1、5數(shù)據(jù)的數(shù)字特征 平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差 4.2標(biāo)準(zhǔn)差,1.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差,出現(xiàn)次數(shù),大小順序,中,間,中間兩個(gè)數(shù),原數(shù)據(jù),平均數(shù),計(jì)算公式,最大值,最大值,最小值,最小值,2.標(biāo)準(zhǔn)差與方差 (1)方差的求法:標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2叫做方差. s2=_,其中,xn是樣本數(shù)據(jù), n是樣本容量, 是樣本平均數(shù). (2)標(biāo)準(zhǔn)差的求法:標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距 離,一般用s表示. s=_.,1.判一判(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”) (1)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定大于這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù). () (2)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).() (3)極差不受

2、極端值的影響.(),【解析】(1)錯(cuò)誤.平均數(shù)不可能大于每一個(gè)數(shù)據(jù). (2)正確.從平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)的含義知正確. (3)錯(cuò)誤.極差反映了一組數(shù)據(jù)變化的最大幅度,它受一組數(shù)據(jù)中的極端值的影響. 答案:(1)(2)(3),2.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫(xiě)在橫線上) (1)某學(xué)校高一年級(jí)男生人數(shù)占該年級(jí)學(xué)生人數(shù)的40%.在一次考試中,男、女生平均分?jǐn)?shù)分別是75,80,則這次考試該年級(jí)學(xué)生平均分?jǐn)?shù)為_(kāi). (2)某射手在一次訓(xùn)練中射擊的成績(jī)分別為9.4,9.4,9.4,9.6, 9.7,則該射手成績(jī)的方差是_. (3)一個(gè)樣本按從小到大的順序排列為10,12,13,x,17,19,21, 24,其中中

3、位數(shù)為16,則x=_.,【解析】(1)平均分?jǐn)?shù)= 75+ 80=78. 答案:78 (2) = (9.4+9.4+9.4+9.6+9.7)=9.5, 所以s2= (9.4-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.6-9.5)2 +(9.7-9.5)2=0.016. 答案:0.016 (3)由題意知 =16,即x=15. 答案:15,【要點(diǎn)探究】 知識(shí)點(diǎn)1 對(duì)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差的理解 極差、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的比較 (1)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、極差都是唯一的，眾數(shù)可能不唯一.,(2)求中位數(shù)時(shí)，應(yīng)將數(shù)據(jù)按大小順序排列，當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，中間的那個(gè)數(shù)據(jù)就是中位

4、數(shù)；當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，居于中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)才是中位數(shù).可見(jiàn)，中位數(shù)不一定是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)值. (3)眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，而不是數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù).一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以有多個(gè).,(4)平均數(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)里的每個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)系，任何一個(gè)數(shù)據(jù)的變動(dòng)都會(huì)引起平均數(shù)的變動(dòng)；眾數(shù)的大小只與這組數(shù)據(jù)的部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān)；中位數(shù)也只與少數(shù)的數(shù)據(jù)有關(guān)；極差只與這組數(shù)據(jù)的最大值和最小值有關(guān).,【知識(shí)拓展】極差、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的作用 (1)極差的大小可以反映該組數(shù)據(jù)分散的程度；眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，但它忽視了數(shù)據(jù)信息中的其他數(shù)據(jù)；中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，它不受極端值的影響；平均數(shù)

5、反映了一組數(shù)據(jù)的平均水平，易受極端值的影響. (2)實(shí)際問(wèn)題中求得的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)應(yīng)帶上單位.,【微思考】 (1)在極差、眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)中哪些是一定出現(xiàn)在已知數(shù)據(jù)的數(shù)？哪些不一定出現(xiàn)在已知數(shù)據(jù)中？ 提示:眾數(shù)一定出現(xiàn)在已知數(shù)據(jù)中；極差、平均數(shù)、中位數(shù)不一定出現(xiàn)在已知數(shù)據(jù)中.,(2)在極差、眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)中哪些反映了該組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)？哪些反映了數(shù)據(jù)的分散程度？ 提示:眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)都反映了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì);極差反映了數(shù)據(jù)的分散程度.,【即時(shí)練】 1.若某校高一年級(jí)8個(gè)班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是 ( ) A91.5和91.5B91.5

6、和92 C91和91.5D92和92,2.對(duì)甲、乙二人的學(xué)習(xí)成績(jī)進(jìn)行抽樣分析,各抽4門功課,得到的觀測(cè)值如下: 問(wèn):甲、乙誰(shuí)的平均成績(jī)較好?,【解析】1.選A.中位數(shù)為 (91+92)=91.5; 平均數(shù)為 (87+89+90+91+92+93+94+96)=91.5. 2. (65+82+80+85)=78, (75+65+70+90)=75,知識(shí)點(diǎn)2 對(duì)方差與標(biāo)準(zhǔn)差的理解 標(biāo)準(zhǔn)差、方差的作用 (1)標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞著平均數(shù)波動(dòng)的大小，標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小 (2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差為0時(shí)，表明樣本數(shù)據(jù)全相等，數(shù)據(jù)沒(méi)有波動(dòng)幅度和離散

