1、3.1數(shù)學(xué)期望一.數(shù)學(xué)期望的定義,例1 設(shè)某班40名學(xué)生的概率統(tǒng)計(jì)成績(jī)及得分人數(shù)如下表所示： 分?jǐn)?shù) 40 60 70 80 90 100 人數(shù) 1 6 9 15 7 2,數(shù)學(xué)期望描述隨機(jī)變量取值的平均特征,則學(xué)生的平均成績(jī)是總分總?cè)藬?shù)(分)。即,定義 3.1 離散型隨機(jī)變量P=xk=pk, k=1,2,n, 若級(jí)數(shù),，則稱,為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望或均值。,（3.1）,對(duì)于離散型隨機(jī)變量 , E就是的各可能值與其 對(duì)應(yīng)概率乘積的和.,例1 若服從0-1分布,其概率函數(shù)為P= k=Pk(1-p)1-k (k=0,1), 求E.,解：,例2 甲,乙兩名射手在一次射擊中得分(分別用, 表示)的

2、分布律如表3-2,表3-3所示.,這表明,如果進(jìn)行多次射擊,他們得分的平均值是2.1和2.2,故乙射手較甲射手的技術(shù)好.,試比較甲乙兩射手的技術(shù).,解：,例3 一批產(chǎn)品中有一,二,三等品,等外品及廢品5種,相應(yīng)的概率分別為0.7, 0.1, 0.1, 0.06及0.04,若其產(chǎn)值分別為6元, 5.4元, 5元,4 元及0元.求產(chǎn)品的平均產(chǎn)值.,E=6x0.7+5.4x0.1+5x0.1+4x0.06+0 x0.04 =5.48( 元),解 ：產(chǎn)品產(chǎn)值是一個(gè)隨機(jī)變量,它的分布率如表3-4:,例4 擲一顆均勻的骰子，以表示擲得的點(diǎn)數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望。,定義 3.2 P(63) 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量(x)

3、, - x+,若,為的數(shù)學(xué)期望。,則稱,連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是它的概率密度(x)與實(shí)數(shù)x的乘積在 (-,+)無窮區(qū)間上的廣義積分.,（3.2）,例5 計(jì)算在區(qū)間a, b上服從均勻分布的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.,解：,E(c)=c, c為常數(shù); E(+c)=E()+c, c為常數(shù); 3. E(c)=c E(), c為常數(shù);,3.2 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(P64),證明:設(shè)(x),則,4. E(k+b)=E(k)+b=kE()+b,EX1：設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為,解:,求隨機(jī)變量Y=X2的數(shù)學(xué)期望,X,Pk,-1 0 1,Y,Pk,1 0,隨機(jī)變量函數(shù)的期望,(p66) 定理1 若 P=xk=pk, k

4、=1,2, 則=f()的期望Ef()為,推論: 若 (,) P=xi ,=yj,= pij, i, j=1, 2, , 則= f(,)的期望,（3.6）,(p66) 定理2 若(x), -x, 則=f()的期望,推論 若(,) (x, y), -x, -y, 則=f(,)的期望,（3.7）,5. E(+)=E()+E();,證明:設(shè)(,)(x,y),這個(gè)性質(zhì)可以推廣到任意有限個(gè)隨機(jī)變量的情況,即對(duì)于n2也同樣有,特別地, n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均數(shù)仍是一個(gè)隨機(jī)變量,其期望值等于這個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均數(shù),即：,6. 若與獨(dú)立，則,證明:設(shè)(,)(x, y),例1 隨機(jī)變量，的概率分布如下：,求:,

5、解：,E90.3+100.5+110.29.9,E60.4+70.66.6,E=EE=9.96.6=65.34,與相互獨(dú)立,這是因?yàn)?(3.5)式要求兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,而一個(gè)隨機(jī)變量與它本身絕不能說是獨(dú)立的,因此,一般說來,注意,下面的計(jì)算法是錯(cuò)誤的,例2 有一隊(duì)射手共9人,技術(shù)不相上下,每人射擊中靶的概率均為0.8;進(jìn)行射擊,各自打中靶為止,但限制每人最多只打3次.問大約需為他們準(zhǔn)多少發(fā)子彈?,解 設(shè)i表示i名射手所需的子彈數(shù)目, 表示9名射手所需的子彈數(shù)目,依題意,并且i有如下分布律,再多準(zhǔn)備10% 15%,大約為他們準(zhǔn)備13發(fā)子彈.,例3 設(shè)隨機(jī)變量(,)的分布律如下，求E(),解:

6、,例4 某無線電元件的使用壽命是一個(gè)隨機(jī)變量, 其概率密度為,其中0,求這種元件的平均使用壽命.,解：,設(shè)的概率密度為，,EX,求 E(2), E(3) ，E(4)。,例5 據(jù)統(tǒng)計(jì),一位40歲的健康(一般體檢未發(fā)現(xiàn)病癥)者,在5年之內(nèi)活著或自殺死亡的概率為p(0a),b應(yīng)如何定才能使公司可期望獲益;若有m人參加保險(xiǎn),公司可期望從中獲益多少?,解 設(shè)i表示公司從第i個(gè)參加者身上所得的收益,則i是一個(gè)隨機(jī)變量,其分布如下,公司期望獲益Ei0,而 Ei= ap+(a-b)(1-p)=a-b(1-p) 因此,aba(1-p)-1 對(duì)于m個(gè)人,公司期望獲益E元,EX,P75 2、4、9,3.3條件期望,

