1、彈性力學,朱明禮 ,第一節(jié) 平面應力問題和平面應變問題,第二節(jié) 平衡微分方程,第三節(jié) 平面問題中一點的應力狀態(tài),第四節(jié) 幾何方程 剛體位移,第五節(jié) 物理方程,第六節(jié) 邊界條件,第二章 平面問題的基本理論,第二章 平面問題的基本理論,第七節(jié) 圣維南原理及其應用,第八節(jié) 按位移求解平面問題,第九節(jié) 按應力求解平面問題 相容方程,第十節(jié) 常應力情況下的簡化 應力函數,彈性力學平面問題共有應力、應變和位移8個未知函數，且均為 。,2-1平面應力問題和平面應變問題,彈性力學空間問題共有應力、應變和位移15個未知函數，且均為 ；,平面應力,兩類特殊問題 1、平面應力問題,（4）約束作用于板邊，平行于板的中

2、面， 沿板厚不變。,（3）面力作用于板邊，平行于板的中面， 沿板厚不變；,（2）體力作用于體內，平行于板的中面， 沿板厚不變；,條件是：,第一種：平面應力問題,平面應力,（1）等厚度的薄板；,坐標系如圖選擇。,平面應力,簡化為平面應力問題：,故只有平面應力 存在。,由于薄板很薄，應力是連續(xù)變化的，又無z向外力，可認為：,平面應力,（1）兩板面上無面力和約束作用，故,所以歸納為平面應力問題： a.應力中只有平面應力 存在； b.且僅為 。,平面應力,（2）由于板為等厚度，外力、約束沿z向 不變，故應力 僅為 。,如： 弧形閘門閘墩,計算簡圖：,平面應力,深梁,計算簡圖：,F,因表面無任何面力，,

3、平面應力,A,B,例題1：試分析AB薄層中的應力狀態(tài)。,故接近平面應力問題。,故表面上，有：,在近表面很薄一層內：,第二種：平面應變問題,（2）體力作用于體內，平行于橫截面，沿柱體長度方向不變；,平面應變,第二種：平面應變問題,條件是：,（1）很長的常截面柱體；,（3）面力作用于柱面，平行于橫截面，沿柱體長度方向不變；,（4）約束作用于柱面，平行于橫截面，沿柱體長度方向不變。,坐標系選擇如圖：,平面應變,對稱面,故任何z 面（截面）均為對稱面。,平面應變,（1）截面、外力、約束沿z 向不變，外力、約束 平行xy面，柱體非常長；,簡化為平面應變問題：,（2）由于截面形狀、體力、面力及約束沿 向均

4、不變，故應力、應變和位移均為 。,平面應變,所以歸納為平面應變問題： a.應變中只有平面應變分量 存在； b.且僅為 。,平面應變,例如：,平面應變,隧道,擋土墻,o,y,x,y,o,x,且僅為 。,故只有 ，,本題中：,平面應變,ox,y,z,例題2：試分析薄板中的應變狀態(tài)。,故為平面應變問題。,22平衡微分方程,定義,平衡微分方程-表示物體內任一點的微分體的平衡條件。,在任一點（x，y）取出一微小的平行六面體 ,作用于微分體上的力：,體力： 。,定義,應力：作用于各邊上， 并表示出正面上 由坐標增量引起 的應力增量。,應用的基本假定：,連續(xù)性假定應力用連續(xù)函數來表示。,小變形假定用變形前的

5、尺寸代替變 形后的尺寸。,列出平衡條件：,合力 = 應力面積，體力體積； 以正向物理量來表示。 平面問題中可列出3個平衡條件。,平衡條件,其中一階微量抵消，并除以 得：,，同理可得：,平衡條件,當 時，得切應力互等定理,得,平衡條件, 適用的條件-連續(xù)性，小變形；,說明,對平衡微分方程的說明：, 代表A中所有點的平衡條件， 因位（ ，）A；, 應力不能直接求出；, 對兩類平面問題的方程相同。,理論力學考慮整體 的平衡（只決定整 體的運動狀態(tài)）。,說明,比較:,材料力學考慮有限體 的平衡（近似）。,彈性力學考慮微分體 的平衡（精確）。,當 均平衡時，保證 ， 平衡； 反之則不然。,說明,所以彈力

