1、,第十三章 能量法,結(jié)構(gòu)力學(xué),第十三章 能量法,利用功能原理解決工程結(jié)構(gòu)位移或桿件變形等有關(guān)問(wèn)題的方法,稱為能量法,第十三章 能量法,外力功 變形能 利用功能原理計(jì)算位移 四 求位移的卡氏定理,第十三章 能量法,外力功,定義: 任何彈性體在外力作用下都要發(fā)生變 形。彈性體在變形過(guò)程中,外力沿其作用線 方向所作的功,稱為外力功。,第十三章 能量法 /一 外力功,第十三章 能量法 /一 外力功,計(jì)算 1、常力作功 若體系上受到一個(gè)大小不變的常力P的作用,然 后P力的作用點(diǎn)又沿著P力的作用方向上有了位移, 則該力所作的功為 式中的P為廣義力,為廣義位移.,、變力作功 結(jié)構(gòu)上的靜荷載從零逐漸增加到最終

2、值,即加 載過(guò)程中的外力是一個(gè)變力。變力所作的功為,第十三章 能量法 /一 外力功,3、多個(gè)力作用下的外力功 若彈性體上作用著幾個(gè)外力(P1, P2, Pn)時(shí), 則所有外力作的總功等于這些力分別與其相應(yīng)位移 乘積之和的一半;,第十三章 能量法 /一 外力功,3、多個(gè)力作用下的外力功,外力功的最終值僅與各個(gè)外力的最終值有關(guān), 而與各個(gè)力的施加次序無(wú)關(guān),第十三章 能量法 /一 外力功,例題:計(jì)算圖示簡(jiǎn)支梁上的外力功,第十三章 能量法 /一 外力功,解:(1)位移計(jì)算 梁在P和mo共同作用下C 截面的位移 和B截面的轉(zhuǎn)角 ：,第十三章 能量法 /一 外力功,解: (2)外力功的計(jì)算,第十三章 能量

3、法 /一 外力功,分析與討論 若先加P，后加mo，則外力功為,第十三章 能量法 /一 外力功,第十三章 能量法/一 外力功 計(jì)算,分析與討論 若先加mo ，后加P ，則外力功為,第十三章 能量法/一 外力功 計(jì)算,分析與討論 比較計(jì)算結(jié)果，說(shuō)明：,即作用在彈性體上的所有外力作的總功W,等于這些力分別 與其相應(yīng)位移乘積之和的一半。而與各個(gè)力的施加次序無(wú) 關(guān)。,第十三章 能量法,變形能,第十三章 能量法/二 變形能,1 變形能、功能原理 定義：變形能 當(dāng)彈性體受到外力作用而發(fā)生變形時(shí)，外力在相 應(yīng)的位移上所作的功全部以能量的形式儲(chǔ)存在彈性體 內(nèi)，這種因變形而儲(chǔ)存的能量稱為變形能。,第十三章 能量法

4、/二 變形能,1 變形能、功能原理 定義：功能原理 外力功等于變形能（能量守恒及轉(zhuǎn)換原理）,2、桿件產(chǎn)生基本變形時(shí)的變形能,（1）軸向拉伸或壓縮,式中 軸力， A 截面面積,第十三章 能量法/二 變形能,由拉壓桿件組成的桿系的變形能：,受力復(fù)雜桿(軸力沿桿的軸線變化)的變形能,第十三章 能量法/二 變形能,（2）圓截面桿的扭轉(zhuǎn),圓截面桿的變形能,式中 Mn圓桿橫截面上的扭矩； 圓桿橫截面對(duì)圓心的極慣性矩。,第十三章 能量法/二 變形能,受力復(fù)雜的圓截面桿(扭矩沿桿的軸線為變量),第十三章 能量法/二 變形能,（3）平面彎曲,純彎曲梁的變形能：,式中 M梁橫截面上的彎矩； I梁橫截面對(duì)中性軸的慣

