1、,第五章 空間力系,2,靜力學,工程中常常存在著很多各力的作用線不在同一平面內(nèi)的力系，即空間力系，空間力系是最一般的力系。 (a)圖為空間匯交力系；(b)圖為空間任意力系； (b)圖中去了風力為空間平行力系。,第五章 空間力系,51 空間匯交力系 52 空間力偶系 53 力對點的矩與力對軸的矩 54 空間一般力系向一點的簡化 55 空間一般力系簡化結(jié)果的討論 56 空間一般力系的平衡方程及應用 57 平行力系的中心與物體的重心 習題課,4,靜力學,5-1 空間匯交力系,5,靜力學,2、一次投影法（直接投影法） 由圖可知：,3、二次投影法（間接投影法） 當力與各軸正向夾角不易 確定時，可先將 F

2、 投影到xy 面上，然后再投影到x、y軸上， 即,6,靜力學,4、力沿坐標軸分解： 若以 表示力沿直角 坐標軸的正交分量，則：,而：,所以：,7,靜力學,1、幾何法：與平面匯交力系的合成方法相同，也可用力多 邊形方法求合力。 即：合力等于各分力的矢量和,二、空間匯交力系的合成：,8,靜力學,3、合力投影定理： 空間力系的合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。,9,靜力學,三、空間匯交力系的平衡：,幾何法平衡充要條件為該力系的力多邊形封閉。,空間匯交力系平衡的充要條件是：力系的合力為零，即：,10,靜力學,5-2 空間力偶系,力偶的轉(zhuǎn)向為右手螺旋定則。 從力偶矢末端看去，逆時針

3、轉(zhuǎn)動為正。 空間力偶是一個自由矢量。,11,證 作II/，cd / ab 作一對平衡力R, R (在E點,且 使-R=R) 由反向平行力合成得： F1與R合成得F2，作用在d點 F1與R合成得F2，作用在c點 且R-F1=F2 ，R- F1= F2 在I內(nèi)的力偶（F1，F(xiàn)1）等效變成II內(nèi)的（ F2， F2 ）,靜力學,二、空間力偶的等效定理 作用在同一剛體的兩平行平面的兩個力偶，若它們的轉(zhuǎn)向相同，力偶矩的大小相等，則兩個力偶等效。,12,靜力學,由此可得出，空間力偶矩是自由矢量，它有三個要素： 力偶矩的大小= 力偶矩的方向與力偶作用面法線方向相同 轉(zhuǎn)向遵循右手螺旋規(guī)則。,三、空間力偶系的合成

4、與平衡,由于空間力偶系是自由矢量，只要方向不變，可移至任意一點，故可使其滑至匯交于某點，由于是矢量，它的合成符合矢量運算法則。 合力偶矩 = 分力偶矩的矢量和,13,靜力學,顯然空間力偶系的平衡條件是：,14,靜力學,在平面中：力對點的矩是代數(shù)量。 在空間中：力對點的矩是矢量。 例 汽車反鏡的球鉸鏈,5-3 力對點的矩與力對軸的矩,一、力對點的矩的矢量表示,如果r 表示A點的矢徑，則：,15,靜力學,即：力對點的矩等于矩心到該力 作用點的矢徑與該力的矢量積。,兩矢量夾角為,O,16,靜力學,定義： 它是代數(shù)量，方向規(guī)定 + ,二、力對軸的矩,結(jié)論：力對/它的軸的矩為零。即力F與軸共面時，力對軸

5、之矩為零。,證,17,靜力學,即：,三、力對點的矩與力對通過該點的軸之矩的關(guān)系,證,通過O點作任一軸Z，則：,由幾何關(guān)系：,所以：,18,靜力學,定理：力對點的矩矢在通過該點的任意軸上的投影等于這力對于該軸的矩。這就是力對點之矩與對通過該點軸之矩的關(guān)系。,又由于,所以力對點O的矩為：,19,靜力學,把研究平面一般力系的簡化方法拿來研究空間一般力系的簡化問題，但須把平面坐標系擴充為空間坐標系。,5-4 空間一般力系向一點簡化,設(shè)作用在剛體上有 空間一般力系,向O點簡化（O點任選）,20,靜力學,根據(jù)力線平移定理，將各力平行搬到O點得到一空間匯交力系： 和附加力偶系 注意 分別是各力對O點的矩。