6、的平衡條件是嚴格的，并且是精確的。,理力（ V ）,材力（ ）,彈力（ ）,h,V,dx,dy,dx,思考題,1.試檢查，同一方程中的各項，其量綱 必然相同（可用來檢驗方程的正確性）。 2.將條件 ,改為對某一角點的 ，將得出什么結果？ 3.微分體邊上的應力若考慮為不均勻分布， 將得出什么結果？,已知坐標面上應力 ， 求斜面上的應力。,問題的提出：,23平面問題中一點的應力狀態(tài),問題,求解：取出一個三角形微分體（包含 面， 面， 面）， 邊長,問題,斜面應力表示：,2、平面問題中一點的應力狀態(tài),幾何參數：,設AB面面積=ds， PB面積=lds， PA面積=mds。,斜面上應力分解為：,由Y=

7、0得：,（2-3）,由平衡條件，并略去高階分量體力項，得,(1)求（ , ）,(a),斜面應力,其中：l=cos(n,x), m=cos(n,y)。,2、平面問題中一點的應力狀態(tài),P,斜面上應力分解為：,已知P點應力xyxy 可求出過P點任意斜面上的,正應力和剪應力（NN） 利用（2-4）（2-5）,應力在x，y軸上的投影（px，py） 利用（2-3）,(2)求（ ）,將 向法向，切向投影，得,斜面應力,主平面主應力：剪應力等于零的平面叫主平 主平面上的應力叫主應力。,2(x+y)+(xy2xy)=0,設某一斜面為主面，則只有 由此建立方程，求出:,(3)求主應力,斜面應力,(c),主平面主應

8、力：剪應力等于零的平面叫主平面， 主平面上的應力叫主應力。,注意:平面應力狀態(tài)下,任一點一般都存在 兩個主應力。二者方向互相垂直。 1+2=x+y,任一點主應力值是過該點各截面上正應力中的極值。 最大剪應力所在平面與主 平面相交45，其值為,主平面上剪應力等于零，但max 作用面上正應力一般不為零。而是：,將x，y放在 方向，列出任一斜面上 應力公式，可以得出（設 ）,(4)求最大，最小應力,最大，最小應力,說明：以上均應用彈力符號規(guī)定導出。,(d),幾何方程表示任一點的微分線段 上形變與位移之間的關系。,24幾何方程剛體位移,定義,變形前位置： 變形后位置： 各點的位置如圖。,通過點P(x,

9、y)作兩正坐標向的微分線段,定義,應用基本假定：連續(xù)性；小變形。,當很小時，,假定,幾何方程 剛體位移,PA=dx, PB=dy,PA正應變:,PB正應變:,（2-8）,幾何方程：,對兩種平面問題都適用。,假定,由位移求形變：,PA 線應變,PA 轉角,PB 線應變,PB 轉角,同理，, 適用于區(qū)域內任何點，因為（x,y） A；,對幾何方程的說明：,所以平面問題的幾何方程為：,說明, 適用條件：a.連續(xù)性；b.小變形。, 應用小變形假定，略去了高階小量 線性的幾何方程；, 幾何方程是變形后物體連續(xù)性條件 的反映和必然結果。, 形變和位移之間的關系： 位移確定 形變完全確定：,從物理概念看，各點

10、的位置確定，則微分線段上的形變確定 。,說明,從數學推導看，位移函數確定，則其導數（形變）確定 。,從物理概念看， ， 確定，物體還可作剛體位移。,從數學推導看， ， 確定，求位移是積分運算，出現(xiàn)待定函數。,形變確定，位移不完全確定：,形變與位移的關系,由 ,兩邊對y積分，,由 ,兩邊對x積分，,例：若 ,求位移：,形變與位移的關系,代入第三式,分開變量，,因為幾何方程第三式對任意的（x，y）均應滿足。當x（y）變化時，式(b)的左，右均應=常數 ，由此解出 ?？傻?形變與位移的關系,物理意義：,形變與位移的關系,表示物體繞原點的剛體轉動。,表示x，y向的剛體平移，,結論,形變確定，則與形變有

