1、則上圖的脈沖傳遞函數(shù)為:,需指出的是,例1: 求下圖所示開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù),解:,例2: 求下圖所示開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù),解:,例3: 求下圖所示有零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù),解: 令,則:,由Z變換的滯后定理可得:,B. 閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù),由于采樣開關(guān)在閉環(huán)系統(tǒng)中可以有多種配置可能性, 因此 閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖較連續(xù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖來的復(fù)雜. 下圖是一種 常見的離散閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖形式:,由上圖經(jīng)推導(dǎo)可得:,叫閉環(huán)系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù). 實(shí)際系統(tǒng)的輸出一般是連,續(xù)信號, 故如上圖所示, 在輸出端虛設(shè)一采樣開關(guān), 才可得到閉 環(huán)系統(tǒng)輸出對輸入的脈沖傳遞函數(shù).,因?yàn)? 所以,上式中

2、,叫閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式,叫閉環(huán)系統(tǒng),的開環(huán)Z傳遞函數(shù). 在有些情況下, 無法得到閉環(huán)系統(tǒng)的Z傳遞 函數(shù), 而只能得到閉環(huán)系統(tǒng)輸出的Z變換表達(dá)式, 見下圖:,例: 求下圖所示系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù), 采樣周期T=0.07s.,解:,6.4.3 離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的模式之二_離散動態(tài)方程,離散控制系統(tǒng)的被控對象一般都是連續(xù)的, 當(dāng)用連續(xù)動態(tài) 方程描述被控對象時,就需將連續(xù)動態(tài)方程離散化. 現(xiàn)假設(shè)被控 對象連續(xù)動態(tài)方程的一般形式為:,設(shè)初始時刻為,初始狀態(tài)為,狀態(tài)方程的解為:,令, 代入上式得:,假設(shè)采用零階保持器, 則當(dāng),時有,上式為:,令:,對上式進(jìn)行變量代換, 令, 則, 當(dāng),時, 當(dāng),時, 將上述

3、變量關(guān)系代入上式得:,從而得到離散化后的動態(tài)方程為:,上式中,. 動態(tài)方程的結(jié)構(gòu)圖見P.351圖6.4.2,例: 設(shè)連續(xù)動態(tài)方程為:,試求其離散化動態(tài)方程, 設(shè)采樣周期T=1s,解: 可求得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為:,令t=T, 則:,而:,當(dāng)T=1時, 可得:,系統(tǒng)離散化狀態(tài)方程為:,課外習(xí)題:P.414第6.9題(2)(3), 第6.10題(a)(b)(c)(d),第6.11題 第6.13題(1)(2),下面討論離散動態(tài)方程的求解方法.,設(shè)離散動態(tài)方程為:,1. 遞推法. 令:,將上面方程從上往下逐個依次迭代, 得:,遞推法給出的狀態(tài)方程的解不是閉合形式, 但便于用計(jì)算機(jī)求,解. 由輸出方程可方便地

4、求出輸出. 2. Z變換法 對狀態(tài)方程,兩邊進(jìn)行Z變換得:,Z變換法給出的狀態(tài)方程的解是閉合形式的.由輸出方程可方便 地求出輸出. 令:,稱為離散系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣.,例: 采樣周期T=1s的離散系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為:,求其解.,解:,6.6 離散控制系統(tǒng)的性能分析,6.6.1 離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性 1. 穩(wěn)定條件 在線性連續(xù)系統(tǒng)理論中已知, 其穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)的 所有極點(diǎn)均在S平面的左半平面上. S平面的虛軸是穩(wěn)定區(qū)域的 邊界. 在線性離散系統(tǒng)中, 如用拉氏變換, 則變換式中含有,項(xiàng), 從而系統(tǒng)的特征方程為超越方程, 其極點(diǎn)不好求. 但,經(jīng)過Z變換后, 離散系統(tǒng)的特征方程D(z)為Z平面

