1、工程電磁場,電信教研室 苑東偉,第三章 靜態(tài)電磁場II：恒定電流的電場和磁場,31 恒定電場的基本方程與場的特性,1恒定電場的基本方程無散無旋場,在恒定電流場中，我們將討論Jc和E，而不再是D和E。,電流場中的任意閉合面內(nèi)不可能有自由電荷增減的變化，即 。對于導電媒質(zhì)中的恒定電流場，由任意閉合面凈流出的電流應為零；或者說，傳導電流連續(xù)。 （在無源區(qū)）,導電媒質(zhì)中（電源區(qū)域外）恒定電場具有無散無旋場。,E = , 2 = 0,拉普拉斯方程,引入標量電位函數(shù) (r)作為輔助場量,例3-1：設一扇形導電片，如圖所示，給定兩端面電位差為U0。試求導電片內(nèi)電流場分布及其兩端面間的電阻。,圖 扇形導電片中

2、的恒定電流場,解：采用圓柱坐標系，設待求場量為電位，其邊值問題為：,故導電片內(nèi)的電位 ：,電流面密度分布為：,厚度為t的導電片兩端面的電阻為：,2電功率,在恒定電流場中，沿電流方向截取一段元電流管，如圖所示。該元電流管中的電流密度J可認為是均勻的（E，F(xiàn)不變），其兩端面分別為兩個等位面。在電場力作用下，dt時間內(nèi)有dq電荷自元電流管的左端面移至右端面，則電場力作功為：,dW =Fdl=Edl dq= dU dq,圖 電功率的推導,外電源提供的電功率為：,故恒定電流場的電功率體密度：,p = EJ （E、J方向一致，焦耳楞次定律的微分形式 P=UI）,3不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件,類同于靜電場的

3、討論,D2n-D1n= ,E1t = E2t,（1）兩種不同導電媒質(zhì)分界面上的邊界條件：,J1n= J2n,en(J2J1)=0,E1t= E2t,en(E2E1)=0,對于線性且各向同性的兩種導電媒質(zhì)，有如下類比于靜電場的折射定律。,（2）良導體與不良導體分界面上的邊界條件：,當電流從良導體（比如：銅）流向不良導體（比如：土壤）時，如圖所示，設 1 2，即,只要1 90，就有2 0。這表明，當電流由良導體側流向不良導體側時，電流線總是垂直于不良導體(20)。,不計良導體內(nèi)部的電壓降（電場強度僅有E2n），把良導體表面可近似看作為等位面。,接地器：鋼的電導率為 5 106 s/m，土壤為10-

4、2 s/m，所以， 1=89。59 ， 2=8 0,（3）導體與理想介質(zhì)分界面上的邊界條件：,（4）兩種有損電介質(zhì)分界面上的邊界條件（高壓大容量設備：電纜、電容器）：,介質(zhì)內(nèi)有漏電流存在（如：被擊穿），介質(zhì)既有電容特性，又有電導特性。,E1t= E2t,只有當兩種媒質(zhì)參數(shù)滿足 條件時，=0,例3-2：設一平板電容器由兩層非理想介質(zhì)串聯(lián)構成，如圖所示。其介電常數(shù)和電導率分別為1，1和2，2，厚度分別為d1和d2，外施恒定電壓U0，忽略邊緣效應。試求：(1)兩層非理想介質(zhì)中的電場強度；(2)單位體積中的電場能量密度及功率損耗密度；(3)兩層介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度。,解：本例中既有靜電場特性（

5、we，），也有恒定電流場特性（p, ）。 (1) 忽略邊緣效應，可以認為電容器中電流線與兩介質(zhì)交界面相垂直，用邊界條件,1靜電比擬 將均勻導電媒質(zhì)中的恒定電場與無源區(qū)中均勻介質(zhì)內(nèi)的靜電場相比較,32 恒定電場與靜電場的比擬.接地系統(tǒng),對應的物理量,只要兩者對應的邊界條件相同，則恒定電流場中電位、電場強度E和電流密度Jc的分布將分別與靜電場中的電位、電場強度E和電位移矢量D的分布相一致（靜電比擬法 ）。,兩種場在分界面上的Jc 線與對應的D線折射情況相同,可以利用電容的計算方法計算電導或電阻，反之亦然。,靜電比擬：由以上的相似原理，可以把一種場的計算 和實驗結果，推廣應用于另一種場。,電流場模擬

