1、2020/8/5,第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法,2020/8/5,第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法,3.1 緒言 3.2 典型輸入信號 3.3 控制系統(tǒng)的時域性能指標(biāo) 3.4 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)定判據(jù) 3.5 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 3.6 控制系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng),2020/8/5,3.1 緒言,分析控制系統(tǒng) 第一步 建立模型 第二步 分析控制性能，,分析方法包括 時域分析法 頻域分析法 根軌跡法,一. 控制系統(tǒng)的分析方法,2020/8/5,二. 線性系統(tǒng)的時域分析法內(nèi)容,2020/8/5,3.2 典型輸入信號 Typical test signals,分析控制系統(tǒng)的第一步是建立模型，數(shù)學(xué)模型一旦建立，第

2、二步 分析控制性能，分析有多種方法，主要有時域分析法，頻域分析法，根軌跡法等。每種方法，各有千秋。均有他們的適用范圍和對象。本章先討論時域法。 實際上，控制系統(tǒng)的輸入信號常常是不知的，而是隨機的。很難用解析的方法表示。只有在一些特殊的情況下是預(yù)先知道的，可以用解析的方法或者曲線表示。例如，切削機床的自動控制的例子。 在分析和設(shè)計控制系統(tǒng)時，對各種控制系統(tǒng)性能得有評判、比較的依據(jù)。這個依據(jù)也許可以通過對這些系統(tǒng)加上各種輸入信號，比較它們對特定的輸入信號的響應(yīng)來建立。 許多設(shè)計準(zhǔn)則就建立在這些信號的基礎(chǔ)上，或者建立在系統(tǒng)對初始條件變化（無任何試驗信號）的基礎(chǔ)上，因為系統(tǒng)對典型試驗信號的響應(yīng)特性，與

3、系統(tǒng)對實際輸入信號的響應(yīng)特性之間，存在著一定的關(guān)系；所以采用試驗信號即典型輸入信號來評價系統(tǒng)性能是合理的。,2020/8/5,一、階躍函數(shù),通常，給控制系統(tǒng)施加一定的輸入信號，考察系統(tǒng)的輸出響應(yīng)來分析系統(tǒng)性能。,系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定，輸出響應(yīng)除與數(shù)學(xué)模型有關(guān)外，還與系統(tǒng)的初始狀態(tài)和輸入信號的形式有關(guān)。可將輸入信號規(guī)定為統(tǒng)一的典型形式。常用的典型輸入信號有階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)、拋物線函數(shù)、脈沖函數(shù)和正弦函數(shù)。,定義：式中A 為常量。A=1的階躍函數(shù)稱為單位階躍函數(shù)，記為1（t）如式3-1所示。,2020/8/5,單位階躍函數(shù)的拉氏變換為：,通常運用階躍函數(shù)作為典型輸入作用信號，這

4、樣可在一個統(tǒng)一的基礎(chǔ)上對各種控制系統(tǒng)的特性進行比較和研究。本章討論系統(tǒng)對非周期信號（Step、Ramp、對正弦試驗信號相應(yīng)，將在第五章頻域分析法，第六章校正方法中討論）,2020/8/5,定義：,式中A為常量。當(dāng)A=1時,稱為單位斜坡函數(shù),記為t1（t），如圖3-2所示。,它等于對單位階躍函數(shù)對時間的積分。單位斜坡函數(shù)的拉氏變換為,二、斜坡函數(shù),R（S）=Lr(t)=1/s2 (3-4),如果控制系統(tǒng)的輸入量是隨時間逐步變化的函數(shù)，則斜坡時間函數(shù)是比較合適的。,2020/8/5,其定義為：,式中A為常量。 當(dāng)A=1時，稱為單位拋物線函數(shù)，記為t2/21（t）如圖3-3所示。 它等于單位斜坡函數(shù)

5、對時間的積分。其拉氏變換為：,三、拋物線函數(shù),2020/8/5,定義為 ：,脈沖函數(shù)如圖3-4所示,令0,則稱為單位脈沖函數(shù),記為（t）,見圖3-4（b）,有,單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為：,單位脈沖函數(shù)是單位階躍函數(shù)對時間的導(dǎo)數(shù),四、脈沖函數(shù),2020/8/5,定義為：,r（t） A Sint,式中,A為振幅； 為角頻率。 用頻率不同的正弦函數(shù)作為輸入信號，可求得系統(tǒng)此時的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，在頻率法中廣泛使用。,五、正弦函數(shù),2020/8/5,如系統(tǒng)的輸入為r（t），輸出為c（t），則用以下常微分方程描述其運動行為 :,3.3 控制系統(tǒng)的時域性能指標(biāo),由:,可得,式中 SiG（S）的極點； SkR（S）

