1、數(shù)列的綜合應(yīng)用知識能否憶起1數(shù)列在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用，其解題的基本步驟，可用圖表示如下：2數(shù)列應(yīng)用題常見模型(1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個固定量時，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)時，該模型是等比模型，這個固定的數(shù)就是公比(3)遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關(guān)系不固定，隨項的變化而變化時，應(yīng)考慮是an與an1的遞推關(guān)系，還是前n項和Sn與Sn1之間的遞推關(guān)系小題能否全取1某學(xué)校高一、高二、高三共計2 460名學(xué)生，三個年級的學(xué)生人數(shù)剛好成等差數(shù)列，則該校高二年級的人數(shù)是()A800B820C8

2、40 D860解析：選B由題意可設(shè)高一、高二、高三三個年級的人數(shù)分別為ad，a，ad.則adaad2 460，解得a820.故高二年級共有820人2(教材習(xí)題改編)有一種細菌和一種病毒，每個細菌在每秒鐘殺死一個病毒的同時將自身分裂為2個，現(xiàn)在有一個這樣的細菌和100個這樣的病毒(假設(shè)病毒不繁殖)，問細菌將病毒全部殺死至少需要()A6秒鐘 B7秒鐘C8秒鐘 D9秒鐘解析：選B設(shè)至少需n秒鐘，則121222n1100，即100，解得n7.3數(shù)列an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，bn是等差數(shù)列，且a6b7，則有()Aa3a9b4b10Ba3a9b4b10Ca3a9b4b10 Da3a9與b4b10的大小

3、不確定解析：選Ba3a9222a62b7b4b10，當且僅當a3a9時，不等式取等號4一個凸多邊形的內(nèi)角成等差數(shù)列，其中最小的內(nèi)角為，公差為，則這個多邊形的邊數(shù)為_解析：由于凸n邊形的內(nèi)角和為(n2)，故n(n2).化簡得n225n1440.解得n9或n16(舍去)答案：95設(shè)曲線yxn1(nN*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn，xn_，令anlg xn，則a1a2a99的值為_解析：yxn1，y(n1)xn，它在點(1,1)處的切線方程為y1(n1)(x1)，與x軸交點的橫坐標為xn1，由anlg xn得anlg nlg(n1)，于是a1a2a99lg 1lg 2lg 2l

4、g3lg 99lg 100lg 1lg 100022.答案：21.對等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)要有深刻的理解，有些數(shù)列題目條件已指明是等差(或等比)數(shù)列，有的數(shù)列并沒有指明，但可以通過分析構(gòu)造，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后應(yīng)用等差、等比數(shù)列的相關(guān)知識解決問題2數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，故數(shù)列有著許多函數(shù)的性質(zhì)等差數(shù)列和等比數(shù)列是兩種最基本、最常見的數(shù)列，它們是研究數(shù)列性質(zhì)的基礎(chǔ)，與函數(shù)、方程、不等式、三角等內(nèi)容有著廣泛的聯(lián)系，在實際生活中也有著廣泛的應(yīng)用，隨著高考對能力要求的進一步提高，這一部分內(nèi)容也將受到越來越多的關(guān)注等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題典題導(dǎo)入例1在等比數(shù)列an(nN*)中，a11，

5、公比q0，設(shè)bnlog2an，且b1b3b56，b1b3b50.(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)求bn的前n項和Sn及an的通項an.自主解答(1)證明：bnlog2an，bn1bnlog2log2q為常數(shù)，數(shù)列bn為等差數(shù)列且公差dlog2q.(2)b1b3b56，b32，a11，b1log2a10.b1b3b50，b50.解得Sn4n(1).an25n(nN*)試比較(2)求出的Sn與an的大小解：an25n0，當n9時，Sn0，n9時，anSn.a116，a28，a34，a42，a51，a6，a7，a8，S14，S27，S39，S410，S510，S69，S77，S84，當n3,4

6、,5,6,7,8時，anSn.由題悟法解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題，關(guān)鍵是理清兩個數(shù)列的關(guān)系如果同一數(shù)列中部分項成等差數(shù)列，部分項成等比數(shù)列，要把成等差數(shù)列或等比數(shù)列的項抽出來單獨研究；如果兩個數(shù)列通過運算綜合在一起，要從分析運算入手，把兩個數(shù)列分割開，弄清兩個數(shù)列各自的特征，再進行求解以題試法1(2012河南調(diào)研)已知an是一個公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a3a655，a2a716.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若數(shù)列an和數(shù)列bn滿足等式an(n為正整數(shù))，求數(shù)列bn的前n項和Sn.解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則依題意知d0，由a2a716，得2a17d16，由a3a655

