1、第七章：數(shù)字控制器的狀態(tài)空間設(shè)計(jì)方法，7.1線性系統(tǒng)和線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述，7.2線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的可控性和可觀性，7.3狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)方法，7.4輸出反饋設(shè)計(jì)方法，7.5狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)，7.1線性系統(tǒng)和線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述，線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述狀態(tài)和狀態(tài)變量，狀態(tài)向量，狀態(tài)空間，狀態(tài)方程和輸出方程。狀態(tài)空間描述線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型、狀態(tài)和狀態(tài)變量的建立，并在時(shí)域描述動態(tài)系統(tǒng)的動態(tài)行為或運(yùn)動信息。能夠完整描述系統(tǒng)的一組相對獨(dú)立且數(shù)量最少的狀態(tài)稱為狀態(tài)變量。狀態(tài)變量的選擇不是唯一的，只要所選狀態(tài)彼此獨(dú)立，但是狀態(tài)變量中包含的狀態(tài)數(shù)量是唯一的。一般來說，所選擇的狀態(tài)變量可

2、以有物理意義，也可以只有數(shù)學(xué)意義，但在工程實(shí)踐中，為了實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋，往往選擇易于測量的量作為狀態(tài)變量。如果需要n個(gè)狀態(tài)變量來完全描述給定系統(tǒng)的動態(tài)行為，這些狀態(tài)變量可以看作向量的每個(gè)分量，即x(t)稱為n維狀態(tài)向量。一般來說，狀態(tài)指的是狀態(tài)變量或狀態(tài)向量。國家空間。以N維狀態(tài)變量的每個(gè)分量為基礎(chǔ)形成的N維空間稱為狀態(tài)空間。系統(tǒng)在任何時(shí)候的狀態(tài)都可以用狀態(tài)空間中的一個(gè)點(diǎn)來表示。在狀態(tài)空間分析法中，三個(gè)變量被用來描述一個(gè)系統(tǒng)：輸入變量、狀態(tài)變量和輸出變量。連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程通常用一階微分方程表示。輸出方程的一般形式是離散系統(tǒng)。輸出方程的一般形式是狀態(tài)空間描述。用狀態(tài)方程和輸出方程描述系統(tǒng)的方法稱為

3、狀態(tài)空間描述。狀態(tài)方程和輸出方程也統(tǒng)稱為動態(tài)方程。對于線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)，其動力學(xué)方程可以表示為：對于線性時(shí)不變離散系統(tǒng)，建立線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，給出以下單輸入單輸出線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的差分方程，k代表kT時(shí)間；t是采樣周期；Y(k)和u(k)分別是kT時(shí)間的輸出和輸入。通過如下選擇狀態(tài)變量，可以獲得以下動態(tài)方程。線性時(shí)不變離散系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的建立是以向量矩陣的形式寫成的，A是伴隨矩陣；a和b是可控的標(biāo)準(zhǔn)類型；d是一個(gè)零矩陣。建立線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，離散動態(tài)方程與脈沖傳遞函數(shù)的關(guān)系，以及脈沖傳遞函數(shù)，可以用不同形式的狀態(tài)方程和輸出方程來表示；類似地，狀態(tài)方程和輸出

4、方程可以用來導(dǎo)出系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)或脈沖傳遞矩陣。線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的動力學(xué)方程在上述方程的兩端(零初始狀態(tài))進(jìn)行了Z變換，因此系統(tǒng)的脈沖傳遞矩陣可以得到如下結(jié)果：7.2線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的能控性和能觀性，線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的能控性，系統(tǒng)狀態(tài)能控性和能觀性的能觀性對偶原理，以及線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的其他輸出能控性特征。對于n階線性時(shí)不變離散系統(tǒng)，如果有有限的輸入向量序列可以在第一步將初始狀態(tài)控制到零狀態(tài)，那么這個(gè)狀態(tài)是可控的。如果系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是可控的，那么系統(tǒng)就是完全可控的，或者簡單可控的。由上述公式描述的線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的狀態(tài)是完全可控的充要條件是可控矩陣是滿秩的。例7.1例7.2，2。

5、線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的可觀測性對于線性時(shí)不變離散系統(tǒng)，如果在有限數(shù)量的采樣時(shí)刻測量的輸入序列和輸出序列是已知的，那么系統(tǒng)的任何初始狀態(tài)都可以唯一地確定，那么該系統(tǒng)被稱為狀態(tài)可觀測的，或簡單可觀測的。上述公式描述的線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的狀態(tài)是完全可觀測的充要條件是可觀測矩陣是滿秩的。例7.3，3。對偶原理，假設(shè)線性時(shí)不變離散系統(tǒng)S1和S2的狀態(tài)空間表達(dá)式是S1S2，讓S1=(A，B，C)和S2=(AT，CT，BT)是對偶系統(tǒng)，那么S1的能控性等價(jià)于S2的能觀性；S1的可觀測性相當(dāng)于S2的可控性。換句話說，如果S1是完全可控的(完全可觀測的)，S2是完全可觀測的(完全可控的)。4。系統(tǒng)狀態(tài)可控性和可觀