6、的方法,例3-3：內(nèi)外導體半徑分別為a和b的同軸電纜，如圖所示導體間外施電壓U0。試求其因絕緣介質(zhì)不完善而引起的電纜內(nèi)的泄漏電流密度及其單位長絕緣電阻。,（1）解法一：恒定電場分析法 電場強度E和泄漏電流密度Jc均只有徑向分量，作一半徑為的同軸單位圓柱面，且令l長泄漏電流為I，則,（2）解法二：靜電比擬法 在同軸電纜分析中,已求得電場強度為,2接地電阻 接地技術是保障人身和設備的一項電氣安全措施，為電力系統(tǒng)正常工作提供了零電位基準參考點。計算接地體的接地電阻是恒定電場計算的一項重要工作。,給定時刻工頻交流電力系統(tǒng)場分布的分析方法與結論全同于靜態(tài)場。,接地器：在工程上，為了接地，將金屬導體埋于地

7、內(nèi)，將系統(tǒng)中 需要接地的部分與該導體相連接，這種埋入地內(nèi)的導體系統(tǒng)稱為 接地器。,如三相高壓變壓器中性點工作接地。,接地電阻：電流在流經(jīng)大地時遇到的電阻，包括接地器本身的電阻、 接地導線的電阻、接地器和大地之間的接觸電阻，以及兩接地器之 間土壤的電阻。,下面計算圖示埋于大地的半球形接地體的接地電阻。由鏡象法得：,當ra時,由良導體與不良導體邊界面條件，良導體球內(nèi)部場強與外部土壤場強相比很小，所以我們可以把導體球看作等勢體，當ra時，有,對于深埋入地下的導體球形接地器，相當于上圖(b)中的情形，2i i 。,3跨步電壓 電力系統(tǒng)接地體一旦有電流通過，由于接地電阻的存在，在地面上存在電位分布。此時

8、，人體跨步的兩足之間的電壓稱為跨步電壓。當跨步電壓超過允許值時，將威脅人的生命。,設U0為人體安全的臨界跨步電壓（通常小于5070V），可以確定危險區(qū)半徑r0為,33 恒定磁場的基本方程與場的特性,1恒定磁場的基本方程,安培環(huán)路定律：,磁通連續(xù)性原理：,媒質(zhì)的構成方程為：,有旋無散性,類比的方法類比靜電場,2真空中的安培環(huán)路定律.恒定磁場的有旋性,源于電流的磁場具有旋渦場的特性，表明了磁力線與電流源之間相互交鏈的基本特征。,B是場中所有勵磁電流共同產(chǎn)生的效應，而B的環(huán)量僅與閉合曲線所包圍的場源相關（與I4無關）。 ,3磁通連續(xù)性原理.恒定磁場的無散性,磁力線是無頭無尾的閉合曲線，即磁通連續(xù)性原

9、理。沒有孤立磁荷，磁力線總是自身閉合，且與電流線相互交鏈。,4畢奧薩伐爾定律,自由空間中任意點的磁感應強度等于該點矢量函數(shù)A的旋度。若已知Jc(r)，可以先計算矢量磁位A，然后再通過計算A旋度計算磁感應強度B。,在恒定電流電場中Jc和E都是無散無旋的。,體電流Jc：,面電流K：,線電流I：,34 自由空間中的磁場,自由空間中的恒定磁場問題，分析研究的首要任務即： 在給定源量的作用下求其基本場量磁感應強度 的空間分布。,1 場分布：基于場量 的分析,思路一：由畢奧薩伐爾定律，利用矢量積分直接計算。 類比靜電場，先離散化整體電流分布為典型的元電流 分布的組合，求出相應于元電流場中元磁感應強度的解答

10、， 然后應用疊加定理，合成所有元電流的貢獻，求得場分布。,思路二：利用真空中的安培環(huán)路定律，對具有對稱性場分布 特征的磁場問題進行直接計算。 如果能夠找到一條閉合曲線l，在該曲線上，各點的 磁感應強度的數(shù)值相等，且其方向與積分元方向有不變的 夾角關系。,例3-4：計算真空中載流I 的有限長直導線所引起的磁感應強度。,解：首先，計算圖(a)所示場點P處的B；然后，推廣至圖(b)所示任意場點P1、P2和P3 處的B的計算。 (1)場點 P處的磁感應強度 采用圓柱坐標系，取元電流Idz，在點P處產(chǎn)生的dB為,(2)場點P1、P2 和P3 處的磁感應強度,(3)推論：對于P1點，若L，則B為,例3-7

