1、Matlab 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì),中國(guó)石油大學(xué) 課件, 最小化問(wèn)題,一、 單變量最小化,1.相關(guān)函數(shù)介紹,（1） fminbnd,功能：找到固定區(qū)間內(nèi)單變量函數(shù)的最小值。,語(yǔ)法和描述： fminbnd求取固定區(qū)間內(nèi)單變量函數(shù)的最小值。 x = fminbnd(fun,x1,x2)返回區(qū)間x1，x2上fun參數(shù)描述的標(biāo)量函數(shù)的最小值x。 x = fminbnd(fun,x1,x2,options)用options參數(shù)指定的優(yōu)化參數(shù)進(jìn)行最小化。,fminbnd,x = fminbnd(fun,x1,x2,options,P1,P2,.)提供另外的參數(shù)P1,P2等,傳輸給目標(biāo)函數(shù)fun。如果沒(méi)有設(shè)置opt

2、ions選項(xiàng)，則令options=。,x,fval = fminbnd(.)返回解x處目標(biāo)函數(shù)的值。,x,fval,exitflag = fminbnd(.)返回exitflag值描述fminbnd函數(shù)的退出條件。,x,fval,exitflag,output = fminbnd(.)返回包含優(yōu)化信息的結(jié)構(gòu)輸出。,參數(shù)描述表,算法： fminbnd是一個(gè)M文件。其算法基于黃金分割法和二次插值法。 局限性： 1目標(biāo)函數(shù)必須是連續(xù)的。 2fminbnd函數(shù)可能只給出局部最優(yōu)解。 3當(dāng)問(wèn)題的解位于區(qū)間邊界上時(shí)，fminbnd函數(shù)的收斂速度常常很慢。此時(shí)，fmincon函數(shù)的計(jì)算速度更快，計(jì)算精度更高

3、。 4fminbnd函數(shù)只用于實(shí)數(shù)變量。,應(yīng)用實(shí)例,例1 在區(qū)間（0，2）上求函數(shù)sin(x)的最小值：, x = fminbnd(sin,0,2*pi) x =4.7124,例2.對(duì)邊長(zhǎng)為3m的正方形鐵板，在四個(gè)角處剪去相等的正方形以制成方形無(wú)蓋水槽，問(wèn)如何剪法使水槽的容積最大？ 模型建立：假設(shè)剪去的正方形的邊長(zhǎng)為x，則水槽的容積為,現(xiàn)在要求在區(qū)間（0，1.5）上確定一個(gè)x，使 最大化。因?yàn)閮?yōu)化工具箱中要求目標(biāo)函數(shù)最小化，所以需要對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即要求 最小化。,首先編寫M文件 opt21_3o.m: function f = myfun(x) f = -(3-2*x).2 * x; 然

4、后調(diào)用fminbnd函數(shù)(磁盤中M文件名為opt21_3.m)： x = fminbnd(opt21_3o,0,1.5),無(wú)約束非線性規(guī)劃問(wèn)題,相關(guān)函數(shù),fminunc函數(shù),fminsearch函數(shù),fminunc函數(shù) 功能： 給定初值，求多變量標(biāo)量函數(shù)的最小值。 常用于無(wú)約束非線性最優(yōu)化問(wèn)題。 數(shù)學(xué)模型： 其中，x為一向量，f(x)為一函數(shù)，返回標(biāo)量。,語(yǔ)法格式及描述,x = fminunc(fun,x0)給定初值x0，求fun函數(shù)的局部極小點(diǎn)x。x0可以是標(biāo)量、向量或矩陣。 x = fminunc(fun,x0,options)用options參數(shù)中指定的優(yōu)化參數(shù)進(jìn)行最小化。 x = fm

5、inunc(fun,x0,options,P1,P2,.)將問(wèn)題參數(shù)p1、p2等直接輸給目標(biāo)函數(shù)fun，將options參數(shù)設(shè)置為空矩陣，作為options參數(shù)的缺省值。,x,fval = fminunc(.)將解x處目標(biāo)函數(shù)的值返回到fval參數(shù)中。 x,fval,exitflag = fminunc(.)返回exitflag值，描述函數(shù)的輸出條件。 x,fval,exitflag,output = fminunc(.)返回包含優(yōu)化信息的結(jié)構(gòu)輸出。 x,fval,exitflag,output,grad = fminunc(.)將解x處fun函數(shù)的梯度值返回到grad參數(shù)中。 x,fval,