11、關的位移可以確定，而與形變無關的剛體位移 則未定。須通過邊界上的約束條件來確定 。,思考題,1.試證明微分體繞z軸的平均轉動分量是,2.當應變?yōu)槌Ａ繒r， 試求出對應的位移分量。,物理方程表示（微分體上）應力和形變 之間的物理關系。,定義,即為廣義胡克定律：,25物理方程,物理方程的說明：,說明, 正應力只與線應變有關；切應力只與切 應變有關。, 是線性的代數方程；, 是總結實驗規(guī)律得出的；, 適用條件理想彈性體；,物理方程的兩種形式： 應變用應力表示，用于 按應力求解； 應力用應變（再用位移表示） 表示，用于按位移求解。,說明,平面應力問題的物理方程：,代入 ，得：,在z方向,平面應力,代入

12、得,平面應變問題的物理方程,平面應變,在z方向，,平面應力物理方程平面應變物理方程：,變換關系：,平面應變物理方程平面應力物理方程：,思考題,1.試證：由主應力可以求出主應變， 且兩者方向一致。 2.試證：3個主應力均為壓應力，有 時可以產生拉裂現(xiàn)象。 3.試證：在自重作用下，圓環(huán)（平面 應力問題）比圓筒（平面應變問題）的 變形大。,位移邊界條件 設在 部分邊界上給定位移分量 和 ,則有,（在 上)。（a）,定義,邊界條件 表示在邊界上位移與約束，或應力與面力之間的關系。,位移邊界條件,26邊界條件, 若為簡單的固定邊， 則有,位移邊界條件的說明：,（在 上）。（b）, 它是在邊界上物體保持連

13、續(xù)性的條 件，或位移保持連續(xù)性的條件。, 它是函數方程，要求在 上每一點 ， 位移與對應的約束位移相等。,在23 中，通過三角形微分體的平衡條件，導出坐標面應力與斜面應力的關系式，,應力邊界條件設在 上給定了面力分 量,（在A中）。（c）,應力邊界條件,將此三角形移到邊界上，并使斜面與邊界面重合，則得應力邊界條件:, 它是邊界上微分體的靜力平衡條件；,說明,應力邊界條件的說明：, 式（c）在A中每一點均成立，而 式（d）只能在邊界 s上成立；, 它是函數方程，要求在邊界上每一點s 上均滿足，這是精確的條件；, 所有邊界均應滿足，無面力的邊界 （自由邊） 也必須滿足。, 式（d）中， 按應力符號

14、規(guī)定， ， 按面力符號規(guī)定；, 位移,應力邊界條件均為每個邊界兩 個，分別表示 ， 向的條件；,說明,若x=a為正x 面，l = 1, m = 0, 則式(d)成為,當邊界面為坐標面時，,坐標面,若x=-b為負x 面，l = -1, m = 0 , 則式(d)成為,應力邊界條件的兩種表達式：,兩種表達式, 在同一邊界面上，應力分量應等于對 應的面力分量（數值相等，方向一 致）。即在同一邊界面上,應力數值應 等于面力數值(給定),應力方向應同面 力方向(給定)。, 在邊界點取出微分體，考慮其平衡條 件，得式（d）或（e），（f ）；,在斜面上， 在坐標面上，由于應力與面力的符號規(guī)定不同，故式（e

15、），（f ）有區(qū)別。,例如：,兩種表達式,例1列出邊界條件：,例2列出邊界條件：,顯然，邊界條件要求在 上， 也成拋物線分布。, 部分邊界上為位移邊界條件，另一部分邊界上為應力邊界條件；,混合邊界條件,混合邊界條件：, 同一邊界上，一個為位移邊界條件，另一個為應力邊界條件。,例3列出 的邊界條件：,彈性力學問題是微分方程的邊值問題。應力，形變，位移等未知函數必須滿足A內的方程和S上的邊界條件。主要的困難在于難以滿足邊界條件。,27圣維南原理及其應用,圣維南原理可用于簡化小邊界上的應力邊界條件。,如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對同一點的主矩也相同）