6、測性的其他特征。非奇異相似變換不改變系統(tǒng)的可控性。非奇異變換不改變離散系統(tǒng)的可觀測性。單輸入單輸出線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性、能觀性和脈沖傳遞函數(shù)之間的關(guān)系是完全能控和完全能觀的，當(dāng)且僅當(dāng)脈沖傳遞函數(shù)沒有零點(diǎn)和極點(diǎn)對消。如果存在零點(diǎn)和極點(diǎn)對消，系統(tǒng)要么不完全可控，要么不完全可觀測，要么既不完全可控，也不完全可觀測。例7.4，5。輸出可控性，對于n階線性時(shí)不變離散系統(tǒng)，輸入向量是r維的，輸出向量是m維的。如果在步驟q中有有限數(shù)量的輸入向量序列可以控制系統(tǒng)從某個(gè)初始狀態(tài)到任何最終輸出的輸出，那么該系統(tǒng)在輸出上可以說是完全可控的。上述公式描述的線性時(shí)不變離散系統(tǒng)輸出能控性的充要條件是輸出能控性矩

7、陣是滿秩的。7.3、狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)方法，控制系統(tǒng)的質(zhì)量主要取決于系統(tǒng)極點(diǎn)在Z平面上的位置。因此，在系統(tǒng)的綜合設(shè)計(jì)中，往往會給出一組期望極點(diǎn)，或者根據(jù)時(shí)域指標(biāo)提出一組期望極點(diǎn)。所謂極點(diǎn)配置問題就是設(shè)計(jì)反饋增益矩陣，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)恰好位于Z平面上的期望位置，從而獲得期望的動態(tài)特性。這種方法可以看作是經(jīng)典控制理論中根軌跡法的推廣?；跔顟B(tài)反饋的單輸入系統(tǒng)極點(diǎn)配置方法，多輸入系統(tǒng)的狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)方法，1?；跔顟B(tài)反饋的單輸入系統(tǒng)極點(diǎn)配置方法，被控系統(tǒng)如圖7.3所示，其狀態(tài)方程為n維狀態(tài)向量，其中x(k)為k次；U(k)是k采樣時(shí)間的控制信號；a是nn維矩陣；b是n1維列向量。圖7.3是被控對象的結(jié)構(gòu)圖。

8、在以下形式的狀態(tài)反饋公式中，k是狀態(tài)反饋增益矩陣，v(k)是參考輸入。將其代入狀態(tài)方程，形成閉環(huán)系統(tǒng)，如圖7.4所示。圖7.4狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)，單輸入系統(tǒng)基于狀態(tài)反饋的極點(diǎn)配置方法，反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)可以表示為系統(tǒng)(A，B)是完全可控的，那么利用上述狀態(tài)反饋得到的閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)可以任意配置。讓我們假設(shè)它是可控范式(如果不是，它可以通過非奇異非線性變換轉(zhuǎn)化為可控范式)。在基于狀態(tài)反饋的單輸入系統(tǒng)極點(diǎn)配置方法中，狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣和輸入矩陣分別是閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程。在基于狀態(tài)反饋的單輸入系統(tǒng)極點(diǎn)配置方法中，如果設(shè)定閉環(huán)系統(tǒng)的期望極點(diǎn)，系統(tǒng)的期望特征方程是使上述兩個(gè)公式中的各功率系數(shù)對應(yīng)相等

9、，則可得到狀態(tài)反饋增益矩陣k。例7.5，基于狀態(tài)反饋的單輸入系統(tǒng)極點(diǎn)配置方法；例2，多輸入系統(tǒng)的狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)方法，其中至少一個(gè)輸入可以使系統(tǒng)完全可控。在這種情況下，只需要單獨(dú)使用該輸入來實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋。該方法與上述單輸入系統(tǒng)的狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)方法基本相同。例7.6任何單輸入系統(tǒng)的不完全可控性如果一個(gè)多輸入系統(tǒng)的狀態(tài)是完全可控的，但對于任何單輸入系統(tǒng)來說都不是完全可控的，那么每個(gè)輸入都可以看作是一個(gè)線性dec圖7.5多輸入多輸出系統(tǒng)的輸出反饋，輸出反饋設(shè)計(jì)方法，閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程為閉環(huán)系統(tǒng)特征方程。如果閉環(huán)系統(tǒng)的期望極點(diǎn)被設(shè)定，那么系統(tǒng)的期望特征方程就是使上述兩個(gè)公式中z冪項(xiàng)的系數(shù)對應(yīng)相等，那么就可以得