7、，得(a12d)(a15d)55，由得2a1167d，將其代入得(163d)(163d)220，即2569d2220.d24，又d0，d2，代入得a11，an1(n1)22n1.(2)當n1時，a1，b12.當n2時，an，an1，兩式相減得anan1，bn2n1，bn當n1時，S1b12；當n2時，Snb1b2b3bn22n26，當n1時上式也成立綜上，當n為正整數(shù)時，Sn2n26.等差數(shù)列與等比數(shù)列的實際應(yīng)用典題導(dǎo)入例2(2011湖南高考改編)某企業(yè)在第1年初購買一臺價值為120萬元的設(shè)備M，M的價值在使用過程中逐年減少從第2年到第6年，每年初M的價值比上年初減少10萬元；從第7年開始，每

8、年初M的價值為上年初的75%.則第n年初M的價值an_.自主解答當n6時，數(shù)列an是首項為120，公差為10的等差數(shù)列，an12010(n1)13010n；當n7時，數(shù)列an是以a6為首項，為公比的等比數(shù)列，又a670，所以an70n6.答案an由題悟法1數(shù)列實際應(yīng)用題的解題策略解等差、等比數(shù)列應(yīng)用題時，首先要認真審題，深刻理解問題的實際背景，理清蘊含在語言中的數(shù)學(xué)關(guān)系，把應(yīng)用問題抽象為數(shù)學(xué)中的等差、等比數(shù)列問題，然后求解2處理分期付款問題的注意事項(1)準確計算出在貸款全部付清時，各期所付款額及利息(注：最后一次付款沒有利息)(2)明確各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款時所生的利息之和

9、等于商品售價及從購買到最后一次付款時的利息之和，只有掌握了這一點，才可以順利建立等量關(guān)系以題試法2從經(jīng)濟效益出發(fā)，某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少，本年度當?shù)芈糜螛I(yè)估計收入400萬元，由于該項建設(shè)對旅游業(yè)的促進作用，預(yù)計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加.(1)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元，寫出表達式；(2)至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？解：(1)第一年投入為800萬元，第二年投入為800萬元，第n年內(nèi)的總投入為800n1萬元，所以，n年的投入為：an800800800n14

10、 0004 000n.第一年旅游業(yè)收入為400萬元，第二年旅游業(yè)收入為400萬元第n年旅游業(yè)收入為400n1萬元，所以，n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為bn400400400n11 600n1 600.(2)設(shè)經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入超過總投入，由此bnan0，即1 600n1 6004 0004 000n0，化簡得2n5n70，設(shè)nx，代入上式，得5x27x20，解此不等式，得x1(舍去)，即n0)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bnaqnn，若b1a1，b5a5，試比較a3與b3的大小解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則S5S23a19d243t，又a12t，所以d2，故an2nt(t0)(2)

11、由已知可得aq1t0，aq55t，可得3t(aqaq5)，又aq5aqaq(q41)4，則q41，得q21.則a3b33taq3(q21)20，故a3b3.1數(shù)列an是公差不為0的等差數(shù)列，且a1，a3，a7為等比數(shù)列bn中連續(xù)的三項，則數(shù)列bn的公比為()A.B4C2 D.解析：選C設(shè)數(shù)列an的公差為d(d0)，由aa1a7得(a12d)2a1(a16d)，解得a12d，故數(shù)列bn的公比q2.2已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，S936，S13104，等比數(shù)列bn中，b5a5，b7a7，則b6的值為()A4 B4C4 D無法確定解析：選A依題意得，S99a536b5a54，S1313a710

12、4b7a78，所以b64.3已知數(shù)列an，bn滿足a11且an，an1是函數(shù)f(x)x2bnx2n的兩個零點，則b10等于()A24 B32C48 D64解析：選D依題意有anan12n，所以an1an22n1，兩式相除得2.所以a1，a3，a5，成等比數(shù)列，a2，a4，a6，也成等比數(shù)列，而a11，a22.所以a1022432，a1112532.又因為anan1bn，所以b10a10a1164.2412xyz4.在如圖所示的表格中，如果每格填上一個數(shù)后，每一行成等差數(shù)列，每一列成等比數(shù)列，那么xyz的值為()A1 B2C3 D4解析：選B由題知表格中第三列中的數(shù)成首項為4，公比為的等比數(shù)列，

