1、,天津科技大學(xué),有限元分析,Finite Element Analysis,內(nèi)容 平面矩形單元與平面等參單元 1 平面矩形單元分析 2 等參單元的概念 3 平面四節(jié)點(diǎn)等參單元分析 要求 理解：平面矩形單元分析流程 平面矩形單元與三角形單元的比較 等參單元的目的和實(shí)現(xiàn)方法 掌握： 等參單元分析的基本思想 課后作業(yè) 收集、閱讀平面8節(jié)點(diǎn)等參元分析資料,回顧,連續(xù)體有限元分析的基本流程,整體 離散,單元分析,單元 組裝,引入邊界條件整體解算,連續(xù)體結(jié)構(gòu),回顧,連續(xù)體有限元分析中的幾次近似,1. 逼近性離散（網(wǎng)格剖分）,2. 單元分片插值（單元分析）,幾何形狀，特別是邊界的逼近程度。,插值多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)

2、的截取。,3. 其它,回顧,連續(xù)體有限元分析中的幾次近似,1. 逼近性離散（網(wǎng)格剖分）,提高精度的辦法：,減小單元尺寸,改變單元形狀,回顧,連續(xù)體有限元分析中的幾次近似,2. 單元分片插值（單元分析）,提高精度的辦法：,增加插值多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù),線性插值函數(shù),如何增加？,增加節(jié)點(diǎn),一、平面矩形單元,矩形單元也是常用的單元之一，由于采用了比常應(yīng)變?nèi)切螁卧叽螖?shù)的位移模式，故可以更好地反映彈性體的位移狀態(tài)和應(yīng)力狀態(tài)。,如圖所示四節(jié)點(diǎn)矩形單元，記單元的節(jié)點(diǎn)位移向量 和節(jié)點(diǎn)力向量為：,為了能推導(dǎo)出簡潔的結(jié)果，在這里引入無量綱坐標(biāo)：,單元位移場,由圖可以看出，節(jié)點(diǎn)條件共有8個(gè)，因此，x和y方向的位移場可

3、以各有4個(gè)待定系數(shù)，可以取以下多項(xiàng)式作為單元的位移場模式：,它們是具有完全一次項(xiàng)的非完全二次項(xiàng)，其中以上兩式中右端的第四項(xiàng)是考慮到x和y方向的對(duì)稱性而取的。,由節(jié)點(diǎn)條件，在處，有,回代，可以求解出待定系數(shù)，然后整理可得,其中，N為單元的形函數(shù)矩陣，,如以無量綱坐標(biāo)系來表達(dá)，則上式可以寫成,其中：,單元應(yīng)變場,根據(jù)單元的位移場函數(shù)式，由幾何方程可以得到單元的應(yīng)變場表達(dá)式，,記為：,這里，B矩陣稱為幾何矩陣。B矩陣可以表示為分塊矩陣的形式,其中,注意：矩形單元的應(yīng)變場為一次線性函數(shù)。,單元應(yīng)力場,由物理方程及應(yīng)變矩陣，可以得到單元的應(yīng)力場表達(dá)式，,其中為應(yīng)力矩陣，D稱為彈性矩陣，對(duì)于平面應(yīng)力問題，

4、,注意：矩形單元的應(yīng)力場為一次線性函數(shù)。,將應(yīng)力矩陣表示為分塊矩陣的形式,其中：,對(duì)于平面應(yīng)變問題，只需將E換為，換為。,單元?jiǎng)偠染仃?和三角形單元一樣，可以根據(jù)虛功理導(dǎo)出節(jié)點(diǎn)位移向量和節(jié)點(diǎn)力向量之間關(guān)系，即單元的剛度矩陣，可以將其寫成分塊的形式。,其中,對(duì)于平面應(yīng)力問題，如果單元厚度t為常數(shù)，則可得剛度矩陣的顯式形式：,積分得：,平面矩形單元小結(jié) 優(yōu)點(diǎn)：矩形單元的應(yīng)力、應(yīng)變?yōu)橐淮尉€性函數(shù)，精度要比三角形三節(jié)點(diǎn)高； 不足：實(shí)際問題很難用4節(jié)點(diǎn)矩形單元?jiǎng)澐?，特別是邊界適合性不強(qiáng)； 問題：能否構(gòu)造一種任意四邊形單元，則在提高精度得前提下，邊界適應(yīng)性還強(qiáng)？,等參單元（iso-parametric e

5、lement）的概念,二、平面等參單元,問題：能否利用規(guī)則的平面矩形單元的結(jié)果來研究不規(guī)則的任意四邊形單元的計(jì)算公式？,思路：任意直四邊形可看成是正四邊形(常稱為母元)的變形，由于正四邊形（母元）的位移函數(shù)、單剛矩陣均已得到，則可利用正四邊形單元的結(jié)果研究任意四邊形。,重點(diǎn)：1）構(gòu)造任意四邊形與母元間的坐標(biāo)（形狀）變換關(guān)系,2）利用坐標(biāo)變換關(guān)系和母元的計(jì)算公式，推導(dǎo)任意四邊形的單剛矩陣,（包括母元位移函數(shù)、應(yīng)變矩陣、剛度矩陣轉(zhuǎn)換過程中的導(dǎo)數(shù)、積分計(jì)算）,等參單元分析范例平面4節(jié)點(diǎn)等參單元,1、等參變換（坐標(biāo)映射）,目的：建立矩形母單元與任意四邊形單元的坐標(biāo)映射關(guān)系,求：,解法：插值,代入4個(gè)角

6、點(diǎn)坐標(biāo)，確定系數(shù)。,求出待定系數(shù)，得,其中：,同矩形單元位移形函數(shù),將四角點(diǎn)的局部坐標(biāo)代入,2、等參單元位移函數(shù),從坐標(biāo)變換可知,等參單元位移與母元間位移僅相差坐標(biāo)變換式,而母元單元內(nèi)任意點(diǎn)P的位移函數(shù),Ni同矩形單元位移形函數(shù)，即與坐標(biāo)變換形函數(shù)相同，故得名等參單元。,3、等參單元應(yīng)變矩陣,由幾何方程，得,新問題：形函數(shù)是局部坐標(biāo)的函數(shù)，而局部坐標(biāo)又是整體坐標(biāo)的函數(shù)，故：,3、等參單元應(yīng)變矩陣,稱為雅克比矩陣，且,3、等參單元應(yīng)變矩陣,4、等參單元應(yīng)力矩陣,5、等參單元?jiǎng)偠染仃?求微小平行四邊形面積,注：等參單元的剛度積分一般很難有解析式，必須進(jìn)行數(shù)值積分，目前普遍采用高斯數(shù)值積分法（略）。,d，d在（x，y）系中的分量為,等參單元小結(jié),1、等參單元存在的充要條件是|J|0 為了保證能進(jìn)行等參變換(即總體坐標(biāo)與局部坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng))，通常要求總體坐標(biāo)系下的單元為凸，即不能有內(nèi)角大于或等于或接近180度情況。,等參單元小結(jié),2、等參單元的優(yōu)點(diǎn)是當(dāng)單元邊界呈二次以上的曲線時(shí)，容易用很少的單元去逼近曲線邊界。,3、前述推導(dǎo)要求：保持坐標(biāo)變換中幾何模式階次與描述單元位移函數(shù)中形函數(shù)的階次相同，故被稱為等參元。如取坐標(biāo)變換的幾何模式階次較單元的位移函數(shù)的階次高，則稱此單元為超參元，反之，為亞參元。,上機(jī)實(shí)驗(yàn)安排,時(shí)間：第8周 星期三 第12