6、的極點。,一. 線性定常系統(tǒng)的時域響應(yīng),2020/8/5,如果Si和Sk都是互異極點，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為,式中Ak，Bk常數(shù)。 由于 si只是 G（s）的極點，所以式（3-14）等號右側(cè)第一項與輸入無關(guān)，即為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)中的暫態(tài)響應(yīng)分量。sk只與外部輸入r（t）有關(guān)，所以式（3-14）等號右側(cè)第二項即為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)中的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量。 可從暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)中求取系統(tǒng)的性能指標(biāo)。,2020/8/5,二. 動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程,1.瞬時響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng) Transient Response 如果計算過程無誤，最后一行應(yīng)只有一個數(shù)，且等于an；可用一個正整數(shù)去乘或除勞斯表中的任意一行，不改變判斷結(jié)

7、果。,2020/8/5,例題1,例1：系統(tǒng)特征方程為S42S33S24S5=0，試用勞斯判據(jù)判別,因第一列出現(xiàn)負(fù)數(shù)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。且第一列系數(shù)符號改變兩次，故特征方程有兩個正實部根。,如題意只要求判別穩(wěn)定性,則計算至出現(xiàn)符號改變即可結(jié)束。否則應(yīng)計算到n+1行。,解 根據(jù)特征方程系數(shù)計算勞斯表,2020/8/5,例題2,例2：某系統(tǒng)特征方程為S43S33S22S2=O，試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解 根據(jù)特征方程系數(shù)計算勞斯表,因第一列出現(xiàn)負(fù)數(shù)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。且第一列系數(shù)符號改變兩次，故特征方程有兩個正實部根。,2020/8/5,2. 兩種特殊情況,特殊情況一：勞斯表的某一行中，出現(xiàn)第一

8、列為零，而其各項不全為零。,這時可用一個足夠小的正數(shù) 代替為零的項，然后繼續(xù)計算勞斯表余下系數(shù)。,例3: 系統(tǒng)的特征方程為S42S3+s2+2s1=0,試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解 : 列勞斯表，因第三行符號變?yōu)樨?fù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有兩個正實部根。,2020/8/5,特殊情況二：計算勞斯表時,某一行各項全為零。 這表明特征方程具有對稱于原點的根。,這些對稱于原點的根可由令輔助多項式等于零構(gòu)成的輔助方程求得,這時可將不為零的最后一行(即全為零行的一行)的各項構(gòu)成一個輔助多項式。用對輔助多項式各項對s求導(dǎo)后所得的系數(shù)代替全部為零行的各項，繼續(xù)計算余下各行。,2020/8/5,例題3,例3: 系統(tǒng)特征方程

9、為 S5S4十3s3十3s22S2=0，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解 : 列勞斯表,構(gòu)成輔助方程： Q（s）=S43S22=0 求導(dǎo)后得 4S3十 6S=0，用其系數(shù)構(gòu)成全為零的行，繼續(xù)計算余下各行,2020/8/5,可知，系統(tǒng)不穩(wěn)定，但第一列元素未改變符號，所以系統(tǒng)沒有位于S右半平面的根，有位于虛軸上的根。,虛軸上根的求取 由輔助方程求得 S43s22=0 則有 （S21）（S22）=0 故S1、2=j S3、4= j,2020/8/5,四、赫爾維茨（Hurwitz）判據(jù),由赫爾維茨1895年提出的常用代數(shù)判據(jù)。,設(shè)系統(tǒng)特征方程為：,用特征方程的系數(shù)構(gòu)成赫爾維茨行列式：,系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是

10、：在a0 0的情況下，赫爾維茨行列式的各階主子式均大于零，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。,2020/8/5,(林納德-奇帕特證明的推論：在ai 0的條件下,系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：所有奇數(shù)次赫爾維茨行列式均大于零,或者是所有偶數(shù)次赫爾維茨行列式均大于零。),對穩(wěn)定系統(tǒng)來說要求,2020/8/5,例題4,例4: 系統(tǒng)特征方程為 S42S38S2十4s十2=0，試判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定,解 因ai 0 ，故可使用林納德-奇帕特證明的推論進行判斷。因為,故系統(tǒng)穩(wěn)定,2020/8/5,五、穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用,1判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性,2分析系統(tǒng)參數(shù)變化對穩(wěn)定性影響,利用代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)可以確定個別參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，給出使系