5、上的代數(shù)方程 但在Z平面上, 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定條件又如何表述? 設(shè)離散系統(tǒng)的特征方程為D(z), 令D(z)=0, 設(shè)其極點(diǎn)為, 則系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是, 在Z平面上,均在以原點(diǎn)為圓心, 半徑為1的單位圓內(nèi), 即,當(dāng), 即只要有一個極點(diǎn)在單位圓周上,則系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的.,當(dāng), 即只要有一個極點(diǎn)在單位圓外,則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的.,上述結(jié)論的正確性可說明如下:,設(shè)在S平面上,有,經(jīng)Z變換后, 它在Z平,面上的映像為:,由上式可得: 當(dāng),時, s在S平面的左半平面上, 而,z在Z平面上的單位圓內(nèi). 當(dāng),時,s在S平面的虛軸上,而,z在Z平面上的單位圓周上. 當(dāng),時, s在S平面的右半平面上,而, z在Z平

6、面上的單位圓外.,2. 勞斯穩(wěn)定判據(jù)在離散控制系統(tǒng)中的應(yīng)用 勞斯穩(wěn)定判據(jù)只能根據(jù)代數(shù)方程的系數(shù), 判別代數(shù)方程的 根在根平面的左半平面上還是在根平面的右半平面上, 而無法 判別代數(shù)方程的根的模是大于1還是小于1, 或是等于1.,為此需把Z平面再進(jìn)行一次變換, 令:,或令:,將上述變換叫作雙線性變換, 也叫Z-W變換, 即把Z平面變換 到W平面. Z和W均為復(fù)變量, 可表為:,即:,將式(2)代入式(1), 有:,由上式可見, W平面上的虛軸對應(yīng)于上式中的,而,在Z平面上正好是單位圓的圓周. 由于,所以當(dāng),時, 即u0, w在W平面的左,半平面上, 而,在Z平面上即為單位圓的內(nèi)部. 當(dāng),時,即u

7、0,w在W平面的右半平面上,而,在Z平面上即為單位圓的外部.,有上述ZW變換, 可將Z平面上的特征方程D(z)變換為W平面,上的特征方程D(w), 即:,從而在W平面上應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判別離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性 例: 設(shè)閉環(huán)離散控制系統(tǒng)的特征方程為:,試判斷此系統(tǒng)的穩(wěn)定性.,解: 令,代入D(z)得:,列出勞斯表為:,因?yàn)閯谒贡碛袃纱畏柛淖? 所以D(w)有 兩個根在W平面的右半平面上, 即D(z)有 兩個根在Z平面的單位圓的外部, 故此系統(tǒng) 不穩(wěn)定.,2. 李雅普諾夫穩(wěn)定判據(jù)在離散控制系統(tǒng)中的應(yīng)用,對于線性定常離散控制系統(tǒng), 李雅普諾夫直接法的穩(wěn)定判 據(jù)可作如下表述: 為討論問題方便起見,

8、設(shè)采樣周期T=1s. 則給定系統(tǒng)的狀 態(tài)方程可表為:,若系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的, 則任意選定一個正定的對稱矩陣Q(一般 Q=I), 必存在一個正定的對稱矩陣P, 滿足離散李雅普諾夫方 程, 即:,而李雅普諾夫函數(shù):,李雅普諾夫函數(shù)的變化率:,例: 試用李雅普諾夫直接法的穩(wěn)定判據(jù)判別下面給出的離散,狀態(tài)方程所表示系統(tǒng)的穩(wěn)定性.,解: 取正定對稱矩陣,令,將Q和P代入離散李雅普諾夫方程, 得:,由于P的一階和二階主子行列式都大于零, 所以P正定,系統(tǒng) 是漸近穩(wěn)定的.,課外習(xí)題:P.416第6.15題(1)(2)(4), 第6.16題,6.6.1 離散控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算 非單位反饋離散控制系統(tǒng)的典型結(jié)