5、性矩,m,第十三章 能量法/二 變形能,橫力彎曲梁(彎矩沿梁的軸線為變量)的變形能,第十三章 能量法/二 變形能,式中,一般實(shí)心截面的細(xì)長(zhǎng)梁:剪切變形能遠(yuǎn)小于其彎曲變形能，通常忽略不計(jì)。,k 由截面的幾何形狀決定: 矩形截面:k=1.2, 圓截面: k=10/9,圓環(huán)形截面:k=2。,（4）剪切,第十三章 能量法/二 變形能,3 產(chǎn)生組合變形時(shí)的變形能,注意：變形能為內(nèi)力（或外力）的二次函數(shù)，故疊加原理在變形能計(jì)算中不能使用。,第十三章 能量法/二 變形能,4 關(guān)于變形能計(jì)算的討論,以上計(jì)算公式僅適用于線彈性材料在小變形下的變形能的計(jì)算。,變形能可以通過(guò)外力功計(jì)算，也可以通過(guò)桿件微段上的內(nèi)力功

6、等于微段的變形能，然后積分求得整個(gè)桿件上的變形能。,變形能為內(nèi)力（或外力）的二次函數(shù)，故疊加原理在變形能計(jì)算 中不能使用。只有當(dāng)桿件上任一載荷在其他載荷引起的位移上不做功 時(shí)，才可應(yīng)用。,4 變形能是恒為正的標(biāo)量，與坐標(biāo)軸的選擇無(wú)關(guān)，在桿系結(jié)構(gòu)中，各桿可獨(dú)立選取坐標(biāo)系。,第十三章 能量法/二 變形能,第十三章 能量法/二 變形能,B,l,A,mo,EI,x,例題 計(jì)算圖示梁在集中力偶mo作用下的變形能,(a),第十三章 能量法/二 變形能,B,l,A,P,EI,x,例題 計(jì)算圖示梁在集中力P作用下的變形能,(b),第十三章 能量法/二 變形能,B,l,A,P,EI,x,例題 計(jì)算圖示梁在集中力

7、偶mo、集中力P共同作用下的變形能,(c),第十三章 能量法/二 變形能,分析與討論 (1) 從上述變形能計(jì)算結(jié)果可知：,這是因?yàn)?即 變形能是力的二次函數(shù),一般說(shuō)來(lái),變形能不可以簡(jiǎn)單的疊加,第十三章 能量法/二 變形能,分析與討論 (2)為什么有時(shí)兩種荷載單獨(dú)作用時(shí)的變形能可以進(jìn)行疊加,是因?yàn)槠渲幸环N荷載在另一種荷載引起的位移上不作功. 例如,一直桿同時(shí)承受彎曲與扭轉(zhuǎn)作用時(shí),就可以把扭轉(zhuǎn)變形能和彎曲變形能疊加起來(lái)進(jìn)行計(jì)算.因?yàn)榕まD(zhuǎn)在彎曲引起的轉(zhuǎn)角 上不作功,彎矩在扭轉(zhuǎn)引起的扭轉(zhuǎn)角 上也不作功.,第十三章 能量法,利用功能原理計(jì)算位移,利用 可以計(jì)算荷載作用點(diǎn)的位移,但是 只限于單一荷載作用,

8、而且所求位移只是荷載作用點(diǎn) (或作用面)沿著荷載作用方向與荷載相對(duì)應(yīng)的位移。,第十三章 能量法/三 利用功能原理計(jì)算位移,b,l,a,P,例題 圖示變截面受拉桿，E、A 為已知，求加力點(diǎn)C的水平位移,第十三章 能量法/三 利用功能原理計(jì)算位移,l,c,2A,A,第十三章 能量法/三 利用功能原理計(jì)算位移,解：（1）變形能計(jì)算,整根桿的變形能,第十三章 能量法/三 利用功能原理計(jì)算位移,（2）位移計(jì)算,即,得,第十三章 能量法/三 利用功能原理計(jì)算位移,分析和討論 1 若需要位移處無(wú)外力作用,如求b截面 ,外力功表達(dá)式中無(wú)需求的位移項(xiàng),因此無(wú)法求 。 2 若在該桿上作用的外力多于一個(gè),如在b截面

9、上還作用一個(gè)P1力,這時(shí).外力表達(dá)式無(wú)兩個(gè)或兩個(gè)以上的位移,顯然也不能求位移的大小。,第十三章 能量法,四 求位移的卡氏定理,1 卡式定理 若彈性體上作用著多個(gè)外力(廣義力),則該彈性 體的變形能 ,對(duì)于任一外力的偏導(dǎo)數(shù), 就等于該力作用處沿其作用方向的位移(廣義位移), 即,第十三章 能量法/四 求位移的卡氏定理,1 卡式定理的證明,可以證明：,第十三章 能量法/四 求位移的卡氏定理,證明：,再加增量 ，則變形能U的增量dU為,梁的總變形能為：,(a),考慮兩種不同的加載次序。,(1)先加 ，此時(shí)彈性體的變形能為U：,第十三章 能量法/四 求位移的卡氏定理,(2) 先加 ，然后再加 ，此時(shí)彈