11、統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)范圍。,例5: 設(shè)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖 3-6所示，試確定滿足穩(wěn)定要求時K1的臨界值和開環(huán)放大系數(shù)的穩(wěn)定臨界值Kc。,2020/8/5,例題5,解 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,特征方稱為：,為使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須有,（1）K10 （2）a1a2-a0a30,得K16 綜合考慮，使系統(tǒng)穩(wěn)定的 K1取值范圍應(yīng)為：0K16 開環(huán)放大倍數(shù)的臨界值：Kc=3,2020/8/5,3檢驗穩(wěn)定裕量,（1）判斷原系統(tǒng)是否穩(wěn)定。只有原系統(tǒng)穩(wěn)定時,才有檢驗穩(wěn)定裕度的必要。,（2）將s平面的虛軸向左移動某個數(shù)值,即令s=z-(為正實數(shù)）,代入系統(tǒng)特征方程,則得到關(guān)于z的特征方程。,（3）利用代數(shù)判據(jù)對新的特征方程進行

12、穩(wěn)定性判別。如新系統(tǒng)穩(wěn)定,則說明原系統(tǒng)特征所有根均在新虛軸之左,原系統(tǒng)具有穩(wěn)定裕量。否則,不具有穩(wěn)定裕量,檢驗系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量，即檢驗系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，采用以下方法,2020/8/5,例題6,主頁,解 （1）首先判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定。所有系數(shù)均大于零；且D2=a1a2-a0a30,系統(tǒng)穩(wěn)定。 （2）令s=z- =z-1,代入特征方程得：2z3+4z2-z-1=0，,（3）利用勞斯判據(jù)對新系統(tǒng)進行判斷,第一列符號變化一次,系統(tǒng)不穩(wěn)定。原系統(tǒng)達(dá)不到=1的穩(wěn)定裕度。,例6: 系統(tǒng)特征方程為 2S310s213s4=0 ，設(shè)=1，試檢驗系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量。,2020/8/5,3.5 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,系統(tǒng)響應(yīng)

13、由穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和暫態(tài)響應(yīng)兩部分組成。從穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可以分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，從而定量分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。穩(wěn)態(tài)誤差反映了控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。,因此穩(wěn)態(tài)誤差分析是控制系統(tǒng)分析的一項基本內(nèi)容。,一、穩(wěn)態(tài)誤差和誤差傳遞函數(shù),系統(tǒng)誤差：指系統(tǒng)響應(yīng)的期望值Co（t）和實際值C（t）之差，即, （t）=Co（t）-C（t）,系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差：當(dāng)t時系統(tǒng)誤差稱為穩(wěn)態(tài)誤差，用ess表示，即,2020/8/5,穩(wěn)態(tài)誤差是在初始平衡條件下加入輸入信號，經(jīng)過足夠長的時間，其暫態(tài)響應(yīng)部分已經(jīng)衰減到微不足道時，系統(tǒng)響應(yīng)的期望值與實際值之差。因此，只有穩(wěn)定的系統(tǒng)，討論穩(wěn)態(tài)誤差才有意義。,單位反饋系統(tǒng)圖3-7（a圖）偏差e(t) ：e(t

14、)= r(t)-c(t) = co(t)-c(t), 即偏差e(t)等于誤差 (t) ，偏差的穩(wěn)態(tài)值等于系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。,2020/8/5,下一張,最后一張,結(jié)束授課,非單位反饋系統(tǒng)圖3-7（b圖）偏差e(t) ： e(t)= r(t)-b(t)，與誤差 (t) = c0(t)-c(t)不相等，但具有確定的關(guān)系：,故在系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能分析中，通常使用偏差代替誤差進行研究，即用,表示系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差,穩(wěn)態(tài)誤差的一般計算式：,2020/8/5,誤差及穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)和輸入信號R(s)有關(guān)。,系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)記為,穩(wěn)態(tài)誤差計算式為,表明，影響穩(wěn)態(tài)誤差的因素有開環(huán)增益、輸入信號和開

15、環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的數(shù)目。,因此按系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的個數(shù)對系統(tǒng)進行分類，即當(dāng) =0，1，2，時，分別稱相應(yīng)系統(tǒng)為0型，I型，II型， 型系統(tǒng)。,2020/8/5,二、給定輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差,1階躍輸入信號下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp設(shè)r(t)=A.1(t)，則R(s)=A/s，則,令,下一張,最后一張,結(jié)束授課,定義Kp為靜態(tài)位置誤差系數(shù)，則有,對0型系統(tǒng)，有,則,為有限值。,2020/8/5,則ess=0,由于0型系統(tǒng)無積分環(huán)節(jié)，其階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差為與K有關(guān)的一定值，因此常稱為有差系統(tǒng)。,對I型及I型以上系統(tǒng)有：,為減小穩(wěn)態(tài)誤差，可在穩(wěn)定條件允許的前提下增大K值。