6、由于空間力偶是自由矢量，總可匯交于O點。,21,靜力學,合成 得主矢 即（主矢 過簡化中心O， 且與O點的選擇無關(guān)） 合成 得主矩 即： （主矩 與簡化中心O有關(guān)）,22,靜力學,若取簡化中心O點為坐標原點，則： 主矢大小 主矢方向 根據(jù)力對點之矩與力對軸之矩的關(guān)系: 則主矩大小為： 主矩方向：,23,靜力學,空間一般力系向一點簡化得一主矢和主矩，下面針對主矢、主矩的不同情況分別加以討論。,5-5 空間一般力系簡化結(jié)果的討論,1、若 , 則該力系平衡（下節(jié)專門討論）。,2、若 則力系可合成一個合力偶，其矩等于原力系對于簡化中心的主矩MO。此時主矩與簡化中心的位置無關(guān)。,3、若 則力系可合成為一

7、個合力，主矢 等于原力系合力矢 ，合力 通過簡化中心O點。 （此時與簡化中心有關(guān)，換個簡化中心，主矩不為零）,24,靜力學,4、若 此時分兩種情況討論。即： ,25,靜力學,若 時，為力螺旋的情形（新概念，又移動又轉(zhuǎn)動） 例 擰螺絲 炮彈出膛時炮彈螺線,R不平行也不垂直M0，最一般的成任意角 在此種情況下，首先把MO 分解為M/和M 將M/和M 分別按、處理。,26,靜力學,M 使主矢R搬家，搬家的矩離：,所以在O點處形成一個力螺旋。 因為M/ 是自由矢量， 可將M/搬到O處,M/不變，,27,靜力學,注意 力系簡化中的不變量（不隨簡化中心改變）有：R， M/ 簡化中心為O時：為M 當簡化中心

8、為O時，為M 但M/總是不變的（它是 原力系中的力偶與簡化 中心無關(guān)）,28,靜力學,空間力系向O點簡化后得主矢R和主矩MO , 若MOR，可進一步合成為一個作用在新簡化中心O點的合力R 。,空間力系的合力矩定理：,29,靜力學,一、空間任意力系的平衡充要條件是：,所以空間任意力系的平衡方程為： 還有四矩式，五矩式和六矩式， 同時各有一定限制條件。,5-6 空間一般力系的平衡方程及應用,30,靜力學,空間匯交力系的平衡方程為： 因為各力線都匯交于一點，各軸都通過 該點，故各力矩方程都成為了恒等式。,空間平行力系的平衡方程，設(shè)各力線都 / z 軸。 因為 均成為了恒等式。,31,靜力學,1、球形

9、鉸鏈 2、向心軸承，蝶鉸鏈 3、止推軸承,二、空間約束,觀察物體在空間的六種（沿三軸移動和繞三軸轉(zhuǎn)動）可能的運動中，有哪幾種運動被約束所阻礙，有阻礙就有約束反力。阻礙移動為反力，阻礙轉(zhuǎn)動為反力偶。例,32,靜力學,4、帶有銷子的夾板 5、空間固定端,33,靜力學,球形鉸鏈,34,靜力學,滾珠（柱）軸承,35,靜力學,活頁鉸,36,靜力學,滑動軸承,37,靜力學,止推軸承,38,靜力學,帶有銷子的夾板,39,靜力學,空間固定端,40,靜力學,空間平行力系，當它有合力時，合力的作用點C 就是此空間平行力系的中心。而物體重心問題可以看成是空間平行力系中心的一個特例。,5-7 平行力系的中心 物體的重