16、， 那么，近處的應力分量將有顯著的改變， 但 遠處所受的影響可以不計。,圣維南原理,圣維南原理：,圣維南原理,1.圣維南原理只能應用于一小部分邊界 （小邊界，次要邊界或局部邊界）；,圣維南原理的說明：,4.遠處 指“近處”之外。,3.近處 指面力變換范圍的一，二倍 的局部區(qū)域；,2.靜力等效 指兩者主矢量相同，對 同一點主矩也相同；,圣維南原理,圣維南原理表明，在小邊界上進行面力的靜力等效變換后，只影響近處（局部區(qū)域）的應力，對絕大部分彈性體區(qū)域的應力沒有明顯影響。,圣維南原理推廣：如果物體一小部分邊界上的面力是一個平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，這個面力就只會使近處產生顯著的應力，而

17、遠處的應力可以不計。,例1比較下列問題的應力解答：,b,例2比較下列問題的應力解答：,推廣,圣維南原理的應用： 1.推廣解答的應用； 2.簡化小邊界上的邊界條件。,應用,圣維南原理在小邊界上的應用：, 精確的應力邊界條件,如圖，考慮 小邊界，,上式是函數方程，要求在邊界上任一點，應力與面力數值相等，方向一致，往往難以滿足。,(a),在邊界 上，,在小邊界x=l上，用下列條件代替式(a) 的條件： 在同一邊界 x=l 上， 應力的主矢量 = 面力的主矢量（給定); 應力的主矩(M) = 面力的主矩（給定）.,數值相等, 方向一致.,(b),圣維南原理的應用積分的應力邊界條件,右端面力的主矢量，主

18、矩的數值及方向，均已給定；,左端應力的主矢量，主矩的數值及方向，應與面力相同，并按應力的方向規(guī)定確定正負號。,具體列出3個積分的條件：,即： 應力的主矢量，主矩的數值=面力的主矢量，主矩的數值； 應力的主矢量，主矩的方向=面力的主矢量，主矩的方向。,式中應力主矢量，主矩的正方向,正負號的確定： 應力的主矢量的正方向，即應力的正方向， 應力的主矩的正方向，即（正應力） （正的矩臂）的方向。,討論：,1.如果只給出面力的主矢量，主矩如圖，則式(c)右邊直接代入面力的主矢量，主矩； 2.在負 x 面， ，由于應力，面力的符號規(guī)定不同，應在式(c)中右端取負號； 3.積分的應力邊界條件(b)或(c)雖

19、是近似的，但只用于小邊界，不影響整體解答的精度。,精確的應力邊界條件 積分的應力邊界條件 方程個數 2 3 方程性質 函數方程（難滿足） 代數方程（易滿足） 精確性 精確 近似 適用邊界 大，小邊界 小邊界,比較：,思考題,1、為什么在大邊界（主要邊界）上，不能 應用圣維南原理？ 2、試列出負 面上積分的應力邊界條件， 設有各種面力作用，或面力的主矢量和主矩作用。, 平面應力問題與平面應變問題，除物理方程的彈性系數須變換外，其余完全相 同。因此，兩者的解答相似,只須將 進行變換。以下討論平面應力問題。,1.平面問題的基本方程及邊界條件,平面問題,28按位移求解平面問題, 平面應力問題,平面域A

20、內的基本方程: 平衡微分方程,（在A內）,幾何方程,物理方程,（在A內）,（在A內）,應力邊界條件 位移邊界條件,（在 上）,（在 上）,S上邊界條件:,8個未知函數 必須滿足上述方程和邊界條件。,按位移求解（位移法）取 ， 為基本未知函數，從方程和邊界條件中消去形變和應力，導出只含 ， 的方程和邊界條件，從而求出 ， ；再求形變和應力。,2.解法消元法,解法,按應力求解（應力法）取 為基本未知函數，從方程和邊界條件中消去位移和形變，導出只含應力的方程和邊界條件，從而求出應力；再求形變和位移。,這是彈力問題的兩種基本解法。,3. 按位移求解, 將其他未知函數用 ，表示： 形變用 ，表示幾何方程

