1、第一章生存模型的概念及生存模型,1.1 生存模型,1.1.1 生存狀態(tài)和生存模型 一、生存狀態(tài) 從數(shù)學(xué)的角度來看，生存狀態(tài)是一個簡單的過程。這個過程具有以下的特征： 1、存在兩種狀態(tài)：生存與死亡。 2、單個生命個體可劃分為生存者和死亡者，也就是說我們可以說出他們的狀態(tài)。 3、生命個體可從“生存”狀態(tài)到“死亡”狀態(tài)，但不能相反。 4、任何個體的未來生存時間都是未知的，所以我們生存或死亡概率的探討而著手生存狀態(tài)的研究。,二、 生存模型：是一類特殊隨機變量的概率分布；是對生存過程建立的一個數(shù)學(xué)模型。 假設(shè)一臺設(shè)備從時刻t=0開始連續(xù)運行直至報廢，用T表示該設(shè)備從時刻t=0開始直至報廢或失效的時間，則

2、該設(shè)備在任意時刻t（t0）仍正常運行的概率Pr（Tt）可以記為：,（1.1.1）,上式中顯然有： （）T0 （）S（0）=1 （）S（t）是t的非增函數(shù)，且,隨機變量T為設(shè)備從t=0開始的“未來壽命”。S（t）為生存函數(shù)。 1.1.2精算生存函數(shù) 一、對于一個剛剛出生的個體（0歲）的未來生存時間可作為一個隨機變量，我們用T0表示。 定義隨機變量T0的分布函數(shù)F0（t）為 F0（t） =P（T0t）（1.1.2） F0（t）是一個正好0歲的人不晚于t歲死亡的概率。 未來生存時間超過t年的概率就是S0（t），就是生存函數(shù)或生存分布： S0（t）= P（T0t）=1- F0（t） （1.1.3）,通

3、常S0（t）可以表示為S（t）； F0（t）可以表示為 F（t） 。這是新生嬰兒的生存模型和分布函數(shù)。 二、對于一個年齡為x歲的人的的未來生存時間定義為Tx，隨機變量Tx的分布函數(shù)記為F（t:x） 。 F（t;x） =P（Txt）（1.1.4） F（t;x）是一個x歲的人不晚于x+t歲死亡的概率。 一個年齡為x歲的人的未來生存時間超過t年的概率就是或S(t;x)，就是生存函數(shù)： S（t;x）= P（Txt）=1- F（t;x） （1.1.5） S（x+t）= S（x） S（t;x） （1.1.6）,1.1.3生存函數(shù)的形式 一、參數(shù)生存模型：S（t） 實際運用中，用表格描述生存模型 二、多個伴

4、隨變量的生存模型 S（t；x1，x2，xm） 1.1.4研究方法 一、橫向研究：適用大樣本空間 1、選擇一個獨立人群 2、選取一個觀察期 二、縱向研究： 1、確定一個特殊的人群 2、對每個對象進行觀察直至死亡,1.2 T的分布函數(shù) 一、S（t）的性質(zhì) 由T決定的S(t)也稱為生存分布函數(shù)，有 S（0）=1，S（+）=0. 令F（t）=Pr（Tt）， 有F（t）=1- S（t） 上式有： F（0）= 0，F(xiàn)（ + ）=1 二、對于連續(xù)型隨機變量T，其概率密度函數(shù)：,（t0）,從而有,三、危險率（死力）,六、中位數(shù) 如果Pr（Ty）=Pr （Ty）=1/2，則稱y為隨機變量的中位數(shù) 有 S（y）=

5、F（y）= ,1.3參數(shù)生存模型舉例: 1.3.1均勻分布 均勻分布的概率密度函數(shù)為,其性質(zhì)：,F(x),a,b,x,0,a,x,b,1,f(x),1.3.2指數(shù)分布 其生存分布函數(shù)為,F(x),x,0,0,x,1,f(x),例1.4 對于指數(shù)分布，證明,1.3.3 Gompertz分布 特征： 1.3.4 Makeham分布 Weibull分布,1.4條件度量和截尾分布,1.4.1條件概率和密度 如果某人已生存到x歲，他在n年后仍生存的概率Pr，我們將條件概率用nPx表示，則：,【例1-5】 根據(jù)S（t;x）,求出所選取的x歲的人活到x+10歲，并在X+20歲前死亡的概率。,1.4.2 x的下截尾分布 以生存到x歲為條件的生存函數(shù)，既那些超過x的X服從的分布，這樣的分布稱為在x處下截尾的X的分布。,類似地，,1.4.3雙截尾分布 S(x yXz)= F (x yXz)= f(x yXz)= (x yXz)=,1,y,z,x,1.4.4中心死亡率 中心死亡率：在年齡（x，x+1】上死亡率的條件度量。,中心死亡率：在區(qū)間上危險率 的加權(quán)平均值。,一般地，nmx是在區(qū)間（x，x+n】上的平均危險率或中心死亡率。,例：若X服從指數(shù)分布，證明：mx=-lnpx,1.5 隨機變量的變換,一、 假設(shè)已知X隨機變量的分布，若知Y=g（x），且