1、3.2.3指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系,知識整合,1當(dāng)一個函數(shù)是一一映射時，可以把這個函數(shù)的_作為一個新的函數(shù)的自變量，而把這個函數(shù)的_作為新的函數(shù)的因變量，稱這兩個函數(shù)_ 2對數(shù)函數(shù)ylogax與指數(shù)函數(shù)yax_，它們的圖象關(guān)于直線_對稱 3如果函數(shù)yf(x)有反函數(shù)_，那么函數(shù)_的反函數(shù)就是yf(x)這就是說，函數(shù)_互為反函數(shù),答案：1.因變量自變量互為反函數(shù) 2互為反函數(shù)yx 3yf1(x)yf1(x)yf(x)與yf1(x),名師解答,1怎樣把對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)聯(lián)系起來研究？ (1)對數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，所以要利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來研究對數(shù)函數(shù)應(yīng)該注意到：這兩種函數(shù)都要求底數(shù)a0，且a

2、1；對數(shù)函數(shù)的定義域為(0，)，結(jié)合圖象看，對數(shù)函數(shù)在y軸左側(cè)沒有圖象，即負數(shù)與0沒有對數(shù)，也就是真數(shù)必須大于0.這些知識可以用來求含有對數(shù)函數(shù)的定義域,(2)通過將對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖象進行對比，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a1，或0a1時，對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是一致的即在區(qū)間(0，)上同時為增函數(shù)，或者同時為減函數(shù)對數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(1,0)，這與性質(zhì)loga10a01是分不開的 (3)既然對數(shù)函數(shù)ylogax與指數(shù)函數(shù)yax互為反函數(shù)，那么它們的圖象關(guān)于直線yx對稱于是通過對a分情況(約定不同的取值范圍)，再結(jié)合函數(shù)ylog2x，的圖象來揭示對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)該是一件水到渠成的事,2如何證明

3、ylogax(a0，a1)的圖象與yax(a0，a1)的圖象關(guān)于yx對稱？ 設(shè)點M(x，y)是ylogax(a0，a1)圖象上的任意一點，所以有xay，即N(y，x)在yax(a0，a1)的圖象上又M(x，y)與N(y，x)關(guān)于yx對稱，因此有ylogax(a0，a1)的圖象上任意一點M(x，y)關(guān)于yx的對稱點N(y，x)在yax(a0，a1)的圖象上；同理亦可證明yax(a0，a1)的圖象上任意一點M(x，y)關(guān)于yx對稱點的N(y，x)在ylogax(a0，a1)的圖象上所以ylogax(a0，a1)的圖象與yax(a0，a1)的圖象關(guān)于yx對稱,深入學(xué)習(xí),分析：深刻理解對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函

4、數(shù)的關(guān)系，是求指數(shù)函數(shù)(或?qū)?shù)函數(shù))反函數(shù)的前提,分析：熟練掌握求反函數(shù)的基本步驟是準確求出函數(shù)的反函數(shù)的必要條件，當(dāng)然首先這個函數(shù)要有反函數(shù)解本題時，還要注意對參數(shù)a，b的討論,題型二 判斷反函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性 【例2】已知f(x)axax(其中0a1) (1)分別作y1ax，y2ax(0a1)的圖象，從圖象上判斷f(x)y1y2的單調(diào)性，并加以證明； (2)求函數(shù)f(x)的反函數(shù)f1(x)； (3)試判斷f1(x)的奇偶性，并證明你的結(jié)論 分析：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的判定與證明以及求反函數(shù)的方法第(1)小題可結(jié)合圖象作出判斷后再加以證明，本題體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法,評

5、析：本題綜合性較強，要認真審題，逐步作答要學(xué)會使用“定義法”判斷單調(diào)性、奇偶性、求反函數(shù),答案：C,題型三 函數(shù)的單調(diào)性問題 【例3】若函數(shù)f(x)log2(x2mx3m)在區(qū)間(2，)上是增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是_ 答案：4,4 解：令g(x)x2mx3m. f(x)log2(x2mx3m)在(2，)上是增函數(shù)， g(x)在(2，)也應(yīng)是增函數(shù)，且g(x)0在(2，)上恒成立，故有：,評析：這類問題的解決主要對問題進行等價轉(zhuǎn)換，一是根據(jù)整個復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得到真數(shù)上的函數(shù)的相應(yīng)的單調(diào)性，二是要保證真數(shù)上的函數(shù)在給定的區(qū)間上要恒大于零，依據(jù)上述兩條建立參數(shù)的不等式組，即可求得其取值范圍,變