7、性,【微思考】 (1)在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般采用方差還是標(biāo)準(zhǔn)差？ 提示:方差與原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能放大了偏差的程度，所以在實(shí)際問(wèn)題中一般采用標(biāo)準(zhǔn)差.,(2)在計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，若各樣本數(shù)據(jù)加上或減去一個(gè)常數(shù)，標(biāo) 準(zhǔn)差的值會(huì)變化嗎？ 提示:不變，因?yàn)槠骄岛兔恳粋€(gè)樣本數(shù)據(jù)都加上或減去了同 一個(gè)常數(shù)，所以(xi )2的值不變，所以標(biāo)準(zhǔn)差不變.,【即時(shí)練】 1.樣本中共有5個(gè)個(gè)體，其值分別為a,0,1,2,3.若該樣本的平均值為1，則樣本方差為( ) 2.已知一個(gè)樣本為x,1，y,5，其中x，y是方程組 的解，則這個(gè)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差是( ),【解析】1.選D.由題可知樣本的平均值為1， 所以 1

8、，解得a1， 所以樣本的方差為 (11)2(01)2(11)2 (21)2(31)22. 2.選D.因?yàn)閤y2，x2y210， 所以 (x1y5) (xy)62， s2 (x2)2(12)2(y2)2(52)2 (x2y2)4(xy)18 205， 所以,【題型示范】 類型一 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的計(jì)算及應(yīng)用 【典例1】 (1)為了普及環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，某大學(xué)隨機(jī)抽取30名 學(xué)生參加環(huán)保知識(shí)測(cè)試，得分(十分制)如圖所示，假設(shè)所得分 值的中位數(shù)為me，眾數(shù)為m0，平均值為 ，則( ),Amem0 Bmem0 Cmem0 Dm0me,(2)據(jù)報(bào)道,某公司的33名職工的月工資(以元為單位)如下

9、:,求該公司職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù). 假設(shè)副董事長(zhǎng)的工資從5000元提升到20000元,董事長(zhǎng)的工資從5500元提升到30000元,那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是什么?(精確到元) 你認(rèn)為哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量更能反映這個(gè)公司員工的工資水平?結(jié)合此問(wèn)題談一談你的看法.,【解題探究】1.題(1)圖中最高的直條對(duì)應(yīng)的得分是哪個(gè)數(shù)字特征? 2.題(2)中3000位于表格中央,3000是不是中位數(shù)? 【探究提示】 1.是眾數(shù).最高的直條對(duì)應(yīng)的頻數(shù)是10,其得分為5分,5分是眾數(shù). 2.3000不是中位數(shù),應(yīng)該將33個(gè)數(shù)從小到大排列,中間的數(shù)是中位數(shù).中位數(shù)是1500.,【自主解答】(1)選D.由圖可知

10、,30名學(xué)生的得分情況依次為: 2個(gè)人得3分,3個(gè)人得4分,10個(gè)人得5分,6個(gè)人得6分,3個(gè)人得7 分,2個(gè)人得8分,2個(gè)人得9分,2個(gè)人得10分.中位數(shù)為第15,16個(gè) 數(shù)(分別為5,6)的平均數(shù),即me=5.5,5出現(xiàn)的次數(shù)最多,故m0=5, 于是得m0me .,(2)平均數(shù)是 1 5005912 091(元)， 中位數(shù)是1 500元，眾數(shù)是1 500元. 平均數(shù)是 1 5001 7883 288(元) 中位數(shù)是1 500元，眾數(shù)是1 500元,在這個(gè)問(wèn)題中，中位數(shù)或眾數(shù)均能反映該公司員工的工資水平，因?yàn)楣局猩贁?shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大，這樣導(dǎo)致平均數(shù)偏差較大，所以平均數(shù)不

11、能反映這個(gè)公司員工的工資水平,【方法技巧】 1.眾數(shù)的求法 在樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)即為眾數(shù). 2.中位數(shù)的求法 (1)把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列. (2)找出排列后位于中間位置的數(shù)據(jù)，即為中位數(shù). 若中間位置有兩個(gè)數(shù)據(jù)，則求出這兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù).,3.平均數(shù)的計(jì)算公式 一組樣本數(shù)據(jù)為x1,x2，,xn，則樣本平均數(shù) (x1+x2+ +xn).簡(jiǎn)記為,【變式訓(xùn)練】高一(3)班有男同學(xué)27名，女同學(xué)21名，在一次語(yǔ)文測(cè)驗(yàn)中，男同學(xué)的平均分是82分，中位數(shù)是75分，女同學(xué)的平均分是80分，中位數(shù)是80分 (1)求這次測(cè)驗(yàn)全班平均分(精確到0.01). (2)估計(jì)全班成績(jī)?cè)?0分以下