6、exitflag,output,grad,hessian = fminunc(.)將解x處目標(biāo)函數(shù)的Hessian矩陣信息返回到hessian參數(shù)中。,參數(shù)描述表,適用于大型和中型算法的參數(shù)： l Diagnostics 打印最小化函數(shù)的診斷信息。 l Display 顯示水平。選擇off，不顯示輸出；選擇iter，顯示每一步迭代過(guò)程的輸出；選擇final，顯示最終結(jié)果。打印最小化函數(shù)的診斷信息。 l GradObj 用戶定義的目標(biāo)函數(shù)的梯度。對(duì)于大型問(wèn)題此參數(shù)是必選的，對(duì)于中型問(wèn)題則是可選項(xiàng)。 l MaxFunEvals 函數(shù)評(píng)價(jià)的最大次數(shù)。 l MaxIter 最大允許迭代次數(shù)。 l To

7、lFun 函數(shù)值的終止容限。 l TolX x處的終止容限。,只用于大型算法的參數(shù)： l Hessian 用戶定義的目標(biāo)函數(shù)的Hessian矩陣。 l HessPattern 用于有限差分的Hessian矩陣的稀疏形式。若不方便求fun函數(shù)的稀疏Hessian矩陣H，可以通過(guò)用梯度的有限差分獲得的H的稀疏結(jié)構(gòu)（如非零值的位置等）來(lái)得到近似的Hessian矩陣H。若連矩陣的稀疏結(jié)構(gòu)都不知道，則可以將HessPattern設(shè)為密集矩陣，在每一次迭代過(guò)程中，都將進(jìn)行密集矩陣的有限差分近似（這是缺省設(shè)置）。這將非常麻煩，所以花一些力氣得到Hessian矩陣的稀疏結(jié)構(gòu)還是值得的。,l MaxPCGIte

8、r PCG迭代的最大次數(shù)。 l PrecondBandWidth PCG前處理的上帶寬，缺省時(shí)為零。對(duì)于有些問(wèn)題，增加帶寬可以減少迭代次數(shù)。 l TolPCG PCG迭代的終止容限。 l TypicalX 典型x值。 只用于中型算法的參數(shù)： l DerivativeCheck 對(duì)用戶提供的導(dǎo)數(shù)和有限差分求出的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行對(duì)比。 l DiffMaxChange 變量有限差分梯度的最大變化。 l DiffMinChange - 變量有限差分梯度的最小變化。 l LineSearchType 一維搜索算法的選擇。,習(xí)題4-6,%目標(biāo)函數(shù)m文件，保存為xiti4j6.m function f=myfun(

9、x); f=10*x(1)2+x(2)2-20*x(1)-4*x(2)+24;,%求解m文件 options=optimset(display,on,maxiter,10e5,tolfun,10e-5,tolx,0.01); x0=2,-1; x,fval,exigflag,hessian=fminunc(xiti4j6,x0,options),x = 1.0000 2.0007 fval = 10.0000 exigflag = 1 hessian = iterations: 6 funcCount: 21 stepsize: 1 firstorderopt: 0.0013 algorith

10、m: medium-scale: Quasi-Newton line search,例：,初始點(diǎn)1，1,程序：編輯ff2.m文件： function f=ff(x) f=8*x(1)-4*x(2)+x(1)2+3*x(2)2; 編輯command.m文件 x0=1,1;%取初始點(diǎn)： x,fval,exitflag=fminunc(ff,x0),Optimization terminated successfully: Search direction less than 2*options.TolX x = -4.0000 0.6667 fval = -17.3333 exitflag = 1

11、,注意 1對(duì)于求解平方和的問(wèn)題，fminunc函數(shù)不是最好的選擇，用lsqnonlin函數(shù)效果更佳。 2使用大型方法時(shí)，必須通過(guò)將options.GradObj設(shè)置為on來(lái)提供梯度信息，否則將給出警告信息。,局限性 1 目標(biāo)函數(shù)必須是連續(xù)的。fminunc函數(shù)有時(shí)會(huì)給出局部最優(yōu)解。 2 fminunc函數(shù)只對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，即x必須為實(shí)數(shù)，而且f(x)必須返回實(shí)數(shù)。當(dāng)x為復(fù)數(shù)時(shí)，必須將它分解為實(shí)部和虛部。,fminsearch函數(shù),功能：求解多變量無(wú)約束函數(shù)的最小值。該函數(shù)常用于無(wú)約束非線性最優(yōu)化問(wèn)題。,x = fminsearch(fun,x0) 初值為x0，求fun函數(shù)的局部極小點(diǎn)x。x0可