9、構(gòu)圖如下圖所示:,上圖中,叫離散偏差信號, 其Z變換表達(dá)式為:,若令, 則上式為:,其中,叫開環(huán)Z傳遞函數(shù). 當(dāng),時, 上圖為單位,反饋離散控制系統(tǒng),叫離散誤差信號.,定義離散穩(wěn)態(tài)誤差(或偏差)信號為:,需強(qiáng)調(diào)指出的是, 上面定義的是離散誤差(或偏差)信號在采樣 時刻的穩(wěn)態(tài)值. 計(jì)算離散穩(wěn)態(tài)誤差(或偏差)值的方法有下面三 種:,(1)求出,或,表達(dá)式后, 由定義求,(2)當(dāng)閉環(huán)穩(wěn)定時, 利用Z變換的終值定理求, 即,(3)當(dāng)系統(tǒng)的輸入信號分別為,或?yàn)檫@三種信號,的組合時, 用穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)法求, 為此, 將離散閉環(huán)系統(tǒng)按其,開環(huán)Z傳遞函數(shù)中含有0,1,2,個z=1的極點(diǎn)個數(shù)而分為0型, 1型,

10、2型, 系統(tǒng).,下面介紹在典型輸入信號作用下, 用穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)法計(jì)算穩(wěn)態(tài),誤差值的具體方法. (1) 階躍(位置)輸入時,令,為位置誤差系數(shù)，則,，從而對于,0型系統(tǒng),為有限值。,1型系統(tǒng),， 2型系統(tǒng),(2) 斜坡(速度)輸入時,為速度誤差系數(shù)，則,，從而,對于0型系統(tǒng), 1型系統(tǒng),為有限值。,2型系統(tǒng),令,拋物線(加速度)輸入時,為加速度誤差系數(shù)，則,，從而,對于0型系統(tǒng), 1型系統(tǒng),為有限值。高于2型系統(tǒng)的,2型系統(tǒng),由上面推導(dǎo)結(jié)果可見,離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差值不僅與輸入信號的 型式和大小有關(guān), 與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān), 還與采樣周期T的 大小有關(guān).,例: 試求下圖所示系統(tǒng)在輸入信號r(t)

11、分別為,時的穩(wěn)態(tài)誤差值,. 采樣周期T=0.1s,解: 1) 開環(huán)S傳遞函數(shù),開環(huán)Z傳遞函數(shù),可證得閉環(huán)穩(wěn)定, 因開環(huán)Z傳遞函數(shù)有一個z=1的極點(diǎn), 故 系統(tǒng)為1型系統(tǒng). 從而穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)分別為:,當(dāng),時,當(dāng),時,當(dāng),時,課外習(xí)題:P.417第6.19題(1) ,(3) ,(4) ,(5),6.3.3 離散控制系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的定性分析,當(dāng)離散控制系統(tǒng)的輸入為單位階躍函數(shù)時, 其輸出的離散 函數(shù)的一般表達(dá)式可由下面方法求得:,輸出的Z變換表達(dá)式,上式中,為離散控制系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù).,為分析方便起見, 假設(shè),無重極點(diǎn), 則,上式中,為,的極點(diǎn), 而,所以,上式中,由輸入階躍信號Z變換表達(dá)式的極點(diǎn)所產(chǎn)

12、生,叫,輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),由離散控制系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù)的極,點(diǎn)所產(chǎn)生,叫輸出的瞬態(tài)響應(yīng). 研究不同極點(diǎn)分布時的瞬態(tài)響 應(yīng), 就可定性地說明系統(tǒng)的動態(tài)性能.,對于系統(tǒng)的任一極點(diǎn), 均可表為極坐標(biāo)形式, 即,從而對應(yīng)于,的瞬態(tài)響應(yīng)分量為:,則(1)正實(shí)數(shù)極點(diǎn)時,對應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)分量為,是單,調(diào)的.,為衰減序列;,為等幅序列;,為,發(fā)散序列.,(2)負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)時,對應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)分量為,是振蕩的,此時振蕩頻率可達(dá)最高,可證明為,當(dāng),為衰減振蕩序列;,為等幅振蕩序列;,為發(fā)散,振蕩序列.,(3)復(fù)數(shù)極點(diǎn)時必為共軛,瞬態(tài)響應(yīng)分量為,上式中待定系數(shù),和,也共軛, 因而瞬態(tài)響應(yīng)分量為:,由上式可見, 復(fù)數(shù)極點(diǎn)所引起

