1、2020/8/1,1,數(shù)值積分與數(shù)值微分,引言,一、 問題的提出,既使函數(shù)是以解析的形式給出，但由于其表達(dá)式比較復(fù)雜，我們?cè)诟邤?shù)中所學(xué)的方法很難甚至無(wú)法計(jì)算出其積分或微分的準(zhǔn)確值，如,（1）,（2）,在工程技術(shù)和科學(xué)研究中，很多情況下變量間的函數(shù)關(guān)系是以數(shù)表的形式給出的，無(wú)法運(yùn)用我們學(xué)過的方法計(jì)算其積分和導(dǎo)數(shù)！,2020/8/1,2,二、 數(shù)值微積分概述,利用函數(shù)在一些點(diǎn)上的函數(shù)值，計(jì)算出該函數(shù)的積分或微分滿足一定精度要求的近似值！,（1）,（2）,數(shù)值微積分方法是其它數(shù)值方法，如微分方程數(shù)值解法等的必備基礎(chǔ)。,2020/8/1,3,一、 數(shù)值積分公式及其代數(shù)精度,數(shù)值積分,1、數(shù)值積分公式,

2、根據(jù)積分中值定理,可以通過在區(qū)間a,b內(nèi)選擇 的近似值得到積分的近似計(jì)算公式:,(1),(2),(3),(4),矩形公式, 梯形公式,2020/8/1,4,數(shù)值求積公式的一般形式為, 求積節(jié)點(diǎn),其中, 求積系數(shù)（與f(x)無(wú)關(guān)）,（1）求積公式由求積節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)唯一確定；,（1）,注：,（2）求積系數(shù)和求積區(qū)間、求積節(jié)點(diǎn)有關(guān)。,2020/8/1,5,為求積公式的截?cái)嗾`差或求積余項(xiàng)。,稱,定義:,注: 求積余項(xiàng)刻畫了求積公式的計(jì)算精度!,2、代數(shù)精度,定義:,若求積公式（1）對(duì)任何次數(shù)不高于m的多項(xiàng)式都準(zhǔn)確成立，而對(duì)于m+1次的多項(xiàng)式不能準(zhǔn)確成立，則稱求積公式（1）具有m階代數(shù)精度。,2020

3、/8/1,6,二、 插值型求積公式,設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上由定義，已知節(jié)點(diǎn),和相應(yīng)的函數(shù)值,從而可以確定插值函數(shù),1、定義及一般形式,Lagrange插值多項(xiàng)式,以pn(x)作為f(x)的近似，可得, 插值型求積公式,其中,(2),注：求積系數(shù)僅與求積區(qū)間和求積節(jié)點(diǎn)有關(guān)!,2020/8/1,7,插值型求積公式的余項(xiàng),令 ，構(gòu)造插值型求積公式,2、Newton-Cotes公式,將求積區(qū)間a,bn等分，步長(zhǎng)為 ，,其中,Newton-Cotes公式,Newton-Cotes系數(shù),2020/8/1,8,事實(shí)上，,注: Newton-Cotes系數(shù)只與n，k有關(guān),而與f(x)和求積區(qū)間a,b無(wú)關(guān)

4、。并且,2020/8/1,9,幾種低階Newton-Cotes公式的系數(shù),梯形公式(1階),辛普生(Simpson)公式(3階),n=4時(shí)，稱為Cotes公式。(5階),2020/8/1,10,三、 復(fù)合求積公式,考慮到多項(xiàng)式插值的Runge現(xiàn)象，通常不用高階的插值型積分公式！,為了提高計(jì)算精度，我們把積分區(qū)間分成若干個(gè)子區(qū)間，每個(gè)子區(qū)間上的積分使用少結(jié)點(diǎn)的Newton-Cotes求積公式計(jì)算，然后再把結(jié)果相加，這就是復(fù)合求積的思想，所得到的公式就是復(fù)合求積公式。,2020/8/1,11,1、復(fù)合求積公式,將求積區(qū)間a,bn等分，,再相加得到復(fù)合梯形公式：,(1) 復(fù)合梯形公式,則復(fù)合梯形公式

5、的余項(xiàng)為,算法收斂，且數(shù)值穩(wěn)定!,問題9: 實(shí)現(xiàn)復(fù)合梯形求 積公式，畫出流程圖！,2020/8/1,12,(2) 復(fù)合辛普生(Simpson)公式,再相加得到復(fù)合辛普生公式：,將求積區(qū)間a,b2n等分，,復(fù)合Simpson公式的余項(xiàng)有表達(dá)式,算法收斂，且數(shù)值穩(wěn)定!,2020/8/1,13,2、區(qū)間逐次分半的思想以復(fù)合梯形公式為例,給出精度要求后，一般很難確定把求積區(qū)間多少等分，就可以利用復(fù)化梯形公式得到所需的積分值。通常等分區(qū)間太多則計(jì)算量增大，等分區(qū)間少，則達(dá)不到精度要求！為克服此困難，考慮如下方法:,將當(dāng)前的每個(gè)小求積區(qū)間 二等分，從而得到2n個(gè)小求積區(qū)間，區(qū)間長(zhǎng)度為 ，再利用復(fù)化梯形公式

6、來(lái)計(jì)算積分值，記為T1,把原來(lái)的積分值記為T0,則有,因此，可以由| T1-T0 |作為精度控制條件!,若滿足精度要求則停止， T1即為所求，否則重復(fù)上述過程。,2020/8/1,14,1、插值型求積算法適用于有限區(qū)間a,b上連續(xù)函數(shù)的積分問題； 2、復(fù)合求積公式是數(shù)值穩(wěn)定的，龍貝格積分算法是插值型求積算法中最有效的算法。 3、算法的評(píng)價(jià)指標(biāo)：代數(shù)精度、求積余項(xiàng)，收斂階，數(shù)值穩(wěn)定性和函數(shù)值的計(jì)算次數(shù)！ 4、對(duì)于振蕩積分，即,插值型求積算法不是很理想！此時(shí)，先將f(x)用樣條函數(shù)逼近，再分部積分。,插值型算法總結(jié),2020/8/1,15,數(shù)值微分,插值函數(shù)數(shù)值微分法,思想方法：,以插值多項(xiàng)式近似代替函數(shù)，以插值多項(xiàng)式在節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值近似代替函數(shù)在節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值。,推導(dǎo)公式：,用此方法求微商，可以先求出插值多項(xiàng)式，然后各點(diǎn)上的微商就可以同時(shí)求出。,下面給出幾個(gè)常用的數(shù)值微分公式。,設(shè)f(x)有插值多項(xiàng)式為Pn(x)，則,2020/8/1,16,2、二階微商的三點(diǎn)公式,一階微商的三點(diǎn)公式(留作練習(xí)!),1、一階微商的兩點(diǎn)公式,2020/8/1,17,3、一階微商的五點(diǎn)公式,注：,(1)三點(diǎn)公式與五點(diǎn)公式中有中點(diǎn)項(xiàng)。由于中點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值的表達(dá)式中不含有中點(diǎn)的函數(shù)值項(xiàng)，且函數(shù)值項(xiàng)的系數(shù)不大，因此選取節(jié)點(diǎn)的方法