1、2020/8/5,1,作業(yè),P88 習(xí)題4.1 5(1). 7. 8(2)(4). 9(1). 10(3). P122 綜合題: 4. 5.,復(fù)習(xí)：P8088 預(yù)習(xí)：P8995,2020/8/5,2,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài),局部性態(tài) 未定型極限 函數(shù)的局部近似,整體性態(tài) 在某個區(qū)間上 函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值 函數(shù)的凸性、漸近性、圖形,2020/8/5,3,微分中值定理，包括： 羅爾定理、拉格朗中值定理、 柯西中值定理、泰勒中值定理,微分中值定理是微分學(xué)的理論基礎(chǔ)。是 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的理論依據(jù)。,微分中值定理的共同特點是： 在一定的條件下，可以斷定在所給區(qū)間 內(nèi)至少有一點，使所研究的函數(shù)在

2、該點具有 某種微分性質(zhì)。,2020/8/5,4,第八講 微分中值定理,一、費爾馬 ( Fermat )定理,二、羅爾 ( Rolle )定理,三、拉格朗日(Lagrange )定理,四、柯西 (Cauchy )定理,2020/8/5,5,一、費爾馬 ( Fermat )定理,（一）極值的定義：,2020/8/5,6,極值的研究是微積分產(chǎn)生的主要動力之一,2020/8/5,7,（二）費爾馬定理 (極值必要條件),2020/8/5,8,2020/8/5,9,證,2020/8/5,10,2020/8/5,11,微分中值定理的引入,2020/8/5,12,2020/8/5,13,2020/8/5,14

3、,2020/8/5,15,二、羅爾 ( Rolle )定理,2020/8/5,16,怎樣證明羅爾定理 ？,先利用形象思維 去找出一個C點來！,想到利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù) 的最大最小值定理！,2020/8/5,17,羅爾定理的證明：,2020/8/5,18,2020/8/5,19,三、拉格朗日(Lagrange )定理,2020/8/5,20,怎樣證明拉格朗日定理 ？,拉格朗日定理若添加條件:,則收縮為羅爾定理；,羅爾定理若放棄條件:,則推廣為拉格朗日定理。,知識擴(kuò)張所遵循的規(guī)律之一就是將欲探 索的新問題轉(zhuǎn)化為已掌握的老問題。,因此想到利用羅爾定理！,2020/8/5,21,滿足羅爾定理條件,弦線

4、與f(x)在端點處相等,設(shè),函數(shù),2020/8/5,22,拉格朗日定理的證明：,構(gòu)造輔助函數(shù),拉格朗日中值公式,2020/8/5,23,拉格朗日公式各種形式,有限增量公式,2020/8/5,24,2020/8/5,25,推論1：,證,2020/8/5,26,推論2：,推論3：,推論4：,2020/8/5,27,四、柯西 (Cauchy )定理,2020/8/5,28,柯西中值定理的證明：,構(gòu)造輔助函數(shù),2020/8/5,29,費爾馬定理,羅爾定理,拉格朗日定理,柯西定理,2020/8/5,30,零點問題,以下證明恰好有三個根,該方程實根個數(shù) 就是兩條曲線,2020/8/5,31,首先證明至少有

5、三個根,計算表明,根據(jù)介值定理,因此方程至少有三個根,然后證明方程最多有三個根,用反證法,2020/8/5,32,根據(jù)洛爾定理,矛盾！,綜上所述，方程恰好有三個實根,35,2020/8/5,33,直觀觀察可以啟發(fā)思路,所以最小值一定在區(qū)間內(nèi)部達(dá)到,2020/8/5,34,證,2020/8/5,35,證明思路直觀分析,例3,2020/8/5,36,證,根據(jù)連續(xù)函數(shù)的最大最小值定理,2020/8/5,37,證,2020/8/5,38,44,2020/8/5,39,證,2020/8/5,40,2020/8/5,41,證,2020/8/5,42,2020/8/5,43,2020/8/5,44,證,2020/8/5,