12、以是標(biāo)量、向量或矩陣。 x = fminsearch(fun,x0,options)用options參數(shù)指定的優(yōu)化參數(shù)進(jìn)行最小化。 x = fminsearch(fun,x0,options,P1,P2,.) 將問(wèn)題參數(shù)p1、p2等直接輸給目標(biāo)函數(shù)fun，將options參數(shù)設(shè)置為空矩陣，作為options參數(shù)的缺省值。,語(yǔ)法格式及描述：,x,fval = fminsearch(.)將x處的目標(biāo)函數(shù)值返回到fval參數(shù)中。 x,fval,exitflag = fminsearch(.)返回exitflag值，描述函數(shù)的退出條件。 x,fval,exitflag,output = fminsea

13、rch(.)返回包含優(yōu)化信息的輸出參數(shù)output。,參數(shù)： 各參數(shù)的意義同fminunc。,fminunc與 fminsearch,對(duì)于求解二次以上的問(wèn)題， fminsearch比f(wàn)minunc更有效，而且當(dāng)問(wèn)題為高度非線性時(shí)，前者更有效。 fminsearch不適合求解平方和的問(wèn)題，用lsqnolin更好。,三、約束最小化,相關(guān)函數(shù)介紹,fmincon函數(shù),功能：求多變量有約束非線性函數(shù)的最小值。,fmincon函數(shù),數(shù)學(xué)模型：,其中，x, b, beq, lb,和ub為向量， A 和 Aeq 為矩陣， c(x) 和 ceq(x)為函數(shù)，返回標(biāo)量。f(x), c(x), 和 ceq(x)可

14、以是非線性函數(shù)。,非線性不等式約束 非線性等式約束,線性不等式約束 線性等式約束,設(shè)計(jì)變量的上下界,語(yǔ)法格式及描述：,x = fmincon(fun,x0,A,b) 給定初值x0，求解fun函數(shù)的最小值x。fun函數(shù)的約束條件為A*x = b，x0可以是標(biāo)量、向量或矩陣。,x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq) 最小化fun函數(shù)，約束條件為Aeq*x = beq 和 A*x = b。若沒(méi)有不等式存在，則設(shè)置A=、b=。,x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) 定義設(shè)計(jì)變量x的下界lb和上界ub，使得總是有l(wèi)b = x = ub。若無(wú)等

15、式存在，則令A(yù)eq=、beq=。,x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) 在上面的基礎(chǔ)上，在nonlcon參數(shù)中提供非線性不等式c(x)或等式ceq(x)。 fmincon函數(shù)要求c(x) = 0且ceq(x) = 0。當(dāng)無(wú)邊界存在時(shí)，令lb=和（或）ub=。,x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) 用optiions參數(shù)指定的參數(shù)進(jìn)行最小化。,x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2,.) 將問(wèn)題參

16、數(shù)P1, P2等直接傳遞給函數(shù)fun和nonlin。若不需要這些變量，則傳遞空矩陣到A, b, Aeq, beq, lb, ub, nonlcon和 options。,x,fval = fmincon(.) 返回解x處的目標(biāo)函數(shù)值。,x,fval,exitflag = fmincon(.) 返回exitflag參數(shù)，描述函數(shù)計(jì)算的退出條件。,x,fval,exitflag,output = fmincon(.) 返回包含優(yōu)化信息的輸出參數(shù)output。,x,fval,exitflag,output,lambda = fmincon(.) 返回解x處包含拉格朗日乘子的lambda參數(shù)。 x,fv

17、al,exitflag,output,lambda,grad = fmincon(.) 返回解x處fun函數(shù)的梯度。 x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian = fmincon(.) 返回解x處fun函數(shù)的Hessian矩陣。,注意： 1 fmincon函數(shù)提供了大型優(yōu)化算法和中型優(yōu)化算法。默認(rèn)時(shí)，若在fun函數(shù)中提供了梯度（options參數(shù)的GradObj設(shè)置為on），并且只有上下界存在或只有等式約束，fmincon函數(shù)將選擇大型算法。當(dāng)既有等式約束又有梯度約束時(shí)，使用中型算法。 2 fmincon函數(shù)的中型算法使用的是序列二次規(guī)劃法。在每一步