16、,若要求系統(tǒng)對階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零，則應(yīng)使系統(tǒng)的類型高于I型。,2020/8/5,2. 斜坡輸入信號下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)速度誤差系統(tǒng)Kv,設(shè)r(t)=At，則R(s)=A/s2，則有,令,定義Kv為靜態(tài)速度誤差系數(shù)，則有,2020/8/5,下一張,最后一張,結(jié)束授課,對0型系統(tǒng)，有,此時，ess= ,對I型系統(tǒng)，有,此時，,對II型及以上系統(tǒng),有,此時，ess= 0,2020/8/5,可見,0型系統(tǒng)不能跟蹤斜坡輸入信號,隨時間的推移,誤差越來越大； I型系統(tǒng)可以跟蹤斜坡輸入信號。但具有與K有關(guān)的穩(wěn)態(tài)誤差，可用增加K的方法提高穩(wěn)態(tài)精度； II型及以上系統(tǒng)可完全跟蹤斜坡輸入信號，即穩(wěn)態(tài)誤差為零。,

17、2020/8/5,下一張,最后一張,結(jié)束授課,設(shè)r(t)= ( A/2)t2，則R(s)=A/s3，則有,定義Ka為靜態(tài)加速度誤差系數(shù),有,3. 拋物線輸入信號下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka,令,對于0型系統(tǒng)， =0，Ka=0,ess= ;,對于I型系統(tǒng)， =1，Ka=0,ess= ;,對于II型系統(tǒng)， =2，Ka=K,ess= A/K;,對于III型及以上系統(tǒng)， =3，Ka= ,ess= 0。,2020/8/5,可見，I型及以下系統(tǒng)不能跟蹤拋物線輸入，誤差越來越大；,II型系統(tǒng)可以跟蹤拋物線輸入信號。但具有與K有關(guān)的穩(wěn)態(tài)誤差，可 用增加K的方法提高穩(wěn)態(tài)精度；,III型及以上系統(tǒng)可完全跟

18、蹤斜坡輸入信號，即穩(wěn)態(tài)誤差為零。,2020/8/5,4. 有限個典型信號構(gòu)成的組合信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計算,設(shè)給定組合信號為： 利用線性系統(tǒng)的疊加原理，可得,顯然，只有II型以上系統(tǒng)才能跟蹤上述給定信號。 各靜態(tài)誤差系數(shù)的大小反映了系統(tǒng)限制或消除穩(wěn)態(tài)誤差的能力，系數(shù)值越大，則給定輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差越小。,2020/8/5,各種不同輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差見表,2020/8/5,例題7,例7： 已知兩控制系統(tǒng)如右圖 所示。當(dāng)給定輸入為r（t）=46t3t2,解 （1）右圖(a)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：,這是一個I型系統(tǒng)，K=2.5,，Kp= ,Kv=K=2.5，Ka=0,不能跟蹤拋物線輸入，所以ess=

19、 ,2020/8/5,（2）圖3-36（b）系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：,這是一個II型系統(tǒng)，K=2.5,，Kp= ,Kv= , Ka= K=2.5, 能跟蹤拋物線輸入，所以,2020/8/5,三、擾動輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差,根據(jù)式,以及終值定理得擾動輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差為,1階躍擾動信號下的穩(wěn)態(tài)誤差,因,則有,當(dāng)開環(huán)增益足夠大時，則有,2020/8/5,當(dāng)G1(s)為比例環(huán)節(jié)時,當(dāng)G1(s)為積分環(huán)節(jié)時,為使階躍擾動下的穩(wěn)態(tài)誤差為零，則應(yīng)在誤差信號與擾動作用點之間至少應(yīng)設(shè)置一個積分環(huán)節(jié)。實際系統(tǒng)所受到的干擾以階躍信號居多,此結(jié)論很有意義 。,2、斜坡擾動信號下的穩(wěn)態(tài)誤差,因,則有,2020/8/5,為使斜