11、：計算真空中半徑為a，載流為I的無限長直圓柱導體內(nèi)部和外部的磁場。,解：應用安培環(huán)路定律，得 (1)導體內(nèi)部( a),(2)導體外部( a),2 場分布：基于矢量磁位 的分析,A與Jc，K，I的方向一致,解：取圓柱坐標系，由于電流沿z軸方向，故矢量磁位只有z方向分量，即,當L 時，可表示為,例3-9：計算空氣中長度為2L的長直載流導線在中截面上P點的矢量磁位和磁感應強度。,討論：當L時A并不存在。其原因在于，在我們給出的標量電位和矢量磁位的計算公式中，均假定電荷和電流分布在有限區(qū)域，此時，它們的參考點選擇在無限遠處。本例不滿足這個條件，電流延伸到了無限遠，這是，它們的參考點應選擇在有限區(qū)域內(nèi)的

12、任意一點。（對比靜電場中電軸的參考點問題）。討論如下，此時線電流的矢量磁位公式修改為：,式中C為常矢量，取決于矢量磁位參考點的選擇。圖（3-21）,在有限區(qū)域內(nèi)任取一點為磁位參考點，設選與線電流I相距0的Q點為矢量磁位參考點，應有,例3-10：圖示無限長直平行輸電線，半徑為a、線間距離為2b且遠大于a。試計算的矢量磁位和穿過輸電線間單位長的磁通量。,解：本例為平行平面磁場，故只需計算xoy平面中任一場點P處的矢量磁位即可。設矢量磁位參考點位Q，則P點的矢量磁位A為,為計算穿過輸電線間單位長的磁通量，將矢量磁位參考點選在原點上，則01 = 02，得,借助矢量磁位求磁通,磁耦極子,電子繞核運動，形

13、成小的電流環(huán)形電流，從而對外產(chǎn)生磁場。,例3-12：求圖示半徑為a的載流小圓環(huán)（磁耦極子）在遠處（ra）的矢量磁位和磁感應強度。,解：采用圖示球坐標系。定義 為磁耦極子的磁偶極矩（類比于電偶極子中電偶極矩的定義p=qd），簡稱磁矩。,m p； 0 1/0。這說明磁矩在遠區(qū)產(chǎn)生的磁力線與電矩在遠區(qū)產(chǎn)生的電力線分布形態(tài)相同。其中一個基本差別就是：磁力線自身閉合。,矢量磁位的雙旋度方程,引入庫侖規(guī)范：,矢量形式的泊松方程,在無源區(qū)中，Jc = 0，則上式成為矢量拉普拉斯方程,Jc與A同向,4磁場線,與電力線類似，磁力線上任一點的B與該點上的切向一致。磁力線也可以形象地描繪磁場的分布。磁力線方程為,B

14、dl=0,設Jc =J ez，則A = Aez。由B=A，得,代入磁力線方程，得,dA = 0,A=常量,垂直于A,（1）平行平面磁場：,在平行平面磁場中，A的等值線即為磁力線（B線）且等A線的差值為相鄰兩條磁力線間隔的單位長磁通量，即（圖3-27）,（2）軸對稱磁場：,在圓柱坐標系下，B線滿足的微分方程為,設Jc=Je，則A=Ae。由B=A，得,A=常量,在軸對稱磁場中，A的等值線即為磁力線（B線）。,35 媒質(zhì)中的磁場,1媒質(zhì)磁化,圖 磁化媒質(zhì)建立的磁場,磁化強度矢量：,束縛電流密度：媒質(zhì)被磁化后產(chǎn)生的凈磁矩，也可看作是在媒質(zhì)中出現(xiàn)等效的宏觀束縛電流，即所謂的磁化電流的結果。（類比于靜電場