21、; 應力先用形變來表示（物理方程）， 再代入幾何方程，用 ，表示:, 取 ， 為基本未知函數；,按位移求解, 在A中導出求 ，的基本方程將式(a) 代入平衡微分方程，,上式是用 ，表示的平衡微分方程。,位移邊界條件,（在 上）(d),（在 上）(c),應力邊界條件將式(a)代入應力邊界條件，, 在S上的邊界條件,按位移求解時， ， 必須滿足A內的方程 (b)和邊界條件(c)，(d)。,歸納：,式(b)，(c)，(d)是求解 ， 的條件;也是校核 ， 是否正確的全部條件。,按位移求解（位移法）的優(yōu)缺點：,求函數式解答困難，但在近似解法（變分法，差分法，有限單元法）中有著廣泛的應用。,適用性廣可適

22、用于任何邊界條件。,例1 考慮兩端固定的一維桿件。圖(a)，只受重力作用， 。試用位移法求解。,(a) (b),解：為了簡化，設 位移 按位移求解，位移應滿足式(b),(c),(d)。 代入式(b),第一式自然滿足，第二式成為,(a) (b),均屬于位移邊界條件，代入 ，,得,得,解出,在 處，,代入 ，并求出形變和應力，,思考題 試用位移法求解圖(b)的位移和應力。,（1）取 為基本未知函數；,基本方程,29 按應力求解平面問題相容方程,1.按應力求解平面應力問題,（2）其他未知函數用應力來表示:,位移用形變應力表示，須通過積分，不僅表達式較復雜，而且包含積分帶來的未知項，因此位移邊界條件用

23、應力分量來表示時既復雜又難以求解。故在按應力求解時，只考慮全部為應力邊界條件的問題,即 。,形變用應力表示（物理方程）。,按應力求解, 在A內求解應力的方程,(b),從幾何方程中消去位移 ， ，得相容方程（形變協(xié)調條件）：,補充方程從幾何方程，物理方程中消去位移和形變得出 :,平衡微分方程 （2個）。 (a),代入物理方程，消去形變，并應用平衡 微分方程進行簡化，便得用應力表示的相容 方程 ：,其中,(4) 應力邊界條件假定全部邊界上均為應力邊界條件 。,（1）A內的平衡微分方程； （2）A內的相容方程； （3）邊界 上的應力邊界條件； （4）對于多連體，還須滿足位移的單值條 件（見第四章）。

24、,歸納：,（1）-（4）也是校核應力分量是否正確的全部條件。,按應力求解平面應力問題 ，應力 必須滿足下列條件：,2.形變協(xié)調條件（相容方程）的物理意義,形變協(xié)調對應的位移存在位移必然連續(xù)；形變不協(xié)調對應的位移不存在不是物體實際存在的形變微分體變形后不保持連續(xù)。, 形變協(xié)調條件是與形變對應的位移存在且連續(xù)的必要條件。, 形變協(xié)調條件是位移連續(xù)性的必然結果。連續(xù)體位移連續(xù)幾何方程形變協(xié)調條件。,點共點（連續(xù)），變形后三連桿在 點共點，則三連桿的應變必須滿足一定的協(xié)調條件。,例1三連桿系統(tǒng)，由于物體是連續(xù)的，變形前三連桿在 D,1.試比較按位移求解的方法和按應力求解的 方法，并與結構力學中的位移法

25、和力法作 比較。 2.若 是否可能 成為彈性體中的形變？ 3.若 是否 可能為彈性體中的應力？,思考題, 相容方程 (A) (a),1.常體力情況下按應力求解的條件,(A) (b), 平衡微分方程,按應力函數求解,210常體力情況下的簡化 應力函數, 應力邊界條件,(S) (c), 多連體中的位移單值條件。 (d),在 - 條件下求解 的全部條件(a)，(b)，(c)中均不包含彈性常數， 故 與彈性常數無關。,2.在常體力,單連體,全部為應力邊界條件（ ）下的應力 特征：,結論：,不同材料的應力( )的理論解相 同，用試驗方法求應力時，也可以用不 同的材料來代替。,兩類平面問題的應力解 相同，