20、坡擾動下的穩(wěn)態(tài)誤差為零，應(yīng)在誤差信號與擾動作用點之間，至少應(yīng)設(shè)置兩個積分環(huán)節(jié)。但積分環(huán)節(jié)的增多，會使系統(tǒng)的階數(shù)升高，將會降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,實際系統(tǒng)一般總是同時受到給定信號和擾動作用,因此系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差應(yīng)等于給定信號和擾動信號分別作用于系統(tǒng)時,其穩(wěn)態(tài)誤差的代數(shù)和，即,2020/8/5,四、用動態(tài)誤差系數(shù)法計算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,利用靜態(tài)誤差系數(shù)求穩(wěn)態(tài)誤差，實際上是計算在t時系統(tǒng)誤差的極限值。它不能反映誤差隨時間變化的規(guī)律。,為此,引入動態(tài)誤差系數(shù)的概念 ,用于分析誤差隨時間變化的規(guī)律,由前面所學(xué)可知，系統(tǒng)在給定信號下的誤差傳遞函數(shù)為,將e（s）在s=0的鄰域內(nèi)展開成泰勒級數(shù)，即,2020/8/5

21、,誤差E(s)=e(S)R(s)也可表示為如下級數(shù),上述無窮級數(shù)稱為誤差級數(shù),它的收斂域是s=0的鄰域,相當(dāng)于t。所以當(dāng)初始條件為零時,對上式求拉氏反變換,可得到穩(wěn)態(tài)誤差的時域表達(dá)式為,令,2020/8/5,則穩(wěn)態(tài)誤差可以寫成,其中C0，C1，C2，稱為動態(tài)誤差系數(shù)。C0為動態(tài)位置誤差系數(shù)；C1為動態(tài)速度誤差系數(shù)；C2為動態(tài)加速度誤差系數(shù) . 。,（1）將已知開環(huán)傳遞函數(shù)寫成分子、分母多項式的比值形式,（2）寫出多項式比值形式的誤差傳遞函數(shù)（按s的升冪排列寫）,通常使用的求動態(tài)誤差系數(shù)的方法：,2020/8/5,（3）使用多項式除法，得到一個S的升冪級數(shù),（4）得到用動態(tài)誤差系數(shù)表示的E(s)

22、,例8： 已知兩系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為,試比較兩系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)和動態(tài)誤差系數(shù)。若輸入信號為,其中A0、A1、A2、A3均為正常數(shù),試寫出兩個系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差表達(dá)式,例8,2020/8/5,解 由于兩個系統(tǒng)都是I型系統(tǒng)，且具有相同的開環(huán)放大倍數(shù)，因此有完全相同的靜態(tài)誤差系數(shù)，即,對系統(tǒng)1有,用長除法可求得,可得動態(tài)誤差系數(shù)為,對系統(tǒng)2有,用長除法可求得,可得動態(tài)誤差系數(shù)為,兩系統(tǒng)雖有相同的靜態(tài)誤差系數(shù)，但動態(tài)誤差系數(shù)卻不相同,2020/8/5,最后一張,系統(tǒng)1,系統(tǒng)2,當(dāng)A20時，盡管在t時，兩系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差都將趨于無窮大，但在趨向無窮大的過程之中，兩者的穩(wěn)態(tài)誤差是不同的。,在組合信號作用下

23、，兩系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分別為。,2020/8/5,五、減小穩(wěn)態(tài)誤差的措施,從前述可知,在系統(tǒng)中增加前向通道積分環(huán)節(jié)的個數(shù)或增大開環(huán)增益,可減小系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差；增加誤差信號到擾動作用點之間的積分環(huán)節(jié)個數(shù)或放大系數(shù)，可減小系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差。,但一般系統(tǒng)的積分環(huán)節(jié)不能超過兩個，放大倍數(shù)也不能隨意增大，否則將使系統(tǒng)暫態(tài)性能變壞，甚至造成系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此穩(wěn)態(tài)精度與暫態(tài)性能、穩(wěn)定性始終存在矛盾。在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，為實現(xiàn)提高穩(wěn)態(tài)精度的目的，可采用以下措施,（1）在增大開環(huán)增益和擾動作用點前系統(tǒng)前向通道增益K1的同時，附加校正裝置，以確保穩(wěn)定性。,（2）增加系統(tǒng)前向通道積分環(huán)節(jié)個數(shù)的同時，也要對系統(tǒng)進