12、(含80分)的同學(xué)至少有多少人. (3)分析男同學(xué)的平均分與中位數(shù)相差較大的主要原因是什么,【解析】 (1)利用平均數(shù)計(jì)算公式 (82278021) 81.13(分) (2)因?yàn)槟型瑢W(xué)的中位數(shù)是75，所以至少有14人得分不超過(guò)75分 又因?yàn)榕瑢W(xué)的中位數(shù)是80，所以至少有11人得分不超過(guò)80分 所以全班至少有25人成績(jī)?cè)?0分以下(含80分),(3)男同學(xué)的平均分與中位數(shù)的差別較大，說(shuō)明男同學(xué)中兩極分化現(xiàn)象嚴(yán)重，得分高的和得分低的相差較大.,【誤區(qū)警示】刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量有平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等，它們作為一組數(shù)據(jù)的代表各有優(yōu)缺點(diǎn)，也各有各的用處，從不同的角度出發(fā)，不同的人會(huì)選取不同的

13、統(tǒng)計(jì)量來(lái)表達(dá)同一組數(shù)據(jù)的信息，不同的統(tǒng)計(jì)量會(huì)側(cè)重突出某一方面的信息.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】下表是某班40名學(xué)生參加“環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽”的得分統(tǒng)計(jì)表： 請(qǐng)參照這個(gè)表解答下列問(wèn)題: (1)用含x,y的式子表示該班參加“環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽”的班平均分f. (2)若該班這次競(jìng)賽的平均分為2.5分,求x,y的值.,【解題指南】第(2)問(wèn)根據(jù)頻數(shù)之和為40及平均數(shù)為2.5構(gòu)造方程組求解. 【解析】(1)f= (2)依題意,有,類型二 方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算及應(yīng)用 【典例2】 (1)某校甲、乙兩個(gè)班級(jí)各有5名編號(hào)為1，2，3，4，5的學(xué)生進(jìn)行投籃練習(xí)，每人投10次，投中的次數(shù)如下表： 則以上兩組數(shù)據(jù)的方差分別為_(kāi),標(biāo)準(zhǔn)差分別為_(kāi)

14、 _.,(2)甲、乙兩支籃球隊(duì)在聯(lián)賽中,各進(jìn)行10場(chǎng)比賽,得分如下: 甲隊(duì):100,97,99,96,102,103,104,101,101,100. 乙隊(duì):97,97,99,95,102,100,104,104,103,102. 請(qǐng)計(jì)算甲、乙兩隊(duì)的方差與標(biāo)準(zhǔn)差,并判斷哪支球隊(duì)發(fā)揮更為穩(wěn)定?,【解題探究】 1.題(1)中,求方差和標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)鍵是什么? 2.題(2)中,方差(標(biāo)準(zhǔn)差)與數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度的關(guān)系是什么?,【探究提示】 1.求方差和標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)鍵是先求平均數(shù),再求方差,最后由方差求得標(biāo)準(zhǔn)差. 2.方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是用來(lái)描述一組數(shù)據(jù)波動(dòng)情況的特征數(shù),方差(標(biāo)準(zhǔn)差)越大,波動(dòng)越大,穩(wěn)定性越差;方

15、差(標(biāo)準(zhǔn)差)越小,波動(dòng)越小,穩(wěn)定性越好.,【自主解答】 答案：0.4，1.2,(2) (10097100)100.3， (9797102)100.3， 則s甲2 (100100.3)2(100100.3)25.61， s乙2 (97100.3)2(102100.3)29.21， 所以甲隊(duì)的標(biāo)準(zhǔn)差為s甲 2.37，乙隊(duì)的標(biāo)準(zhǔn)差為 s乙 3.03. 由此可以判斷甲隊(duì)的得分方差小，標(biāo)準(zhǔn)差也相應(yīng)較小，因此 甲隊(duì)在聯(lián)賽中發(fā)揮更為穩(wěn)定,【方法技巧】 1.方差的計(jì)算方法 (1)一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,xn的樣本方差的計(jì)算公式是,(2)用定義的公式計(jì)算方差的一般步驟： 先求出樣本平均數(shù) 再計(jì)算一組差：xi-