10、到輸出反饋系數(shù)矩陣h。7.5狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)，利用狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置，需要使用系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量。然而，不是系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量都可以用物理方法容易地測量，有些根本無法測量；甚至一些中間變量也沒有常規(guī)的物理意義。在這種情況下，為了在工程中實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋，有必要估計(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)，即構(gòu)造一個(gè)狀態(tài)觀測器。全維狀態(tài)觀測器。全維狀態(tài)觀測器(1)。當(dāng)一個(gè)物體的所有狀態(tài)不能被直接測量時(shí)，為了設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋，有必要觀察所有的狀態(tài)變量。此時(shí)構(gòu)造的狀態(tài)觀測器的順序與物體的順序相同，稱為全維狀態(tài)觀測器。考慮以下n階單輸出線性時(shí)不變離散系統(tǒng)：A是nn維系統(tǒng)矩陣，B是nr個(gè)輸入矩陣，C是1n維輸出矩陣。圖7.6全維狀

11、態(tài)觀測器，全維狀態(tài)觀測器(2)，用于構(gòu)建具有與受控系統(tǒng)相同參數(shù)的動態(tài)系統(tǒng)。當(dāng)兩個(gè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)完全一致時(shí)，兩個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)在將來的任何時(shí)候都應(yīng)該完全相同。然而，在實(shí)際實(shí)現(xiàn)中，不可能保證它們的初始狀態(tài)完全相同。因此，應(yīng)引入兩個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)誤差反饋信號，形成一個(gè)狀態(tài)誤差閉環(huán)系統(tǒng)，通過極點(diǎn)配置使誤差系統(tǒng)的狀態(tài)趨于零。由于原被控系統(tǒng)的狀態(tài)不能直接測量，所以用兩個(gè)系統(tǒng)的輸出誤差信號代替。全維狀態(tài)觀測器(3)，其中引入了具有輸出誤差的狀態(tài)觀測器狀態(tài)方程，其中H是狀態(tài)觀測器的輸出誤差反饋系數(shù)矩陣，并且狀態(tài)估計(jì)誤差被定義為以下形式的全維狀態(tài)觀測器(4)。從上面可以知道，如果選擇適當(dāng)?shù)妮敵稣`差反饋矩陣H，使得狀態(tài)估計(jì)

12、誤差系統(tǒng)的所有極點(diǎn)都位于Z平面的單位圓中，則在有限拍中誤差可以趨于零，即，可以在有限拍中跟蹤狀態(tài)估計(jì)值。全維狀態(tài)觀測器(5)。如果狀態(tài)觀測器的特征值被指定為，也就是說，期望的特征方程是狀態(tài)觀測器的特征多項(xiàng)式，則通過比較兩個(gè)公式兩邊的Z的冪的系數(shù)，可以得到一個(gè)N元方程組，并且可以得到輸出誤差反饋系數(shù)矩陣H。例7.8，2。降維狀態(tài)觀測器(1)，已知可以觀測到N維系統(tǒng)，并且其輸出矩陣的秩為m，這意味著系統(tǒng)中有m個(gè)狀態(tài)可以直接觀測到，并且不需要觀測系統(tǒng)的所有N個(gè)狀態(tài)，而只需要觀測其他的n-m個(gè)狀態(tài)。可以使用n-m維狀態(tài)觀測器來代替全維狀態(tài)觀測器。維數(shù)低于受控系統(tǒng)狀態(tài)向量的觀測器稱為降維觀測器。單輸入多

13、輸出系統(tǒng)降維觀測器的設(shè)計(jì)眾所周知，N維線性時(shí)不變離散系統(tǒng)(A，B，C)可以觀測，其中x(k)是N維狀態(tài)向量，y(k)是M維輸出列向量。降維狀態(tài)觀測器(2)首先將狀態(tài)x(k)分解成兩部分：可直接測量的部分x2(k)(m1維)；X1(k)(n-m)1維)，需要重建，不能直接測量。即，A11是(n-m)(n-m)維的；A12是(n-m)m維；A21是m(n-m)維；A22是m(n-m)維；B1是(n-m)1維；B2是m1維。為了從直接可觀測的x2(k)估計(jì)不可觀測的x1(k)，引入了虛擬輸出，即降維狀態(tài)觀測器(3)。整個(gè)系統(tǒng)的降維狀態(tài)觀測器實(shí)際上相當(dāng)于全維觀測器的子系統(tǒng)。因此，使用與全維觀測器相同的輸出誤差反饋思想，構(gòu)造了一個(gè)降維觀測器，其結(jié)構(gòu)如圖7.7所示。圖7