13、故有x1.根據(jù)每行成等差數(shù)列得第四列前兩個數(shù)字依次為5，故第四列的公比為，所以y53，同理z64，故xyz2.5(2011上海高考)設(shè)an是各項為正數(shù)的無窮數(shù)列，Ai是邊長為ai，ai1的矩形的面積(i1,2，)，則An為等比數(shù)列的充要條件為()Aan是等比數(shù)列Ba1，a3，a2n1，或a2，a4，a2n，是等比數(shù)列Ca1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比數(shù)列Da1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比數(shù)列，且公比相同解析：選DAiaiai1，若An為等比數(shù)列，則為常數(shù)，即，.a1，a3，a5，a2n1，和a2，a4，a2n，成等比數(shù)列，且公比相等反之，若奇數(shù)項和偶數(shù)項

14、分別成等比數(shù)列，且公比相等，設(shè)為q，則q，從而An為等比數(shù)列6已知數(shù)列an滿足3an1an4且a19，其前n項之和為Sn，則滿足不等式|Snn6|的最小整數(shù)n是()A5 B6C7 D8解析：選C由遞推式變形得3(an11)(an1)，則an18n1，所以|Snn6|a11a21an16|6n250，所以滿足條件的最小整數(shù)n是7.7等比數(shù)列an的前n項和為Sn，已知S1,2S2,3S3成等差數(shù)列，則等比數(shù)列an的公比為_解析：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q0)，由4S2S13S3，得4(a1a1q)a13(a1a1qa1q2)，即3q2q0，故q.答案：8(2011陜西高考)植樹節(jié)某班20名同學(xué)在

15、一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，這個最小值為_米解析：當放在最左側(cè)坑時，路程和為2(01020190)；當放在左側(cè)第2個坑時，路程和為2(1001020180)(減少了360米)；當放在左側(cè)第3個坑時，路程和為2(201001020170)(減少了680米)；依次進行，顯然當放在中間的第10、11個坑時，路程和最小，為2(908001020100)2 000米答案：2 0009(2012安徽模擬)在數(shù)列an中，若aap(n2，nN*，p為常數(shù))，則稱an為“等方差數(shù)列”下列是對

16、“等方差數(shù)列”的判斷：若an是等方差數(shù)列，則a是等差數(shù)列；已知數(shù)列an是等方差數(shù)列，則數(shù)列a是等方差數(shù)列(1)n是等方差數(shù)列；若an是等方差數(shù)列，則akn(kN*，k為常數(shù))也是等方差數(shù)列；其中正確命題的序號為_解析：對于，由等方差數(shù)列的定義可知，a是公差為p的等差數(shù)列，故正確對于，取an，則數(shù)列an是等方差數(shù)列，但數(shù)列a不是等方差數(shù)列，故錯對于，因為(1)n2(1)n120(n2，nN*)為常數(shù)，所以(1)n是等方差數(shù)列，故正確對于，若aap(n2，nN*)，則aa(aa)(aa)(aa)kp為常數(shù)，故正確答案：10已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Snn2，數(shù)列bn為等比數(shù)列，且首項b11，

17、b48.(1)求數(shù)列an，bn的通項公式；(2)若數(shù)列cn滿足cnabn，求數(shù)列cn的前n項和Tn；解：(1)數(shù)列an的前n項和為Sn，且Snn2，當n2時，anSnSn1n2(n1)22n1.當n1時，a1S11亦滿足上式，故an2n1(nN*)又數(shù)列bn為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，b11，b4b1q38，q2.bn2n1(nN*)(2)cnabn2bn12n1.Tnc1c2c3cn(211)(221)(2n1)(21222n)nn.所以Tn2n12n.11已知各項均為正數(shù)的數(shù)列an滿足：a2aanan1，且a2a42a34，其中nN*.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列bn滿足：bn，是