26、試 驗時可用平面應力的模型代替平面應變的 模型。,3.常體力下按應力求解的簡化,對應的齊次微分方程的通解，艾里已求出為,非齊次微分方程(b)的任一特解，如取,（1）常體力下平衡微分方程的通解是： 非齊次特解+齊次通解。,所以滿足平衡微分方程的通解為:,(g),為艾里應力函數。,如果， 則A，B均可用一個函數表示，即,說明：,a.導出艾里（Airy）應力函數 ，是應用偏導數的相容性，即,d. 由 再去求應力（式（g）,必然滿足平 衡微分方程，故不必再進行校核。,c. 仍然是未知的。但已將按應力 求解轉變?yōu)榘磻瘮?求解，從3個未知函數減少至1個未知函數 。,b.導出應力函數 的過程，也就證明了

27、 的 存在性，故可以用各種方法去求解 。,（2）應力應滿足相容方程（a），將式 （g）代入（a），得,（3）若全部為應力邊界條件（ ）， 則應力邊界條件也可用 表示。,歸納：,（1）A內相容方程（h）； （2） 上的應力邊界條件； （3）多連體中的位移單值條件連體。,求出 后，可由式（g）求得應力。,在常體力下求解平面問題 ，可轉 變?yōu)榘磻瘮?求解， 應滿足:,1，在常體力，單連體和全部為應力邊界條件條件下，對于不同材料和兩類平面問題的， 和均相同。試問其余的應力分量，應變和位移是否相同？,思考題,2，對于按位移(u, v)求解，按應力（ ， ， ）求解和按應力函數 求解的方法，試比較其未

28、知函數，應滿足的方程和條件，求解的難易程度及局限性。,第二章例題,1,例題2,例題3,例題4,例題7,例題5,例題6,例題,例1 試列出圖中的邊界條件。,M,F,y,x,l,h/2,h/2,q,(a),解: (a)在主要邊界 應精確滿足下列邊界條件：,在小邊界x = 0應用圣維南原理，列出三個積分的近似邊界條件，當板厚 時，,在小邊界x = l，當平衡微分方程和其它各邊界條件都已滿足的條件下，3個積分的邊界條件必然滿足，可以不必校核。,(b) 在主要邊界x= 0, b，應精確滿足下列邊界條件：,F,O,x,y,q,h,(b),b/2,b/2,在小邊界y = 0，列出3個積分的邊界條件，當板厚

29、時，,注意在列力矩的條件時兩邊均是對原點o 的力矩來計算的。 對于y = h的小邊界可以不必校核。,例2 厚度 懸臂梁，受一端的集中力F的作用。已求得其位移的解答是 試檢查此組位移是否是圖示問題的解答。,h/2,h/2,A,x,y,l,F,O,解： 此組位移解答若為圖示問題的解答，則應滿足下列條件:,(1) 區(qū)域內用位移表示的平衡微分方程 (書中式218）;,（2）應力邊界條件（書中式219），在 所有受面力的邊界 上。其中在小邊 界上可以應用圣維南原理，用3個積 分的邊界條件來代替。 （3）位移邊界條件（書中式214）。本 題在x = l的小邊界上，已考慮利用圣 維南原理，使3個積分的應力邊

30、界條 件已經滿足。,因此，只需校核下列三個剛體的約束條件： A點（ x = l及y = 0），,讀者可校核這組位移是否滿足上述條件，如滿足，則是該問題之解。,例3 試考慮下列平面問題的應變分量是否可能存在,解：應變分量存在的必要條件是滿足形變 相容條件，即 （a）相容； （b）須滿足B = 0, 2A=C ； （c）不相容。只有C = 0，則,例4 在無體力情況下，試考慮下列應力分量是否可能在彈性體中存在：,解：彈性體中的應力，在單連體中必須 滿足： （1）平衡微分方程； （2）相容方程； （3）應力邊界條件（當 ）。,（a）此組應力滿足相容方程。為了滿足平 衡微分方程，必須A=-F, D=-E.此外，還應滿足應力邊界條件。 （b）為了滿足相容方程，其系數必須滿足 A + B = 0。 為了滿足平衡微分方程，其系數必須 滿足 A = B =-C/2。 上兩式是矛盾的，因此此組應力分量 不可能存在。,例5 若 是平面調和函數，即滿足拉普