1、第五章 大數(shù)定律與中心極限定理 1 切貝謝夫不等式,研究隨機變量的離差與方差的關(guān)系。,切貝謝夫不等式：,用切貝謝夫不等式估計：,7000,2100,2 大數(shù)定律,測量多次，結(jié)果的計算平均值未必等于a,測量次數(shù)很大時，算術(shù)平均值接近于a,這種現(xiàn)象為平均結(jié)果的穩(wěn)定性。,大量隨機現(xiàn)象中的平均結(jié)果與每一個別隨機現(xiàn)象無關(guān)，幾乎不再隨機。,例2 測量一個長度a，一次測量，結(jié)果未必等于a,=1,也稱為切貝謝夫大數(shù)定律。,它有如下重要的推論。,大量重復(fù)試驗中，事件發(fā)生的頻率接近于概率。,若P(A)很小，則A發(fā)生的頻率也很小,如P(A)=0.001,約在1000次試驗中，A發(fā)生一次,在一次試驗中認為A幾乎不可能

2、發(fā)生。,這稱為小概率事件的實際不可能性原理。,實際應(yīng)用中，對某一量a，在不變條件下重復(fù)測量 n次，得到觀察值x1,xn,3 中心極限定理,釘板試驗,研究在什么條件下，大量獨立隨機變量和的分布以正態(tài)分布為極限，這一類定理稱為中心極限定理。,一般地，若某項偶然因素對總和的影響是均勻的、微小的，即沒有一項起特別突出的作用，則這些大量獨立偶然因素總和的隨機變量近似服從正態(tài)分布。,這就是如下的李雅普諾夫定理：,例1 一個螺絲釘重量是一個隨機變量，期望值是1兩， 標準差是0.1兩。求一盒(100個)同型號螺絲釘?shù)闹亓?超過10.2斤的概率。,=0.02275,例2 對敵人的防御地段進行100次轟炸，每次轟

3、炸命 中目標的炸彈數(shù)目是一個隨機變量，其期望值為2， 方差為1.69。求在100次轟炸中有180顆到220顆炸彈 命中目標的概率。,0.87644,=0.008158,解法二：,正態(tài)分布的線性函數(shù)也是正態(tài)分布,0.5,=0.008158,例4 某大型商場每天接待顧客10000人，設(shè)某位顧客的消費額(元)服從100,1000上的均勻分布，且顧客的消費額是獨立的，試求該商場的銷售額在平均銷售額上、下浮動不超過20000元的概率。,例5 計算機在進行加法時，每個加數(shù)取整數(shù)(四舍五入)， 設(shè)所有取整誤差是相互獨立的，且它們都在-0.5，0.5 上服從均勻分布。(1)若將1500個數(shù)相加，問誤差總和 的

4、絕對值超過15的概率是多少？(2)最少幾個數(shù)相加在一起可使得誤差總和的絕對值小于10的概率不超過90？,=0.18024,(2)設(shè)有n個數(shù)相加,二項分布可以看成多個0-1分布之和,當(dāng)n增加時，它以正態(tài)分布為極限。,例6 10部機器獨立工作，每部停機的概率為0.2，求3 部機器同時停機的概率。,(1)直接計算,相差較大，這是因為n較小。,例7 每顆炮彈命中飛機的概率為0.01，求500發(fā)炮彈 中命中5發(fā)的概率。,n=500p=0.01,(1)直接計算,0.17635,(2)用局部極限定理,0.1793,(3)由于n很大，p很小，也可用Poisson分布計算,P5(5)=0.175467,比用正態(tài)

5、分布更精確,正態(tài)分布與Poisson分布都是二項分布的極限分布。,用Poisson分布近似計算比用正態(tài)分布精確,實際應(yīng)用更多的是積分極限定理,n=10000p=0.005,=0.9977,例8 產(chǎn)品為廢品的概率為p=0.005,求10000件產(chǎn)品中 廢品數(shù)不大于70的概率。,例9 已知一次試驗中P(A)=0.75,分別用切貝謝夫不等 式與中心極限定理計算。 (1)在1000次試驗中，A發(fā)生的次數(shù)在700-800之間的 概率。 (2)n取多大時，才能使n次重復(fù)獨立試驗中A出現(xiàn)的頻 率在0.740.76間的概率至少為0.9？,n=1000p=0.75,用切貝謝夫不等式計算,=0.925,用正態(tài)分布計算,用切貝謝夫不等式,用正態(tài)分布,例10 某單位有200臺電話分機，