1、1，張量，指針符號和張量運算使用張量指示器符號及其運算來推導(dǎo)簡潔。這里有介紹性指標(biāo)符號和求和規(guī)則。張量具有多個分量，具有多個方向的物理量。例如，彈性力學(xué)的應(yīng)力張量和變形張量在三維空間中都有9個分量。張量可以用指針符號簡潔地表達(dá)。指針符號由一個名稱和一系列指針組成。例如，應(yīng)力張量可以記錄為、2、張量。其中是應(yīng)力張量的名稱，所有九個零部件使用相同的名稱。右下角的I和J稱為指針，指針的數(shù)量等于張量的順序，即張量具有的方向的數(shù)量。后面的括號表示指示器的值范圍，即張量所在空間的維數(shù)，每個三維空間方向有三個茄子分量，每個指示器可以有1、2或3值。在表達(dá)式中，I和J徐璐獨立取1，2，3，就可以得到9茄子的數(shù)

2、組，所以用一個符號來整體表示應(yīng)力張量的9茄子分量。笛卡爾正交坐標(biāo)系通常使用右下角的“下方指示器”。三維空間指標(biāo)是拉丁字母；二維空間指標(biāo)用希臘字母表示。根據(jù)牙齒協(xié)議，牙齒書對拉丁字母或希臘字母標(biāo)記的指標(biāo)不再在括號內(nèi)包含價值范圍。3，張量，指標(biāo)分為啞巴指標(biāo)和自由指標(biāo)兩個茄子類別。表達(dá)式或公式的一個項目中成對出現(xiàn)的指示符(即重復(fù)兩次的指示符)稱為啞巴指示符(簡稱啞巴)。啞巴根據(jù)愛因斯坦的求和規(guī)則定義了在該指標(biāo)的值范圍內(nèi)聚集牙齒項目的算法。例如，兩個向量和點積的分量表達(dá)式如下：，5、張量，每個自由指示器都表示方向。使用值1或2或3時，表示x或y或z方向上的分量。如果I分別取1，2，3，則給出三個茄子分

3、量方程。如果表達(dá)式顯示兩個或多個具有不同名稱的自由指示器，則存在兩個或多個方向，兩個自由指示器的應(yīng)力是二次張量。啞巴通過遍歷合計，變成沒有方向性的數(shù)字。力和位移的兩個矢量通過點積得到球一樣，不再是方向性的。(圣雄甘地，方向名言) (威廉莎士比亞，溫斯頓，方向)，6，張量，啞巴僅指遍歷合計的運算，用什么字母表示并不重要，可以任意配對。如果指標(biāo)仍然是啞巴，值范圍相同，自由指標(biāo)只是意味著在值范圍內(nèi)必須交替取值，因此也可以改變顯示。，9，張量，啞巴誤寫為自由指標(biāo)是初學(xué)者慣常的錯誤。請讀者在下車儀式上確定不等號的原因。、2自由指標(biāo)的影響是完整性的，同時出現(xiàn)在同一方程式或表示式中的所有項目上。因此，自由指

4、標(biāo)必須改變?nèi)Q。也就是說，必須將公式或表達(dá)式中出現(xiàn)的所有同名自由指標(biāo)更改為相同的新字符。否則，未重命名的項目無法與重命名的項目同時找到相同方向的元件。(3)啞巴的影響是局部的，只能出現(xiàn)在方程式或表達(dá)式的一個項目中，因此啞巴只需成對地局部改名即可。在表達(dá)式中，徐璐其他項目內(nèi)的同名啞巴沒有必然的關(guān)聯(lián)，可以換成其他名字。因為根據(jù)合計規(guī)則，啞巴的有效范圍僅限于本項目。10，張量和指示器符號也適用于微分表達(dá)式。例如，三維空間中心線元素長度與其構(gòu)件之間的關(guān)系，多元函數(shù)總體微分可以用兩對(或幾對)的不同啞巴來表示。例如，雙合，這里共有9個合。11，張量，不遵守“成對指示”的特殊情況需要特殊處理。例如，要計算

5、同一項目上多次出現(xiàn)的指針的總和，通常需要添加求和符號?；蛘撸诓槐匾闹笜?biāo)下加上橫向，就會發(fā)現(xiàn)不必要的指標(biāo)數(shù)不勝數(shù)。例如，如果不能避免自由指標(biāo)在同一項目內(nèi)出現(xiàn)兩次，則通常需要遍歷該指標(biāo)，或水平添加其中一個指標(biāo)，以顯示數(shù)不清的內(nèi)容。(大衛(wèi)亞設(shè)，Northern Exposure(美國電視電視劇)，自由名言)例如，方程式是自由指標(biāo)，12，在公式推導(dǎo)過程中，必須根據(jù)所述問題的原始運算規(guī)律，合理選擇指標(biāo)的名稱，并及時更換。13，張量，練習(xí)：根據(jù)求和規(guī)則，將以下表達(dá)式創(chuàng)建為展開格式，14，張量，練習(xí)：根據(jù)求和規(guī)則，將以下表達(dá)式創(chuàng)建為展開格式，并驗證應(yīng)力張量和應(yīng)變張量的對稱性。是，15，以張量二次張量為例

6、，其中指針的順序不能隨機改變。縮小和父張量的指示器符號上出現(xiàn)一對虛擬，該對指針失去方向，張量縮小，成為子二次新張量。例如，第三次張量的第一個和第三個指標(biāo)是啞巴的話，那么，17，不同的方向具有不同的物理意義。例如，應(yīng)力張量表示截面法向的方向，表示截面中應(yīng)力的分解方向。內(nèi)積和乘積運算的和稱為內(nèi)積。在指針符號中，內(nèi)部乘積分別為、18、指針符號是，的兩個二次張量的點積等于矩陣乘法。，線性代數(shù)或空間解析幾何點積是張量運算中收縮和運算的特殊情況：19，如果旋轉(zhuǎn)張量等于原張量的負(fù)值，則是反稱張量。加分解任意二階張量可以通過對稱張量和不對稱張量A的和唯一分解。、以上兩種表達(dá)式的運算也稱為對稱化和反對稱化。20

7、，張量，球面張量和斯庫張量的二次對稱張量都可以分解為球面張量和斯庫張量的和。球面張量，這里張量的三個茄子主要對角分量的平均值。單位張量。三個主對角線組件全部為1，其他組件全部為0。squeue tenser、squeue tenser是原始張量和球面張量的區(qū)別，三個茄子主要對角分量之和為0。21，張量，3例如，矢量也就是說，記住，矢量的乘積不能服從交換法，不能隨機改變矢量各矢量的排列順序。(David aser，Northern Exposure(美國電視電視劇)、向量、向量、向量、向量、向量、向量)、張量微積分和空間字段中定義的張量字段可以表示為一個張量函數(shù)。牙齒函數(shù)對坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)反映了張量場的空間變化規(guī)律。在笛卡爾直角坐標(biāo)系