10、性體的變形能 由三部分組成：,梁的總變形能為：,(b),(a) 在相應(yīng)的位移 上所作的功,(b) 在相應(yīng)位移 上所作的功：,(c)原先作用在梁上的 對(duì)位移 所作的功,第十三章 能量法/四 求位移的卡氏定理,根據(jù)彈性體的變形能只決定于外力的最終值，而與加載的次序無(wú)關(guān)。(a)(b)兩式相等：,略去二階微量，化簡(jiǎn)后得：,證畢。,第十三章 能量法/四 求位移的卡氏定理,3 卡氏定理的應(yīng)用 應(yīng)用卡氏定理計(jì)算位移時(shí)應(yīng)注意: （1）卡氏定理中的 應(yīng)理解為廣義力， 應(yīng)理解 為廣義位移。 （2）只有當(dāng)彈性系統(tǒng)為線性，即其位移與荷載成 線性關(guān)系時(shí)，才能應(yīng)用卡氏定理。,第十三章 能量法/四 求位移的卡氏定理,應(yīng)用卡

11、氏定理計(jì)算位移時(shí)應(yīng)注意: （3）當(dāng)需利用卡氏定理來(lái)計(jì)算沒(méi)有外力作用處的位移（或所需要的位移與加力方向不一致）時(shí)，可在需要位移處沿著所需求位移的方向任設(shè)一個(gè) 力（等于零），寫出所有力（包括 ）作用下的變形能U的表達(dá)式，并將其對(duì) 求偏導(dǎo)數(shù)，然后再令 等于零，便得所求位移。,第十三章 能量法/四 求位移的卡氏定理,（4）先偏導(dǎo)后積分 利用卡氏定理解位移時(shí)，一般遵循“先偏導(dǎo)后積分”的原則： 列出內(nèi)力方程 先偏導(dǎo)，即求出 的結(jié)果； 后積分，完成上述偏導(dǎo)后，再將其代入下列式中進(jìn)行積分，從而求得需求位移。,第十三章 能量法/四 求位移的卡氏定理,第十三章 能量法/四 求位移的卡氏定理,卡氏定理在各種受力情況

12、下的表達(dá)式,拉（壓）桿：,扭轉(zhuǎn)桿：,彎曲變形桿：,組合變形桿：,桁架：,第十三章 能量法/四 求位移的卡氏定理,應(yīng)用卡氏定理求出 為正時(shí)，表示該廣義位移與其相應(yīng)的廣義力作用方向一致；若為負(fù)值，則表示方向相反。,第十三章 能量法/四 求位移的卡氏定理,例題 試求圖示梁自由端A截面的撓度 和轉(zhuǎn)角 。,B,A,解：1 求 ：,（1）列 方程及對(duì)P的偏導(dǎo)數(shù)：,（2） 計(jì)算 ：,結(jié)果為正，說(shuō)明 與P 方向一致。,第十三章 能量法/四 求位移的卡氏定理,第十三章 能量法/四 求位移的卡氏定理,2 求 ：,求 ，可A處無(wú)力偶作用，因此需在A處暫時(shí)加一個(gè)虛擬的力偶矩 ，如圖所示：,B,A,第十三章 能量法/四 求位移的卡氏定理,（1）列 方程及對(duì) 的偏導(dǎo)數(shù)：,（2） 求 ：,結(jié)果為負(fù)，說(shuō)明 A處轉(zhuǎn)角實(shí)際轉(zhuǎn)向與 的轉(zhuǎn)向相反。,第十三章 能量法/四 求位移的卡氏定理,第十三章 能量法/四 求位移的卡氏定理,例題 圖示桁架，各桿E、A、L均相同，試用卡氏定理求 。,解：桁架各桿均為二力桿，承受沿桿長(zhǎng)不變的軸力。該桁架系統(tǒng)總的變形寫成求和的形式,第十三章 能量法/四 求位