15、中的束縛電荷，即極化電荷）,磁化體電流密度Jm=M,磁化面電流密度Km= Men,2磁場強度,媒質(zhì)在外磁場作用下發(fā)生的磁化效應可歸結為磁化電流。因此，總的磁場是在真空中電流源 Jc 和磁化電流 Jm 共同建立的合成磁場 。,定義磁場強度 H,積分形式：一般形式的安培環(huán)路定律,磁場強度的引入簡化了媒質(zhì)中磁場的分析計算，,磁導率,實驗表明，媒質(zhì)的磁化強度與磁場強度成正比，即 M=mH,m 稱為磁化率，可正可負，所以M也是可正可負的。,B=0 (H + M) = 0 (1+m)H, =(1+m)0 = r 0,B=H,稱為媒質(zhì)的磁導率，單位是亨/米 (H/m)，r為相對磁導率。根據(jù)媒質(zhì)的磁化性能，可

16、分為以下三種類型：,(1)抗磁性媒質(zhì)：m 0，當不存在外磁場時，這類媒質(zhì)的原子中合成磁矩并不為零，僅因熱運動之故，其宏觀的合成磁矩為零。在外磁場作用下媒質(zhì)中合成磁場增強。如鋁、錫、鎂、鎢 、鉑和鈀等屬順磁性媒質(zhì)。 (3)鐵磁性與亞鐵磁性媒質(zhì)：m 0，這類媒質(zhì)在外磁場作用下會發(fā)生顯著的磁化現(xiàn)象。在外磁場作用下產(chǎn)生顯著的磁性，如鐵、鎳、鈷等屬這類鐵磁性媒質(zhì)(r 1)，這種鐵磁性媒質(zhì)的磁性能還存在非線性、磁滯與剩磁現(xiàn)象。另一類稱為亞鐵磁性媒質(zhì)，如鐵氧體等，其磁化現(xiàn)象稍遜于鐵磁媒質(zhì)，但剩磁小，且電導率很低。,鐵磁媒質(zhì)因其高磁導率的特性，在電磁裝置中得到了極其廣泛的應用，以滿足工程上高磁場能量密度和高磁

17、場強度的應用需求。 鐵氧體因其電導率很低，高頻電磁波可以進入其中，且具有如高頻下渦流損耗小等一些可貴的特性，從而在高頻和微波器件中獲得廣泛的應用。,媒質(zhì)磁化性能也有均勻與非均勻，線性與非線性，各向同性與各向異性等特點。,對于均勻媒質(zhì) Jm=M = (mH) = m H =0 （無源區(qū)）,可見，在均勻媒質(zhì)中束縛電流密度為零，而Km不為零。即在宏觀體積表面表現(xiàn)出宏觀的磁化束縛電流，但是在體積內(nèi)部則沒有磁化體電流密度。,3不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件,（1）媒質(zhì)分界面上的邊界條件：,B=0，有B1n= B2n 或 en ( B2 - B1) =0,在兩種媒質(zhì)分界面上的磁感應強度的法向分量是連續(xù)的。,H

18、=Jc設分界面上存在面電流K=Kes(該面電流密度的單位矢量es=enet，且與矩形回路l符合右手定則),H2t-H1t =K 或 en( H2 - H1) = K,通常分界面上不存在宏觀的自由面電流分布，即K = 0，（但是有束縛磁化電流面密度），則有,H1t=H2t 或 en( H2 - H1) = 0,當兩種媒質(zhì)線性且各向同性，恒定磁場的折射規(guī)律為,（2）鐵磁媒質(zhì)的邊界條件：,設1 2，由恒定磁場折射定律，必有20，即 B1n= B2n； H1t=H2t 0,B=H，當，B保持連續(xù)，則H0,這表明在鐵磁媒質(zhì)與空氣分界面的空氣側，磁力線幾乎垂直于鐵磁表面。（類似于良導體與不良導體或者介質(zhì)的

19、邊界條件）,（3）矢量磁位表達的邊界條件：,A1= A2,4場分布：基于場量H的分析；邊值問題；鏡象法,例315：在圖示含氣隙的環(huán)形鐵芯上緊密繞制N匝線圈，環(huán)形鐵芯的磁導率為 0，圓環(huán)的平均半徑為R，線圈半徑為a R，氣隙寬度為d R。當線圈載流為I時，試求鐵芯及氣隙中的磁感應強度和磁場強度。,圖 含氣隙的環(huán)形鐵芯線圈,（1）基于場量H的分析,一般形式的安培環(huán)路定律,解：設忽略漏磁通，鐵芯中B和H的方向沿環(huán)形的圓周方向，由于R a，鐵芯內(nèi)磁場分布均勻。由于氣隙寬度d R，由邊界條件（此時僅法向分量），有,0H =H,H d+H(2R-d)=NI,圖 含氣隙的環(huán)形鐵芯線圈,（3）鏡像法：無限大平