13、的瞬態(tài)響應(yīng)分量是振蕩的. 當(dāng),時, 振蕩的衰減速率取決于,的大小,時,瞬態(tài)響應(yīng)分量是等幅振蕩的. 當(dāng),越小,衰減越快,當(dāng),時,瞬態(tài)響應(yīng),分量是發(fā)散振蕩的. 且可證明振蕩頻率,6.6.4 離散控制系統(tǒng)的能控性和能觀性,對于n階線性定常離散控制系統(tǒng)的物理原型, 如能直接 寫出其離散狀態(tài)方程,則其能控性的定義為: 是否存在控制作用序列,能使系統(tǒng)由任意初始狀態(tài),開始轉(zhuǎn)移, 在第,n步上達(dá)到,? 下面直接給出能控性判據(jù).,若能控性矩陣,的秩, 則其為系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控的充分,必要條件.,對于n階線性定常離散控制系統(tǒng)的物理原型, 如能直接,寫出其離散動態(tài)方程,則其狀態(tài)完全能觀的充分必要條件是其能觀性矩陣,

14、的秩,當(dāng)線性定常離散控制系統(tǒng)的動態(tài)方程是由連續(xù)控制,系統(tǒng)的動態(tài)方程經(jīng)離散化后而得到時, 其狀態(tài)的能控性 和能觀性可由下面三個定理判定. 定理一: 如連續(xù)控制系統(tǒng)A,B,C狀態(tài)不能控(或不 能觀), 那么對任意采樣周期T離散化后的系統(tǒng)其狀態(tài)也 必不能控(或不能觀). 定理二: 如連續(xù)控制系統(tǒng)A,B,C狀態(tài)能控(或能觀) 則離散化后的系統(tǒng)其狀態(tài)能控(或能觀)的必要條件是,不是A的特征值.,定理三: 如連續(xù)控制系統(tǒng)A,B,C狀態(tài)能控(或能觀 則以T為采樣周期的離散化后的系統(tǒng)其狀態(tài)能控(或能,觀)的充分條件是: 對A的任意兩個特征值,和,不存在,非零整數(shù)k, 使,成立.,定理三對于單輸入-單輸出系統(tǒng)為

15、充分必要條件.,6.7 數(shù)字控制器的設(shè)計(jì) 6.7.1 模擬化設(shè)計(jì)方法 模擬化設(shè)計(jì)方法的前提是當(dāng)采樣頻率比系統(tǒng)的工作頻 率高得多, 以致由采樣和保持所引入的附加影響可忽略不 計(jì). 從而系統(tǒng)中的離散部分可用連續(xù)控制器代替, 整個系 統(tǒng)可用連續(xù)系統(tǒng)的各種設(shè)計(jì)方法來確定模擬控制器, 再用 各種方法將模擬控制器的S傳遞函數(shù)離散化成數(shù)字控制器 的Z傳遞函數(shù), 便于計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算. 下面僅介紹各種離散化方法中的一種, 即雙線性變換 法, 也叫圖斯汀變換法. 設(shè)經(jīng)過模擬化設(shè)計(jì)后的控制器的,S傳遞函數(shù)為:,則上式對應(yīng)的微分方程為:,將上式寫成積分形式有:,上兩式之間的關(guān)系可由下圖直觀說明,由上圖可見,是由k

