1、第四章,線性方程組的解的結(jié)構(gòu),4.4 線性方程組在幾何中的應(yīng)用,4.3 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),4.2 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),4.1 線性方程組解的存在性定理,4.1 線性方程組解的存在性定理,在前面的章節(jié)學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)研究的關(guān)于線性 方程組的求解和存在性問題，本章將在整理前面知識點的同時，深入研究解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)。,(4-1),(矩陣形式),(向量形式),(原始形式),非齊次方程組解的存在性定理,對于非齊次方程組,(4-1),向量 可由A的列向量組,線性表示。,的系數(shù)行列式,Cramer法則,則方程組有唯一解,且解為:,(4-2),齊次方程組解的存在性定理,(4-3),(矩陣形式),

2、(向量形式),(原始形式),對于齊次方程組,(1),A的列向量組線性無關(guān),(2),A的列向量組線性相關(guān),推論1,當(dāng)方程的個數(shù)m小于未知量的個數(shù)n，則(4-3) 必有非零解。,有非零解,(4-4),學(xué)習(xí)書P135 例2,第四章,線性方程組的解的結(jié)構(gòu),4.4 線性方程組在幾何中的應(yīng)用,4.3 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),4.2 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),4.1 線性方程組解的存在性定理,4.2 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),(2) 解集的秩是多少?,(3) 解集的最大無關(guān)組(又稱為基礎(chǔ)解系) 如何求?,(1) 解集的特點?,稱：,性質(zhì)1：若 是(4-3)的解，,性質(zhì)2：,注：,如果(4-3)只有零解，解空間

3、是零空間。 如果(4-3)有非零解，解空間是非零空間。,性質(zhì),推論1,而在解空間中，基的概念我們在這里稱為基礎(chǔ)解系。,首先回答問題(1),線性無關(guān)；,的任一解都可以由,線性,基礎(chǔ)解系,表示,則稱,此時齊次方程組的通解為：,則齊次線性方程組,的基礎(chǔ)解系存在，,且每個基礎(chǔ)解系中含有,個解向量。,則齊次線性方程組,的任意 個線性無關(guān),的解向量均可構(gòu)成基礎(chǔ)解系。,第一步:對系數(shù)矩陣 A 初等行變換化行最簡形 B,從行最簡形能得到什么？,下面我們用一個例子回答第(2)和第(3)個問題， 同時也是定理4.2.1的例證。,第二步：寫出同解的方程組(保留第一個未知數(shù)在方程的左邊,其余的都移到右邊. 右邊的又叫

4、自由變量),自由變量的個數(shù)=?,n r (未知數(shù)的個數(shù)減獨立方程的個數(shù)),是解嗎?,線性無關(guān)嗎?,任一解都 可由 表示嗎?,是基礎(chǔ)解系嗎?,基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù) = ?,第四步:寫出基礎(chǔ)解系,再來分析一下基礎(chǔ)解系的由來:,第二步的同解方程組為,第三步的通解為,n r (自由變量的個數(shù)),就是,類似的,這就啟發(fā)我們, 由于基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)正好等于自由變量的個數(shù)(這里3個).,必然是線性無關(guān)的, 從而也是基礎(chǔ)解系.由此得到解法2.,第一步:同前,第二步:同前,第三步: 令,第四步:寫出通解,設(shè) ,證明,證,因此,移項,重要結(jié)論,且線性無關(guān)，則_是AX=O的基礎(chǔ)解系。,(2),(3),則_

5、可為AX=O的基礎(chǔ)解系。,(4),(1),(2),求一個齊次方程組, 使它的基礎(chǔ)解系為,記之為 AB=O ,這相當(dāng)于要解矩陣方程, 習(xí)慣把未知,然后再把這些解拼成 的列( A 的行)即可.,解 得基礎(chǔ)解系,設(shè)所求的齊次方程組為 , 則,解,第四章,線性方程組的解的結(jié)構(gòu),4.4 線性方程組在幾何中的應(yīng)用,4.3 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),4.2 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),4.1 線性方程組解的存在性定理,4.3 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),以下總假設(shè),有解, 而其對應(yīng)的齊次方程組,的基礎(chǔ)解系為,這里,性質(zhì),(2) 設(shè) 是(1)的解, 是(2)的解,則 仍是(1)的解.,設(shè) 是(1)的一個解(固定), 則對(1)的任一解 x,是 (2)的解,從而存在 使得,又形如(3)的向量( 任取)都是(1)的解.,由此得:,(3),設(shè) 是(1)的任一解, 則(1)的通解為,解,得齊次方程組的基礎(chǔ)解系,于是所有通解,即得方程組的一個解,（1）,設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3,已知 是它的三個解向量, 且,求該方程組的通解.