6、式訓(xùn)練 3找出下面函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并說明函數(shù)在每一單調(diào)區(qū)間的單調(diào)性： (1)y4x2x11； (2)ylog0.4(82xx2) 分析：本題考查利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)解題的能力,解：(1)y4x2x11(2x1)22， 2x0，且在(，)上是增函數(shù)， 而y(u1)22在(，1上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知函數(shù)y4x2x11的單調(diào)區(qū)間是(，0，(0，)，且在區(qū)間(，0上遞減，在區(qū)間(0，)上遞增 (2)由82xx20，得4x2. 而82xx2(x1)29， 函數(shù)ylog0.4u在(0，)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)ylog0.4(82xx2)的單調(diào)區(qū)間是(4，1，(1

7、,2)，且在區(qū)間(4，1上遞減，在區(qū)間(1,2)上遞增,題型四 利用互為反函數(shù)的圖象之間的關(guān)系，求其表達式 【例4】已知函數(shù)f(x)axk的圖象經(jīng)過點(1,3)，其反函數(shù)yf1(x)的圖象過(2,0)點，則f(x)的表達式為_ 分析：根據(jù)互為反函數(shù)的兩函數(shù)的自變量與因變量之間的對應(yīng)關(guān)系，可求得a、k的值，從而求得f(x)的表達式,解：yf1(x)的圖象過點(2,0)， yf(x)的圖象過(0,2)點，2a0k. k1，f(x)ax1. 又yf(x)的圖象過點(1,3)，3a11， a2，f(x)2x1. 評析：(1)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的定義域與值域發(fā)生互換，即原函數(shù)的定義域是反函數(shù)的值域，原

8、函數(shù)的值域是反函數(shù)的定義域 (2)互為反函數(shù)的兩函數(shù)的圖象關(guān)于直線yx對稱點(a，b)關(guān)于直線yx的對稱點為(b，a),變式訓(xùn)練 4設(shè)有三個函數(shù)，第一個函數(shù)是yf(x)，它的反函數(shù)就是第二個函數(shù)，而第三個函數(shù)的圖象與第二個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么第三個函數(shù)是 () Ayf(x)Byf(x) Cyf1(x) Dyf1(x) 答案：D 解析：由已知得第二個函數(shù)yf1(x)，第三個函數(shù)的圖象與第二個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則第三個函數(shù)可這樣得到：將第二個函數(shù)中的x換成x，則第三個函數(shù)為yf1(x)，故選D.,整體探究解讀,題型一 對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用 【例1】已知f(x)loga(aax)(a1)

9、， (1)求f(x)的定義域、值域； (2)判斷f(x)的單調(diào)性，并證明： (3)解不等式：f1(x22)f(x) 分析：本題考查函數(shù)的性質(zhì)及反函數(shù)的知識，解決本題的關(guān)鍵是對指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)有較好地把握,解：(1)為使函數(shù)有意義，需滿足aax0， 即ax1， x1，故定義域為(，1) 又loga(aax)logaa1， f(x)1，即函數(shù)值域為(，1),評析：判斷函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)，應(yīng)首先找出函數(shù)的定義域,題型二 指數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象 【例2】已知a0，且a1，則函數(shù)yax與yloga(x)的圖象只能是 (),分析：可以從圖象所在的位置及單調(diào)性來判別，也可利用函數(shù)的性質(zhì)識別圖象，特別注意

10、底數(shù)a對圖象的影響 解法一：首先，曲線yax只可能在上半平面，yloga(x)只可能在左半平面，從而排除A、C. 其次，從單調(diào)性著眼yax與yloga(x)的增減性正好相反，又可排除D. 應(yīng)選B.,解法二：若01，則曲線yax上升且過點(0,1)，而曲線yloga(x)下降且過(1,0)，只有B滿足條件 解法三：如果注意到y(tǒng)loga(x)的圖象關(guān)于y軸的對稱圖象為ylogax，又ylogax與yax互為反函數(shù)(圖象關(guān)于直線yx對稱)，則可直接選定B. 答案：B,評析：要養(yǎng)成從多角度分析問題、解決問題的習(xí)慣，培養(yǎng)思維的靈活性,題型三 指數(shù)與對數(shù)的綜合應(yīng)用 【例3】已知函數(shù)f(x)lg(axkbx)(b(0，)，a1b0)的定義域恰為區(qū)間(0，)，是否存在這樣的a、b使得f(x)恰在(1，)上取正值，且f(3)lg4？若存在，求出a、b的值；若不存在，請