1、2 留數(shù),留數(shù)的定義及留數(shù)定理 如果函數(shù)f (z)在z0的鄰域D內(nèi)解析,那末根據(jù)柯西積分定理,一般就不等于零.,但是, 如果z0為 f (z)的一個孤立奇點, 則沿在z0的某個去心鄰域 0|z-z0|R 內(nèi)包含z0的任意一條正向簡單閉曲線C的積分,因此 f (z) = . +c-n(z-z0)-n+.+c-1(z-z0)-1 +c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+. 0|z-z0|R,兩端沿C逐項積分:,稱C-1為 f (z)在 z0 的留數(shù), 記作 Res f (z), z0, 即,定理一(留數(shù)定理) 設(shè)函數(shù) f (z)在區(qū)域D內(nèi)除有限個孤立奇點 z1, z2, ., zn 外處

2、處解析. C是D內(nèi)包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線, 則,證 把在C內(nèi)的孤立奇點zk(k=1,2,.,n)用互不包含的正 向簡單閉曲線Ck圍繞起來, 則根據(jù)復(fù)合閉路定理有,求函數(shù)在孤立奇點z0處的留數(shù)即求它在洛朗級數(shù)中 (z-z0)-1 項的系數(shù) c-1 即可. 但如果知道奇點的類型, 對 求留數(shù)可能更有利.,如果 z0是 f (z)的可去奇點, 則 Resf(z),z0=0 . 如果 z0 是本性奇點, 則只好將其按洛朗級數(shù)展開. 如果 z0 是 極點, 則有一些對求 c-1有用的規(guī)則.,注意定理中的條件要滿足。例如,不能應(yīng)用留數(shù)定理。,2. 留數(shù)的計算規(guī)則 規(guī)則1 如果z0為f (z)的一級

3、極點, 則,規(guī)則2 如果z0為f(z)的m級極點, 則,事實上, 由于f (z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+.,(z-z0)m f (z)=c-m+c-m+1(z-z0)+.+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+.,令兩端 zz0, 右端的極限是(m-1)!c-1, 兩端除以(m-1)! 就是Resf (z), z0, 即得規(guī)則2, 當(dāng) m=1時就是規(guī)則1。,即得 規(guī)則3。,由規(guī)則1, 得,我們也可以用規(guī)則3來求留數(shù):,這比用規(guī)則1要簡單些.,例 5,解：,所以 原式=,例 4,3.在無窮遠點的留數(shù) 設(shè)函數(shù) f

4、 (z)在圓環(huán)域 R|z|內(nèi)解析, C為圓環(huán)域內(nèi)繞原點的任何一條簡單閉曲線, 則積分,的值與C無關(guān), 稱其為f (z)在點的留數(shù), 記作,f (z)在圓環(huán)域 R|z|內(nèi)解析：,理解為圓環(huán)域內(nèi)繞 的任何一條簡單閉曲線。,這就是說, f (z)在點的留數(shù)等于它在點的去心鄰域 R|z|+內(nèi)洛朗展開式中 z-1 的系數(shù)變號.,定理二 如果 f (z)在擴充復(fù)平面內(nèi)只有有限個孤立奇點, 那末 f (z)在所有各奇點(包括點)的留數(shù)總和必等于零.,證：除點外, 設(shè)f (z)的有限個奇點為zk(k=1,2,.,n). 且C為一條繞原點的并將zk(k=1,2,.,n)包含在它內(nèi)部的正向簡單閉曲線, 則根據(jù)留數(shù)定理與在無窮遠點的留數(shù)定義, 有,所以規(guī)則4 成立.,