7、解,因此,在2=1條件下,關(guān)于1的平均值應(yīng)為,例1 計(jì)算2.3例2中在第2個(gè)郵筒有一封信的條件下 第1個(gè)郵筒內(nèi)信的數(shù)目的平均值.,對(duì)于二元離散型隨機(jī)變量(, ),在取某一個(gè)定值,比如 =xi的條件下,求的數(shù)學(xué)期望,稱此期望為給定=xi時(shí)的條件期望,記作,同樣地定義給定 =yj時(shí)關(guān)于的條件期望為,對(duì)于二元連續(xù)型隨機(jī)變量,定義:,其中(y/x)及(x/y)分別是在 =x 的條件下關(guān)于的條件概率密度和在 =y條件下關(guān)于的條件概率密度.當(dāng)然這個(gè)定義假定各式都是有意義的.,3.4 方差一. 定義與性質(zhì),方差是衡量隨機(jī)變量取值波動(dòng) 程度 的一個(gè)數(shù)字特征。,如何定義？,定義3.3 如果隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E存

8、在, 稱 E為隨機(jī)變量的離差.,？,1.(p70)定義3.4 隨機(jī)變量離差平方的數(shù)學(xué)期望,稱為隨機(jī)變量的方差,記作D或 2 .,可見,顯然,隨機(jī)變量離差的期望是0,即E ( E)=0不論正偏差大還是負(fù)偏差大,同樣都是離散程度大,為了消除離差E的符號(hào),用( E)2來衡量與E的偏差.,可見,隨機(jī)變量的方差是一個(gè)非負(fù)數(shù),常量的方差是0.當(dāng)?shù)目赡苤得芗谒钠谕礒附近時(shí),方差較小,反之則方差較大.因此,方差的大小可以表示隨機(jī)變量分布的離散程度.,例1 若服從0-1分布,其概率函數(shù)為P= k=Pk(1-p)1-k (k=0,1), 求D.,解：,2.推論 D()=E(2)E()2 （3.17）,證明:

9、,這個(gè)公式很重要,它不僅證明了一般情況下隨機(jī)變量 平方的數(shù)學(xué)期望大于其期望的平方這個(gè)重要結(jié)論, 而且經(jīng)常用它來簡(jiǎn)化方差的計(jì)算.,例2：設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為,1)求D, 2)求,3. 方差的性質(zhì) (1) D(c)=0 反之，若D=0，則存在常數(shù)C，使 P=C=1, 且C=E();,(2) D(+c)=D(), c為常數(shù)；,證明:,(3) D(a)=a2D(), a為常數(shù)；,證明:,綜合上述三個(gè)性質(zhì)，有：,證明:,(4)若與獨(dú)立，則D(+)=D+D,X與Y獨(dú)立,特別的,進(jìn)一步可得:n個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量算術(shù)平均數(shù)的 方差等于其方差算術(shù)平均數(shù)的1/n倍:,例3 計(jì)算在區(qū)間a,b上服從均勻分布的隨機(jī)變

10、量的 方差. 解：,利用(3.17)式,有,例4 計(jì)算2.4例3中的方差.,解 一種方法是求出-的分布,然后直接應(yīng)用方差定義計(jì)算.但更簡(jiǎn)單的方法是先計(jì)算出與各自的方法,再利用方差性質(zhì)求出D(-).,同理計(jì)算：E=6.6 E2 =43.8 D=0.24,D(-)=D+D=0.4+0.24=0.64,例5 若連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度是,已知E=0.5, D=0.15, 求系數(shù)a, b, c.,解:,協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)一.協(xié)方差定義與性質(zhì),1.協(xié)方差定義 (P74)若二元隨機(jī)變量 （，）的期望E()和E()存在, 則稱 COV(, )=EE()E(). （3.18） 為與的協(xié)方差, 易見 COV(,

11、)=E()E()E().,當(dāng)COV(, )=0時(shí)，稱與不相關(guān)。,？,“與獨(dú)立”和“與不相關(guān)”有何關(guān)系？,設(shè)(X, Y)在D=(X, Y)：x2+y21上服從均勻分布，求X與Y相關(guān)系數(shù)，問X與Y是否獨(dú)立。,EX,解： (X, Y)的聯(lián)合密度為,X的密度為,X與Y不相關(guān),Y的密度為,COV(X,Y)=E(XY)-EXEY=0,由于,X與Y不獨(dú)立,X與Y是既不相關(guān)又不獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量,因此，獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量一定不相關(guān)；,不相關(guān)的兩個(gè)隨機(jī)變量不一定獨(dú)立。,2.協(xié)方差性質(zhì) (1) COV(X, Y)=COV(Y, X); (2) COV(X,X)=D(X); COV(X,c)=0 (3) COV(aX, bY)=abCOV(X, Y), 其中a, b為 常數(shù)； (4) COV(X+Y，Z)=COV(X, Z)+COV(Y, Z);,二.相關(guān)系數(shù),1. 定義 若隨機(jī)變量 ，的方差和協(xié)方差均存在, 且D0, D 0，則,稱為與的相關(guān)系數(shù).,可以證明 | 1 。 如果 | =1 , 與有線性關(guān)系,稱與完全線性關(guān)系; 如果 =0,稱與不相關(guān)。 實(shí)際上是刻畫與間線性相關(guān)程度的一個(gè)數(shù)字特征