18、否存在正整數(shù)m，n(1m0，所以2anan10，即2anan1.所以數(shù)列an是公比為2的等比數(shù)列由a2a42a34，得2a18a18a14，解得a12.故數(shù)列an的通項公式為an2n(nN*)(2)因為bn，所以b1，bm，bn.若b1，bm，bn成等比數(shù)列，則2，即.由，可得，所以2m24m10，從而1m1，所以m2，此時n12.故當且僅當m2，n12時，b1，bm，bn成等比數(shù)列12設(shè)同時滿足條件：bn1；bnM(nN*，M是常數(shù))的無窮數(shù)列bn叫“嘉文”數(shù)列已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn(an1)(a為常數(shù)，且a0，a1)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bn1，若數(shù)列bn為等比數(shù)

19、列，求a的值，并證明數(shù)列為“嘉文”數(shù)列解：(1)因為S1(a11)a1，所以a1a.當n2時，anSnSn1(anan1)，整理得a，即數(shù)列an是以a為首項，a為公比的等比數(shù)列所以ana an1an.(2)由(1)知，bn1，(*)由數(shù)列bn是等比數(shù)列，則bb1b3，故23，解得a，再將a代入(*)式得bn3n，故數(shù)列bn為等比數(shù)列，所以a.由于，滿足條件；由于，故存在M滿足條件.故數(shù)列為“嘉文”數(shù)列1設(shè)f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù)，對任意實數(shù)x，yR，都有f(x)f(y)f(xy)，若a1，anf(n)(nN*)，則數(shù)列an的前n項和Sn的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選C由

20、題意得an1f(n1)f(1)f(n)an，故Sn1n.則數(shù)列an的前n項和的取值范圍是.2(2012安慶模擬)設(shè)關(guān)于x的不等式x2x2nx(nN*)的解集中整數(shù)的個數(shù)為an，數(shù)列an的前n項和為Sn，則S100的值為_解析：由x2x2nx(nN*)，得0x0，故有2n240n720，解得2n0，即15n1log115.85.當n15時，an0.故n15時，Sn取得最小值2在正項數(shù)列an中，a12，點An(，)在雙曲線y2x21上，數(shù)列bn中，點bn，Tn在直線yx1上，其中Tn是數(shù)列bn的前n項和(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列；(3)若cnanbn，求證：cn1c

21、n.解：(1)由點An在y2x21上知，an1an1，數(shù)列an是一個以2為首項，以1為公差的等差數(shù)列，ana1(n1)d2n1n1.(2)證明：點(bn，Tn)在直線yx1上，Tnbn1.Tn1bn11(n2)兩式相減得bnbnbn1(n2)，bnbn1，bnbn1.令n1，得b1b11，b1，bn是以為首項，以為公比的等比數(shù)列(3)證明：由(2)可知anbn(n1)，cn1cn(n2)(n1)(n2)3(n1)(2n1)0，cn10，a74.a5a7q24221.3(2012銀川聯(lián)考)若數(shù)列an的前n項和為Snn21，則向量m(a1，a4)的模為()A53 B50C. D5解析

22、：選C依題意得，a1S12，a4S4S3(421)(321)7，故m(2,7)，|m|.4已知數(shù)陣中，每行的三個數(shù)依次成等差數(shù)列，每列的三個數(shù)也依次成等差數(shù)列，若a224，則這九個數(shù)的和為()A16 B32C36 D40解析：選C依題意得，a11a12a13a21a22a23a31a32a333a123a223a329a2236.5(2012朝陽統(tǒng)考)設(shè)數(shù)列an是公差不為0的等差數(shù)列，a11且a1，a3，a6成等比數(shù)列，則an的前n項和Sn等于()A. B.C. Dn2n解析：選A由a1，a3，a6成等比數(shù)列可得aa1a6，設(shè)數(shù)列an的公差為d(d0)，則(12d)21(15d)，而d0，故d

23、，所以Snn.6(2012銀川聯(lián)考)設(shè)數(shù)列an滿足a12，an11，記數(shù)列an的前n項之積為n，則2 013的值為()A B1C. D2解析：選B由a2，a31，a42可知，數(shù)列an是周期為3的周期數(shù)列，從而2 013(3)6711.7(2012東北三校模擬)等差數(shù)列an中，S150，S160成立的n的最大值為()A6 B7C8 D9解析：選C依題意得S1515a80，即a80；S168(a1a16)8(a8a9)0，即a8a90，a9a80成立的n的最大值是8.8已知數(shù)列an滿足a1，且對任意的正整數(shù)m，n都有amnaman，則等于()A. B.C. D2解析：選B令m1，得an1a1an，