16、(i=1,2,n); 計(jì)算中差的平方，得到一組新的數(shù)據(jù)： (x1- )2,(x2- )2，,(xn- )2; 計(jì)算中這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即為所求的方差s2，即 s2=,2.標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法 (1)一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,xn的標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式是 (2)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的一般步驟： 先求出樣本方差； 再求出樣本方差的算術(shù)平方根，即得樣本標(biāo)準(zhǔn)差.,【變式訓(xùn)練】假定以下數(shù)據(jù)是甲、乙兩個(gè)供貨商的交貨天數(shù) 甲：10,9,10,10,11,11,9,11,10,10； 乙：8,10,14,7,10,11,10,8,15,12. 估計(jì)兩個(gè)供貨商的交貨情況，并問(wèn)哪個(gè)供貨商的交貨時(shí)間短一些？哪個(gè)供貨商的交貨時(shí)間較具有

17、一致性與可靠性？ 【解題指南】直接利用平均數(shù)、方差的公式計(jì)算，然后通過(guò)比較平均數(shù)、方差的大小得出結(jié)論,【解析】 (10+9+10+10+11+11+9+11+10+10)=10.1(天), (10-10.1)2+(9-10.1)2+(10-10.1)2+(10-10.1)2+ (11-10.1)2+(11-10.1)2+(9-10.1)2+(11-10.1)2+(10-10.1)2 +(10-10.1)2=0.49; (8+10+14+7+10+11+10+8+15+12)=10.5(天),(8-10.5)2+(10-10.5)2+(14-10.5)2+(7-10.5)2+ (10-10.5)

18、2+(11-10.5)2+(10-10.5)2+(8-10.5)2+(15-10.5)2 +(12-10.5)2=6.05. 從交貨天數(shù)的平均數(shù)來(lái)看,甲供貨商的供貨天數(shù)短一些;從方差來(lái)看,甲供貨商的交貨天數(shù)較穩(wěn)定,因此甲供貨商的交貨時(shí)間較具有一致性與可靠性.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2013遼寧高考)為了考察某校各班參加課外書(shū)法小組的人數(shù)，從全校隨機(jī)抽取5個(gè)班級(jí)，把每個(gè)班級(jí)參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù).已知樣本平均數(shù)為7，樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)互不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為_(kāi).,【解題指南】由樣本方差得出五個(gè)數(shù)的平方和,再分析各數(shù)據(jù). 【解析】設(shè)5個(gè)班級(jí)參加的人數(shù)分別為x1,x2,x3,x4,x5,

19、 則有 (x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2=4, 即(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2=20, 根據(jù)題意知,五個(gè)整數(shù)的平方和為20,則必有 0+1+1+9+9=20.,由|x-7|=3,可得x=10或4, 由|x-7|=1可得x=8或6, 故參加的人數(shù)分別為4,6,7,8,10. 故最大值為10. 答案:10,【拓展類型】統(tǒng)計(jì)圖表與數(shù)字特征的綜合應(yīng)用 【備選例題】樣本數(shù)為9的四組數(shù)據(jù),他們的平均數(shù)都是5,條形圖如圖所示,則標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是() A.第一組B.第二組C.第三組D.第四組,【解題指南】可以從頻

20、率條形圖分別得到四組樣本數(shù)據(jù),計(jì)算 出標(biāo)準(zhǔn)差. 【解析】選D.第一組中,樣本數(shù)據(jù)都為5,數(shù)據(jù)沒(méi)有波動(dòng)幅度,標(biāo) 準(zhǔn)差為0;第二組中,樣本數(shù)據(jù)為4,4,4,5,5,5,6,6,6,標(biāo)準(zhǔn)差為 第三組中,樣本數(shù)據(jù)為3,3,4,4,5,6,6,7,7,標(biāo)準(zhǔn)差為 第四組中,樣本數(shù)據(jù)為2,2,2,2,5,8,8,8,8,標(biāo)準(zhǔn)差為 故標(biāo) 準(zhǔn)差最大的一組是第四組.,【方法技巧】處理統(tǒng)計(jì)圖表與數(shù)字的綜合應(yīng)用問(wèn)題的方法 解決此類問(wèn)題,一般有兩種方法: (1)由圖形得到對(duì)應(yīng)的樣本數(shù)據(jù),計(jì)算出平均數(shù)、方差(標(biāo)準(zhǔn)差). (2)從圖形直觀分析樣本數(shù)據(jù)的分布情況,大致判斷平均數(shù)的范圍,并利用數(shù)據(jù)的波動(dòng)性大小反映方差(標(biāo)準(zhǔn)差)的大小.此點(diǎn)可稱為方差(標(biāo)準(zhǔn)差)的幾何意義.,【變式訓(xùn)練】(2012安徽高考)甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次,