20、面媒質(zhì)中無限長載流導線的鏡像法,例3-18：設一根載流為I的無限長直導線平行放置圖示在半無限大鐵磁媒質(zhì)()上方，導線與鐵磁媒質(zhì)平面間的距離為h。試求在空氣和鐵磁媒質(zhì)中的磁場。,解：本例中空氣為媒質(zhì)1=0，鐵磁媒質(zhì)2。由鏡象法知： 在上半空間，磁場可由均勻媒質(zhì)0中的線電流I和I=I、I0計算如下。在上半空間任一點P處的磁場強度為,圖 線電流無限大鐵磁平面系統(tǒng)的磁場,在邊界上(y = 0)，任一點P處的磁場強度為,上述結果再次表明磁力線垂直于鐵磁媒質(zhì)的表面。,在下半空間，磁場可由I0計算。顯然，因I0，故鐵磁媒質(zhì)中磁場強度H0。但是，磁通連續(xù)，所以鐵磁媒質(zhì)中B絕不可能略而不計（磁力線不能終止，沒有

21、磁荷），其值是,36 電感,與電容（C、）、電阻（R、）參數(shù)類似，電感（L、）是反映線圈磁場能量的集總參數(shù)，必須通過磁場的分析來計算。描述一個電路或兩個相鄰電路間因電流變化而感生電動勢效應的物理參數(shù)，分別是自感系數(shù)L和互感系數(shù)M，它們通稱為電感。,1自感,載有電流I的線圈，產(chǎn)生磁通，其各匝交鏈的磁通的總和稱為自感磁鏈。顯然，若N匝的線圈，各匝磁通均等于，則其磁鏈N。在線性媒質(zhì)中，線圈的自感定義為自感磁鏈與其激磁電流I之比,取決于線圈幾何形狀、尺寸以及媒質(zhì)磁導率。,圖 內(nèi)、外磁鏈區(qū)分的示意圖 （P159，圖3-36）,當載流導體截面較大時，通常又將自感磁鏈分為內(nèi)磁鏈i和外磁鏈o兩部分之和。,自感

22、L為內(nèi)自感Li與外自感Lo之和,例3-19：計算圖示同軸電纜的自感（設其外殼厚度可予忽略）。,圖 同軸電纜的自感,解：為計算自感，設電纜中電流為I。 (1)外磁鏈o,(2)內(nèi)磁鏈i：內(nèi)導體中磁感應強度為,匝比為,內(nèi)磁鏈,內(nèi)自感 Li與a無關，僅與導體長度l有關,同軸電纜的單位長自感為,例3-20 計算兩線傳輸線的自感。,解：x 處的磁場強度,其外磁鏈,外自感為,通常，因有D R，可進一步簡化為：,考慮內(nèi)自感，則兩線傳輸線的自感為：,2互感 在線性媒質(zhì)中，線圈h對線圈k的互感定義為線圈k上交鏈的互磁鏈kh（由 Ih 產(chǎn)生）與線圈h的電流 Ih 之比，即,線圈k對線圈h的互感定義為,我們可證明 M

23、kh = Mhk,兩個線圈的互感取決于他們的形狀、尺寸、相互位置和媒質(zhì)的磁導率。,例3-21：計算圖示兩對輸電線間的單位長互感。,圖 兩對傳輸線間的互感 P162，圖3-39,解：設導線之間的距離DAC、DAD、DBC和DBD均遠大于導線半徑。設在導線AB（回路1）通有電流I，在導線CD（回路2）交鏈的互磁通穿過面積CD和面積CD，即,單位長互感為,3. 線形回路的電感,外磁鏈 ：,外自感為 ：,兩個線型回路間的互感：,電流I2 在P處產(chǎn)生的矢量磁位為,與回路1相交鏈的互感磁鏈為,于是,同理可得,可見,諾以曼公式,37 磁場能量,1載流回路系統(tǒng)中的磁場能量,單個載流回路的磁場能量：,在線性媒質(zhì)中，單個載流回路的磁場能量為：,n個載流回路的磁場能量為,在線性媒質(zhì)中，以k號載流回路為例，其磁鏈 k 可表示為自感磁鏈和互感磁鏈之和，,各載流系統(tǒng)內(nèi)的互有能,各載