1、機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,用微積分建立疾病傳染模型并預(yù)測其趨勢電子科技大學(xué)：李皓月,一、初等模型的建立（參量：N、 i(t) 、 s(t) 、 、a、 ） 將人員分為兩個集合，即病人和健康人（易感者）。 1.假設(shè)疫區(qū)的人口狀況不變,即不計出生人數(shù)和死亡人數(shù),遷入遷出人數(shù).總?cè)丝跀?shù)短期內(nèi)恒為N。 2.設(shè)t時刻病人所占總?cè)藬?shù)比例為i(t)。 3.設(shè)t時刻健康人所占總?cè)藬?shù)比例為s(t)。此時有 4.設(shè)每人每天平均接觸的人數(shù)比例為。 5.健康人被感染的概率為常數(shù)a，且不考慮治愈后的免疫力。 6.平均病人人群每天的治愈率為常數(shù)。,在上述的假設(shè)條件下，人員流程圖如下,于是可列下列等式,對第一個等

2、式兩邊同時除以 ，并令,則可變換為,帶入化簡后,伯努利方程,令 則有,解得z的解為,當(dāng) 時,當(dāng) 時,如果有初始值t=0時，,其中,由 和 的含義可知， 是整個傳染期內(nèi)每個病 人有效接觸的平均人數(shù)，稱為接觸數(shù)。于是有,此模型可以粗略預(yù)測不計人口變化且不考慮治愈后人群的傳染概率的變化的疾病,二、中等模型的建立（參量：N、i(t)、s(t)、r(t)、l、a、m、）,將人群分為三個集合，即病人，未患病人群，已治愈人群,1假設(shè)疫區(qū)的人口狀況不變,即不計出生人數(shù)和死亡人數(shù),遷入 遷出人數(shù).總?cè)丝跀?shù)為N 2設(shè)t時刻病人比例為i(t) 3設(shè)t時刻易感人群(從未患病人群)的比例為s(t) 4設(shè)t時刻已治愈人群

3、比例r(t) 5設(shè)每人每天平均接觸的人數(shù)比例為 6易感人群被感染的概率為常數(shù)a，已治愈人群擁有免疫力不會再患病 7平均病人人群每天的治愈率為常數(shù),于是可列方程,且有s（t）+i（t）+r（t）=1，則方程可化簡為,上述的初值問題無法求出解析解，只能通過數(shù)值解法求出數(shù)值解。 此處用matlab軟件求解。,設(shè)= 1，a =1,= 0. 3, i(0) = 0. 02, s(0) = 0. 98，,MATLAB軟件編程 function y=ill(t,x) a=1;b=0.3 y=a*x(1)*x(2)-b*x(1),-a*x(1)*x(2) 輸入 ts=0:50 x0=0.02,0.98 t,x

4、=ode45(ill,ts,x0);t,x 結(jié)果為,此圖為is曲線,此圖中初始點在下側(cè)的曲線為i（t）曲線。初始點在上側(cè)的曲線為s（t）曲線,三、高等模型的建立（復(fù)合群體）,在中等模型的基礎(chǔ)上可以考慮和增加更多的變量從而更準(zhǔn)確更多的預(yù)測疾病模型。,把人群按年齡分為三個集合，即兒童，青年，中老年。不同年齡階段人群的感染率和治愈率不同。 每個集合再分為兩個子集，即病人和健康人（也就是說不考慮免疫問題）,1設(shè)兒童的人數(shù)為L，傳染概率為 每天平均治愈率為 2設(shè)青年的人數(shù)為M，傳染概率為 每天平均治愈率為 3設(shè)中老年的人數(shù)為N，傳染概率為 每天平均治愈率為 4設(shè)每人每天平均接觸的人數(shù)比例為,則可列如下方程,且有,上述的初值問題無法求出解析解，只能通過數(shù)值解法求出數(shù)值解。同中等模型的解法一樣，依賴于matlab軟件。,同樣可以在此模型基礎(chǔ)上加上更多變量，如性別比例，人口流動，疾病預(yù)防宣傳，工作性質(zhì)，區(qū)域特點，還有疾病本身的傳染途徑等特點。如此則可以建立更加精確的模型來預(yù)測疾病的傳染趨勢。,結(jié)束語 本文就建立傳染病傳播趨勢的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了初步討論，在實際建立模型過程中應(yīng)根據(jù)實際問題的需要選取變量，選取