10、心,一、空間平行力系的中心、物體的重心,1、平行力系的中心,由合力矩定理：,41,靜力學,42,靜力學,如果把物體的重力都看成為平行力系，則求重心問題就是求平行力系的中心問題。 由合力矩定理：,物體分割的越多，每一小部分體積越小，求得的重心位置就越準確。在極限情況下，(n- )，常用積分法求物體的重心位置。,二、重心坐標公式：,43,靜力學,設(shè)i表示第i個小部分每單位體積的重量，Vi第i個小體積，則 代入上式并取極限，可得： 式中 ，上式為重心C 坐標的精確公式。,對于均質(zhì)物體， =恒量，上式成為：,同理對于薄平面和細長桿均可寫出相應的公式。,44,靜力學,解：由于對稱關(guān)系，該圓弧重心必在Ox

11、軸，即yC=0。取微段,下面用積分法求物體的重心實例：,例 求半徑為R，頂角為2 的均質(zhì)圓弧的重心。,O,45,靜力學,根據(jù)平行力系中心位置與各平行力系的方向無關(guān)的性質(zhì)，將力線轉(zhuǎn)成與y軸平行，再應用合力矩定理對x 軸取矩得：,綜合上述得重心坐標公式為：,若以Pi= mig , P=Mg 代入上式可得質(zhì)心公式,46,靜力學,同理：可寫出均質(zhì)體，均質(zhì)板，均質(zhì)桿的形心（幾何中心）坐標分別為：,47,靜力學,三、重心的求法： 組合法,解：,48,靜力學,簡單圖形的面積及重心坐標公式可由表中查出。,實驗法： 懸掛法,稱重法,49,靜力學,例5-4 已知: RC=100mm, RD=50mm,Px=466

12、N, Py=352, Pz=1400N 求：平衡時(勻速轉(zhuǎn)動)力Q=？和軸承A , B的約束反力？,解：選研究對象 作受力圖 選坐標列方程 最好使每一個方程有一個未知數(shù)，方便求解。,50,靜力學,51,靜力學,52,靜力學,方法(二) :將空間力系投影到三個坐標平面內(nèi)，轉(zhuǎn)化為平面力系平衡問題來求解，請同學們課后自己練習求解。,53,靜力學,一、概念及內(nèi)容： 1、空間力偶及空間力對點之矩是矢量， 2、空間力對軸之矩和平面力偶、平面力對點之矩是代數(shù)量。 3、空間力系合力投影定理： 4、空間力系的合力矩定理： 5、空間力對點之矩與對軸之矩的關(guān)系：,第五章 空間力系習題課,54,靜力學,二、基本方程

13、1、空間力系的平衡方程,空間一般力系,空間匯交力系,空間力偶系,空間x軸力系,空間xoy 面的力系,四矩式、 五矩式和六矩式的附加條件均 為使方程式獨立。,55,靜力學,2、空間力系的幾個問題： x , y, z (三個取矩軸和三個投影軸可以不重合)可以任選的 六個軸。 取矩方程不能少于三個（MO是矢量） 空間力系獨立方程六個（空間物體六個自由度） 平面三個自由度 空間力系中也包括摩擦問題。,56,靜力學,2、解題技巧： 用取矩軸代替投影軸，解題常常方便 投影軸盡量選在與未知力，力矩軸選在與未知力平行或相交 一般從整體局部的研究方法。 摩擦力F = N f ，方向與運動趨勢方向相反。,3、注意

14、問題： 力偶在投影軸中不出現(xiàn)（即在投影方程中不出現(xiàn)） 空間力偶是矢量，平面力偶是代數(shù)量。 求物體重心問題常用組合法。 對于均質(zhì)物體，重心、中心、形心為同一點。,57,靜力學,例1 已知:P=2000N, C點在Oxy平面內(nèi) 求：力P對三個坐標軸的矩,解：選研究對象；畫受力圖；選坐標列方程。,58,靜力學,59,靜力學,例2 已知：AB=3m,AE=AF=4m, Q=20kN; 求T2=？, T3=？N2 =？,由C點：,解：分別研究C點和B點作受力圖,60,靜力學,由B點：,61,靜力學,此題訓練： 力偶不出現(xiàn)在投影式中 力偶在力矩方程中出現(xiàn)是把力偶當成矢量后，類似力在投影式中投影 力爭一個方程求一個支反力 了解空間支座反力,例3