18、迭代中求解二次規(guī)劃子問(wèn)題，并用BFGS法更新拉格朗日Hessian矩陣。 3 fmincon函數(shù)可能會(huì)給出局部最優(yōu)解，這與初值X0的選取有關(guān)。,1、寫成標(biāo)準(zhǔn)形式： s.t.,2x1+3x2 6 s.t x1+4x2 5 x1,x2 0,例1,2、先建立M-文件 fun3.m: function f=fun3(x); f=-x(1)-2*x(2)+(1/2)*x(1)2+(1/2)*x(2)2,3、再建立主程序youh2.m： x0=1;1; A=2 3 ;1 4; b=6;5; Aeq=;beq=; VLB=0;0; VUB=; x,fval=fmincon(fun3,x0,A,b,Aeq,b

19、eq,VLB,VUB),4、運(yùn)算結(jié)果為： x = 0.7647 1.0588 fval = -2.0294,1先建立M文件 fun4.m,定義目標(biāo)函數(shù): function f=fun4(x); f=exp(x(1) *(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1),x1+x2=0 s.t. 1.5+x1x2 - x1 - x2 0 -x1x2 10 0,例2,2再建立M文件mycon.m定義非線性約束： function c,ceq=mycon(x) c=1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10; ceq=;,3主程序?yàn)? x0=

20、-1;1; A=;b=; Aeq=1 1;beq=0; vlb=;vub=; x,fval=fmincon(fun4,x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,mycon),3. 運(yùn)算結(jié)果為： x = -1.2250 1.2250 fval = 1.8951,例3,1先建立M-文件fun.m定義目標(biāo)函數(shù): function f=fun(x); f=-2*x(1)-x(2),2再建立M文件mycon2.m定義非線性約束： function c,ceq=mycon2(x) c=x(1)2+x(2)2-25;x(1)2-x(2)2-7; ceq=;%沒(méi)有非線性等式約束，要設(shè)置ceq為空矩陣。,3

21、. 主程序fxx.m為: x0=3;2.5; VLB=0 0;VUB=5 10; x,fval,exitflag,output =fmincon(fun,x0,VLB,VUB,mycon2),4. 運(yùn)算結(jié)果為: x = 4.0000 3.0000 fval =-11.0000 exitflag = 1 output = iterations: 4 funcCount: 17 stepsize: 1 algorithm: 1x44 char firstorderopt: cgiterations: ,例4 matlab 工程優(yōu)化實(shí)例,蓋板問(wèn)題,設(shè)蓋板為鋁合金制成，彈性模量E=7x104MPa，泊

22、松比=0.3，許用彎曲應(yīng)力=70MPa，許用剪切應(yīng)力=45MPa。,一、問(wèn)題分析,即確定tf和h,截面慣性矩,最大剪應(yīng)力,最大彎曲應(yīng)力,翼板中的屈曲臨界穩(wěn)定應(yīng)力,最大撓度,蓋板單位長(zhǎng)度的質(zhì)量,為材料密度,二、數(shù)學(xué)模型,設(shè)計(jì)變量：,目標(biāo)函數(shù)：,單位長(zhǎng)度允許撓度,約束條件： 按照強(qiáng)度，剛度和穩(wěn)定性要求建立如下的約束條件。,三、matlab求解,function f=myfun(x); f=120*x(1)+x(2),目標(biāo)函數(shù) myfun.m,非線性不等式約束 myfuncon.m,function c,ceq=mycon2(x) c=1-0.25*x(2); 1-7/45*x(1)*x(2); 1

23、-7/45*x(1)3*x(2); 1-1/320*x(1)*x(2)2; ceq=;,注意matlab里不等式約束為0,主函數(shù) myfun_opt.m,options=optimset(MaxFunEvals,5000); %設(shè)置函數(shù)評(píng)價(jià)的最大次數(shù)5000 x0=0,0; %初始值 VLB=0;0; VUB=; x,fval,exitflag,output=fmincon(myfun,x0,VLB,VUB,myfuncon,options),x = 0.6332 25.3264 fval = 101.3056 exitflag = 1 output = iterations: 66 %迭代次

24、數(shù)66 funcCount: 514 %函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)514 stepsize: 1 %最終步長(zhǎng)1 algorithm: medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search %中型算法 firstorderopt: 1.0050e-005 %解x處梯度的范數(shù) cgiterations: % PCG迭代次數(shù)（只適用于大型規(guī)劃問(wèn)題）。,優(yōu)化結(jié)果,x =0.6667 1.3333 fval = -8.2222 exitflag =1,x =0 0 1.0000 -0.0000 fval = 0.0800 exitflag =1,% 目標(biāo)函數(shù)Minf(x)=f=ex