24、行校正，以防止系統(tǒng)失去穩(wěn)定，并保證具有一定的瞬態(tài)響應(yīng)速度。,（3）采用復(fù)合控制。在按輸出反饋控制的基礎(chǔ)上，再增加按給定作用或主要擾動而進行的補償控制，構(gòu)成復(fù)合控制系統(tǒng)。,2020/8/5,1. 按給定補償?shù)膹?fù)合控制。如下圖所示，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為,給定信號產(chǎn)生的誤差為：,當(dāng)滿足Gc(s)=1/G2(s)時,則E(S)=0，即系統(tǒng)完全復(fù)現(xiàn)給定輸入作用。這種將誤差完全補償?shù)淖饔梅Q為全補償。,2020/8/5,2. 按擾動補償?shù)膹?fù)合控制,2020/8/5,3.6 控制系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng),2020/8/5,一 一階系統(tǒng)的時域分析,用一階微分方程描述的控制系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。圖3-10（a）所示的RC電路,其中C(

25、t)為電路輸出電壓，r(t)為電路輸入電壓，T=RC為時間常數(shù)。,當(dāng)初使條件為零時，其傳遞函數(shù)為,這種系統(tǒng)實際上是一個非周期性的慣性環(huán)節(jié)。,下面分別就不同的典型輸入信號，分析該系統(tǒng)的時域響應(yīng)。,其微分方程為,圖3-10,2020/8/5,1 單位階躍響應(yīng)Unit-Step Response of First-order System,因為單位階躍函數(shù)的拉氏變換為,，則系統(tǒng)的輸出由下式可知為,對上式取拉氏反變換，得,注*：R(s)的極點形成系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量。 傳遞函數(shù)的極點是產(chǎn)生系統(tǒng)響應(yīng)的瞬態(tài)分量。這一個結(jié)論不僅適用于一階線性定常系統(tǒng)，而且也適用于高階線性定常系統(tǒng)。,響應(yīng)曲線在,時的斜率為,，

26、如果系統(tǒng)輸出響應(yīng)的速度恒為 ，則只要tT時，輸出c(t)就能達(dá)到其終值。,2020/8/5,由于c(t)的終值為1，因而系統(tǒng)階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差為零。動態(tài)性能指標(biāo)：,2020/8/5,2 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng),當(dāng)輸入信號為理想單位脈沖函數(shù)時，R(s)1，輸出量的拉氏變換與系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相同，即,這時相同的輸出稱為脈沖響應(yīng)記作g(t)，因為,其表達(dá)式為,(Unit-impulse response of first-order systems),2020/8/5,3 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng),當(dāng),對上式求拉氏反變換，得：,因為,所以一階系統(tǒng)跟蹤單位斜坡信號的穩(wěn)態(tài)誤差為,(Unit-ramp Re

27、sponse of first-order Systems),2020/8/5,上式表明：一階系統(tǒng)能跟蹤斜坡輸入信號。穩(wěn)態(tài)時，輸入和輸出信號的變化率完全相同,由于系統(tǒng)存在慣性，,從0上升到1時，對應(yīng)的輸出信號在數(shù)值上要滯后于輸入信號一個常量T，這就是穩(wěn)態(tài)誤差產(chǎn)生的原因。,減少時間常數(shù)T不僅可以加快瞬態(tài)響應(yīng)的速度，還可減少系統(tǒng)跟蹤斜坡信號的穩(wěn)態(tài)誤差。,2020/8/5,4 一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng),上式表明，跟蹤誤差隨時間推移而增大，直至無限大。因此，一階系統(tǒng)不能實現(xiàn)對加速度輸入函數(shù)的跟蹤。,2020/8/5,表1:一階系統(tǒng)對典型輸入信號的響應(yīng),微 分 ,微 分 ,等價關(guān)系：系統(tǒng)對輸入信號導(dǎo)數(shù)的

28、響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)； 系統(tǒng)對輸入信號積分的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的積分；積分常數(shù)由零初始條件確定。,2020/8/5,二 二階系統(tǒng)的時域分析,1. 二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 隨動系統(tǒng)A Servo System（位置控制系統(tǒng)）如下圖所示。,(Transient-Response Analysis and Steady-State Error Analysis of Second-order Systems),二階系統(tǒng)：凡以二階系統(tǒng)微分方程作為運動方程的控制系統(tǒng)。,2020/8/5,該系統(tǒng)的任務(wù)：控制機械負(fù)載的位置。使其與參考位置相協(xié)調(diào)。 工作原理：用一對電位計作系統(tǒng)的誤