24、即an1ana1，可知數(shù)列an是首項為a1，公差為d的等差數(shù)列，于是an(n1)n，即.9(2012“江南十?！甭?lián)考)已知函數(shù)f(x)cosx，x(0,2)有兩個不同的零點x1，x2，且方程f(x)m(m0)有兩個不同的實根x3，x4，若把這四個數(shù)按從小到大排列構(gòu)成等差數(shù)列，則實數(shù)m()A. BC. D解析：選D若m0，則公差d，顯然不成立，所以ma的n的值為()A2 012 B4 024C2 D3解析：選D設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則由a2，a3，a5成等差數(shù)列得2a3a2a5，即2(a12d)(a1d)(a14d)，有d0，于是ana1，由S2 0124 024得2 012a14 024，

25、有a12，即an2，由nana得n22n，結(jié)合函數(shù)y2x與yx2的圖象知n3.二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13已知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列，且aa10,2(anan2)5an1，則數(shù)列an的通項公式an_.解析：aa100，根據(jù)已知條件得25，解得q2.所以aq8a1q9，所以a12，所以an2n.答案：2n14(2012衡陽六校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)2，若a，b，c成等差數(shù)列(公差不為零)，則f(a)f(c)_.解析：依題意得bacb，(ab)cb，則f(a)f(c)224044.答案：415數(shù)列an滿足an1(1)nan2n1，則an的前60項和為_解析：an1(1)nan

26、2n1，a21a1，a32a1，a47a1，a5a1，a69a1，a72a1，a815a1，a9a1，a1017a1，a112a1，a1223a1，a57a1，a58113a1，a592a1，a60119a1，a1a2a60(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)(a57a58a59a60)1026422341 830.答案：1 83016(2012衡陽六校聯(lián)考)在一個數(shù)列中，如果nN*，都有anan1an2k(k為常數(shù))，那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個數(shù)列的公積已知數(shù)列an是等積數(shù)列，且a11，a22，公積為8，則a1a2a3a12_.解析：依題意得數(shù)列an是周期為3的數(shù)列，且a11，

27、a22，a34，因此a1a2a3a124(a1a2a3)4(124)28.答案：28三、解答題(本題共6小題，共70分)17(本小題滿分10分)(2012陜西高考)已知等比數(shù)列an的公比q.(1)若a3，求數(shù)列an的前n項和；(2)證明：對任意kN，ak，ak2，ak1成等差數(shù)列解：(1)由a3a1q2及q，得a11，所以數(shù)列an的前n項和Sn.(2)證明：對任意kN，2ak2(akak1)2a1qk1(a1qk1a1qk)a1qk1(2q2q1)，由q得2q2q10，故2ak2(akak1)0.所以對任意kN，ak，ak2，ak1成等差數(shù)列18(本小題滿分12分)(2012陜西高考)設(shè)an是

28、公比不為1的等比數(shù)列，其前n項和為Sn，且a5，a3，a4成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的公比；(2)證明：對任意kN，Sk2，Sk，Sk1成等差數(shù)列解：(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q(q0，q1)，由a5，a3，a4成等差數(shù)列，得2a3a5a4，即2a1q2a1q4a1q3.由a10，q0得q2q20，解得q12或q21(舍去)，故q2.(2)證明：法一：對任意kN，Sk2Sk12Sk(Sk2Sk)(Sk1Sk)ak1ak2ak12ak1ak1(2)0，所以對任意kN，Sk2，Sk，Sk1成等差數(shù)列法二：對任意kN，2Sk，Sk2Sk1，2Sk(Sk2Sk1)2(1qk)(2qk2qk1)(q2q2)0，因此，對任意kN，Sk2，Sk，Sk1成等差數(shù)列19(本小題滿分12分)(2012濰坊模擬)已知數(shù)列an是各項均不為0的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，且滿足S2n1a，nN*.(1)求an；(2)數(shù)列bn滿足bnTn為數(shù)列bn的前n項和，求T2n.解：(1)設(shè)數(shù)列an的首項為a1，公差為d，在S2n1a中，令n1,2，得得解得a12，d4，故an4n2.(2)由(1)得bn則T2n1223222432422n222n31222422n24(12n)3n43n2n2n.20(本小題滿分12分)(2012石家莊質(zhì)檢)已知數(shù)列an為公差不為零的等差數(shù)列，a11，各項均為正數(shù)