25、p(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1) % 不等式約束條件:-x(1)*x(2)=10 % 等式約束條件: x(1)2+x(2)=1 clear % 清工作空間 clc %清屏 x0=-1,1; %初值 f=exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1); %目標(biāo)函數(shù) options=optimset(LargeScale,off,display,iter); %不使用大模式優(yōu)化方法 x,fval,exitflag,output=fmincon(f,x0,myfun_con4,options)

26、% 設(shè)計(jì)變量無(wú)線性不等式約束,即A=,b= 設(shè)計(jì)變量無(wú)線性等式約束,即Aeq=,beq= % 設(shè)計(jì)變量無(wú)上下限約束,即lb=,ub=,function c,ceq=myfun_con4(x) c=-x(1)*x(2)-10; %不等式約束 或?qū)懗?c=-x(1)*x(2)-10; ceq=x(1)2+x(2)-1;%等式約束 或?qū)懗?ceq=x(1)2+x(2)-1 % ceq=x(1)2+x(2)-1,x = -0.7529 0.4332 fval =1.5093 exitflag =1,x = -0.7529 0.4332 fval =1.5093 exitflag =1 output =

27、 iterations: 7 funcCount: 24 stepsize: 1 algorithm: medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search firstorderopt: 8.1712e-009 cgiterations: message: 1x143 char,x =5.0000 fval =3 exitflag =4,目標(biāo)函數(shù) Maxf(x)=f=m1*x(1)+m2*x(2)2+m3*x(3) % 約束條件: % a1*x(1)+a2*x(2)+a3*x(3)=c % 上下限約束條件 x(1)=0 x(2)=0 x(3)=0 % m1=

28、10;m2=4.4;m3=2; % a1=1;a2=4;a3=5;a=32 % b1=1;b2=3;b3=2;b=29 % c1=1;c2=0.5;c=3;,clear % 清工作空間 clc %清屏 m1=10;m2=4.4;m3=2; a1=1;a2=4;a3=5;a=32; b1=1;b2=3;b3=2;b=29; c1=1;c2=0.5;c=3; A=a1,a2,a3;b1,b2,b3; b=a;b; x0=1;1;1; %初值 lb=0,0,0;%設(shè)計(jì)變量下限約束條件 options=optimset(LargeScale,off,display,iter); x,fval,exit

29、flag,output=fmincon(x)myfun9(x,m1,m2,m3),x0, A,b,lb,(x)myfun_con9(x,c1,c2,c),options) % 注意:含有帶參數(shù)目標(biāo)函數(shù),不能x,fval,exitflag,output =fmincon(myfun9(x,m1,m2,m3),x0,A,b, ,lb,myfun_con9(x,c1,c2,c),options) % 設(shè)計(jì)變量無(wú)線性不等式約束,即A=,b= % 設(shè)計(jì)變量無(wú)線性等式約束,即Aeq=,beq= % 設(shè)計(jì)變量無(wú)上限約束,ub=,目標(biāo)函數(shù)min f(x)=x(1)2+x(2)2 % 約束條件: x(1)2+x

30、(2)25 % x(1)+2*x(2)=4 % x(1)0, x(2)0 % 目標(biāo)函數(shù)Min f(x)=f=m1*x(1)2+m2*x(2)2 % 約束條件: a1*x(1)2+a2*x(2)2=0 x(2)=0 % m1=1;m2=1; % a1=1;a2=1;a=5 % b1=1;b2=2;b=4 % c1=1;c2=0.5;c=3;,clear % 清工作空間 clc %清屏 m1=1;m2=1;a1=1;a2=1;a=5;b1=1;b2=2;b=4;c1=1;c2=0.5;c=3; Aeq=b1,b2;% 設(shè)計(jì)變量線性等式約束 beq=b; % 設(shè)計(jì)變量線性等式約束 x0=1;1; % 設(shè)計(jì)變量初值 lb=0,0; % 設(shè)計(jì)變量下限約束條件 options=optimset(LargeScale,off,display,iter); x,fval,exitflag,output=fmincon(x)myfun10(x,m1,m2),x0, ,Aeq,beq,lb,(x)myfun_con10(x,a1