29、差測量裝置，它們可以將輸入和輸出位置信號，轉(zhuǎn)換為與位置成正比的電信號。,輸入電位計電刷臂的角位置， 由控制輸入信號確定, 角位置,就是系統(tǒng)的參考輸入量，而電刷臂上的電位與電刷臂的角位置成正比，輸出電位計電刷臂的角位置， 由輸出軸的位置確定。,2020/8/5,電位差,就是誤差信號。,橋式電位器的傳遞函數(shù),該信號被增益常數(shù) 為的放大器放大，（ )應(yīng)具有很高的輸入阻抗和很低的輸出阻抗）,放大器的輸出電壓作用到直流電動機的電樞電路上。,電動機激磁繞組上加有固定電壓。 如果出現(xiàn)誤差信號，電動機就產(chǎn)生力矩以轉(zhuǎn)動輸出負(fù)載，并使誤差信號減少到零。,2020/8/5,(3)當(dāng)激磁電流固定時，電動機產(chǎn)生的力矩（

30、電磁轉(zhuǎn)距）為：,電動機的轉(zhuǎn)矩系數(shù),為電樞電流,對于電樞電路,電動機電樞繞組的電感和電阻。,電動機的反電勢常數(shù)，,電動機的軸的角位移。,電動機的力矩平衡方程為：,(1),(2),(3),J:為電動機負(fù)載和齒輪傳動裝置，折合到電動機軸上的組合轉(zhuǎn)動慣量。 f:為電動機負(fù)載和齒輪傳動裝置，折合到電動機軸上的粘性摩擦系數(shù)。,(4),2020/8/5,據(jù)方程(1) (2) (3) (4)可畫出系統(tǒng)方框圖如下:,(5),如略去電樞電感,(6),(6),增益,阻尼系數(shù)，由于電動機反電勢 的存在，增大了系統(tǒng)的粘性摩擦。,開環(huán)增益,機電時間常數(shù),2020/8/5,不考慮負(fù)載力矩，隨動系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)簡化為：,(

31、7),相應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù),為了使研究的結(jié)果具有普遍意義，可將式（7）表示為如下標(biāo)準(zhǔn)形式,（9）,自然頻率（或無阻尼振蕩頻率）,阻尼比（相對阻尼系數(shù)）,(8),2020/8/5,二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式，相應(yīng)的方塊圖如右圖所示,二階系統(tǒng)的動態(tài)特性，可以用 和 加以描述,二階系統(tǒng)的特征方程：,(10),(11),2020/8/5,阻尼比 是實際阻尼系數(shù)F與臨界阻尼系數(shù) 的比值,二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)(Unit-Step Response of Second-Order Systems),兩個正實部的特征根 ,發(fā)散,，閉環(huán)極點為共扼復(fù)根，位于右半S平面，欠阻尼系統(tǒng),，為兩個相等的根,，兩個不相等的根,，虛

32、軸上，瞬態(tài)響應(yīng)變?yōu)榈确袷?2020/8/5,，由式（9）得,對上式取拉氏反變換，得單位階躍響應(yīng)為,(1)欠阻尼( )二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),2020/8/5,穩(wěn)態(tài)分量為1，表明圖3系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，不存在穩(wěn)態(tài)位置誤差，瞬態(tài)分量為阻尼正弦振蕩項，其振蕩頻率為,包絡(luò)線,決定收斂速度,(14),(13),時,這是一條平均值為1的正、余弦形式等幅振蕩，其振蕩頻率 為由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)確定 故稱為無阻尼振蕩頻率。,2020/8/5,臨界阻尼情況下的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)稱為臨界阻尼響應(yīng),（15）,當(dāng) 時，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是穩(wěn)態(tài)值為1的無超調(diào)單調(diào)上升過程，,響應(yīng)曲線 如右圖：,響應(yīng)過程單

33、調(diào)上升，與過阻尼一樣，無超調(diào)，但它是這一類響應(yīng)中最快的，調(diào)節(jié)時間為 ：,(2)臨界阻尼( ),2020/8/5,(3)過阻尼( ),（16）,2020/8/5,響應(yīng)曲線：, 1時的近似處理：此時,可近似地等效為具有時間常數(shù) 為 的一階系統(tǒng)。時域響應(yīng)式為：,調(diào)節(jié)時間為：,2020/8/5,（4） =0（零阻尼）,單位階躍響應(yīng)拉氏變換式：,時域響應(yīng)式：,系統(tǒng)處于無阻尼振蕩狀態(tài)，暫態(tài)響應(yīng)為恒定振幅的周期函數(shù)，頻率為n(也稱為無阻尼自然振蕩角頻率)。,2020/8/5,取不同值（ 0）時二階系統(tǒng)的位階躍響應(yīng)的曲線,2020/8/5,幾個特征：,1、 =0時，等幅振蕩； 2、01時， 越大，曲線單調(diào)上升

