǎn)P.求證：P在A的平分線上,證明：過點(diǎn)作，垂足分別為，。 ，分別是ABC的外角平分線 PE=PQ, PF=PQ PE=PF ， 點(diǎn)P在A的平分線上,例5：已知：如圖，在ABC中，AD是高，BC的垂直平分線交AC于E，BE交AD于F。求證：E在AF的垂直平分線上。,證明：