16、個梯形面積疊加而成,表達(dá)式的,第二項(xiàng)即,用梯形面積近似為,因此,對上式進(jìn)行整理得:,對上式兩邊進(jìn)行Z變換并整理得離散化數(shù)字控制器的Z傳遞,函數(shù)為:, 與,相比較得,將通過上面具體例子的推導(dǎo)而得的結(jié)論推廣到一般情況,有, 當(dāng)通過模擬化設(shè)計(jì)方法得到連續(xù)控制器的S傳遞函數(shù),后, 令,即得離散化數(shù)字控制器的Z傳遞函數(shù),6.7.2 最少拍控制系統(tǒng)的Z域設(shè)計(jì)方法 所謂最少拍設(shè)計(jì), 就是要求系統(tǒng)的輸出經(jīng)過最少幾個 采樣周期后,在采樣時刻完全跟蹤系統(tǒng)的輸入, 也即要求系 統(tǒng)過渡過程盡可能快,采樣時刻的穩(wěn)態(tài)誤差為零. 下面介紹有關(guān)最少拍設(shè)計(jì)的一般方法.,設(shè)離散控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下所示:,圖中:,為數(shù)字控制器的脈

17、沖傳遞函數(shù),為包括零,階保持器在內(nèi)的被控對象的脈沖傳遞函數(shù), 系統(tǒng)的閉環(huán)脈,沖傳遞函數(shù)為:,所以,由于,是給定的, 因此,完全取決于, 而,可根據(jù)一定的輸入由最少拍設(shè)計(jì)的要求確定. 下面討論,的確定過程.,因?yàn)樽钌倥脑O(shè)計(jì)的要求是在一定型式的輸入作用下, 以盡,可能快的時間, 使穩(wěn)態(tài)誤差為零, 故可從誤差信號入手討,論,的確定過程. 系統(tǒng)誤差的Z變換表達(dá)式為:,而不同型式的輸入信號的一般Z變換表達(dá)式為,式(4)中N為正整數(shù),為不含,因子的,多項(xiàng)式即, 例如, 單位階躍輸入時,單位速度輸入時,單位加速度輸入時,最少拍設(shè)計(jì)要求穩(wěn)態(tài)誤差為零, 則有,為滿足上式, 應(yīng)使,式中, M為正整數(shù), 且,為不含

18、,因子的,多項(xiàng)式. 為使所設(shè)計(jì)的數(shù)字控制器最簡單, 系統(tǒng)過渡過程盡,可能快, 通常取, 從而可得,式(7)中,是階次為(N-1)的z的多項(xiàng)式. 當(dāng)離散控制系統(tǒng)的,閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù),的所有極點(diǎn)都在Z平面的原點(diǎn)時, 此系,統(tǒng)具有無窮大穩(wěn)定度, 且過渡過程經(jīng)過N拍后結(jié)束,最少拍數(shù)與輸入信號形式有關(guān): 階躍輸入時過渡過程至,少要一拍; 速度輸入時過渡過程至少要二拍; 加速度輸 入時過渡過程至少要三拍.,系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù),確定后, 將其代入前面,的式(2), 即得數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù),下面進(jìn)一步討論數(shù)字控制器,必須滿足的約束條件, 也,即可實(shí)現(xiàn)問題. 對象的脈沖傳遞函數(shù)可表為,設(shè),多項(xiàng)式的階次為m,多項(xiàng)式的階次為n, 則當(dāng)滿,足,時,才是可實(shí)現(xiàn)的. 即對象的極點(diǎn)數(shù)最多只能比它的,零點(diǎn)數(shù)多一個. 否則,便不可實(shí)現(xiàn),此時應(yīng)使,另外, 在最少拍設(shè)計(jì)中, 有關(guān),的綜合,完全是靠,和,之間的零極點(diǎn)相消進(jìn)行的, 但在z,平面單位圓上和單位圓外的不穩(wěn)定的零極點(diǎn)是不能相消的.,何況對于,的不穩(wěn)定零點(diǎn), 如用,的極點(diǎn)去對消, 會,引起控制器的不穩(wěn)定, 因此, 當(dāng),含有不穩(wěn)定的零極點(diǎn),時, 必須使,包括,的不穩(wěn)定零點(diǎn), 而使,包,包括,的不穩(wěn)定極點(diǎn). 它們分別應(yīng)有如下形式:,式中,和,分別表示,的不穩(wěn)定零點(diǎn)和不穩(wěn)定極點(diǎn).,是根據(jù)輸入信