34、過程越緩慢； 5、-1 0時，振蕩發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 6、 -1時，單調(diào)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。,2020/8/5,不同時典型二階系統(tǒng)特征方程根、特征根在S平面上的位置及單位階躍響應(yīng)曲線。,2020/8/5,3 二階系統(tǒng)欠阻尼情況的階躍響應(yīng)性能指標(biāo),在控制工程中，除了那些不容許產(chǎn)生振蕩響應(yīng)的系統(tǒng)外，通常都希望控制系統(tǒng)具有適度的阻尼、快速的響應(yīng)速度和較短的調(diào)節(jié)時間。,二階系統(tǒng)一般取,2020/8/5,在（ 12 ）中，即,令,在較大的 值范圍內(nèi)，近似有,（17）,時，亦可用,（18）,（1）延遲時間,2020/8/5,，求得,（19）,一定，即,一定，,響應(yīng)速度越快,（2）上升時間,（12）,2020

35、/8/5,因為,根據(jù)峰值時間定義，應(yīng)取,),(,峰值時間,p,t,對式（12）求導(dǎo)，并令其為零，求得,（12）,（3）,（20）,2020/8/5,（4）超調(diào)量 %,將tp帶入二階欠阻尼系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)表達(dá)式，可得：,超調(diào)量 %僅與有關(guān)。,2020/8/5,（5）調(diào)節(jié)時間,根據(jù)ts的定義，并借助二階系統(tǒng)欠阻尼衰減正弦包絡(luò)線圖進行近似計算，可得：,當(dāng)0 0.8時，通常使用以下近似式：,2020/8/5,例題9,例9:設(shè)控制系統(tǒng)的方框圖如3-26圖所示，當(dāng)有單位階躍信號作用于系統(tǒng)時，試求系統(tǒng)的暫態(tài)性能指標(biāo)tr、tp、ts和 %。,2020/8/5,解 求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：,因此有 上升時間

36、tr： 峰值時間tp ： 調(diào)節(jié)時間 % ： 超調(diào)量ts ：,2020/8/5,例10,解 （1）求出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：,因此有：,如3-27圖所示的單位反饋隨動系統(tǒng)，K=16s-1,T=0.25s,試求： （1）特征參數(shù)和n；（2）計算 %和ts;（3)若要求%=16%，當(dāng)T不變時K應(yīng)當(dāng)取何值？,(2)則,2020/8/5,（3）為使 %=16%，由式,得=0.5, 當(dāng)T=0.25不變時，因,則有,2020/8/5,4 使用速度反饋，在不改變K的情況下提高阻尼比,（四）使用速度反饋，不改變K的情況下提高阻尼比,等效閉環(huán)傳遞函數(shù)為：,等效系統(tǒng)的特征參數(shù)為：,結(jié)論：加入速度反饋后不改變K和n；

37、增大了，可減少超調(diào)量。,2020/8/5,例11,同例10，現(xiàn)采用速度反饋改善系統(tǒng)指標(biāo)，要求=0.5,求 ，并計算采用速度反饋后的性能指標(biāo)。,解 由于K=16s-1,T=0.25s,由上一頁可知,于是有：,2020/8/5,5. 二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng),結(jié)論：如果脈沖響應(yīng)g(t)不改變符號，則系統(tǒng)的=1，即為臨界阻尼或過阻尼； 單位脈沖響應(yīng)曲線第一次與時間軸交點的時間為峰值時間tp; 單位脈沖響應(yīng)曲線于時間軸包圍的面積為1。,利用線性定常系統(tǒng)的齊次性，將二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)對時間求導(dǎo)數(shù)，即可得到二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。或?qū)ο到y(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)直接進行拉氏反變換，得不同值時二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng),2

38、020/8/5,6. 具有零點的二階系統(tǒng)分析,(1) 在典型二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)中增加一個閉環(huán)零點，構(gòu)成一類具有零點的二階系統(tǒng)。它的階躍響應(yīng)與典型二階系統(tǒng)明顯不同。此時系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：,寫成零、極點形式時：,設(shè)典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為c1(t)，c2(t)為增加零點引起的響應(yīng)分量,則上述具有零點的二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)c(t)與c1 (t)、 c2(t)具有以下關(guān)系：,求拉氏反變換，得：,2020/8/5,不同a時的單位階躍響應(yīng)曲線, %與a的關(guān)系,為定量說明引入的零點對典型二階系統(tǒng)性能的影響，引入,2020/8/5,幾點結(jié)論： 當(dāng)其它條件不變時，附加一個零點，將使 %增大，tr和tp減小; a減小時，明顯