1、章末整合提升,熱點一,二次函數(shù)的圖象與性質,二次函數(shù)的圖象是拋物線，其性質主要體現(xiàn)在開口方向、 對稱軸、頂點坐標、增減性、最值、對稱性等方面，熟練掌握 這些性質是學好本章的前提和基礎 再者注意 ya(xh)2k 的圖象與函數(shù) yax2 的圖象的關 系，它們形狀、開口方向均相同，只是位置不同，可以通過平 移得到平移的規(guī)律是：“h 左加右減，k 上加下減”二次函 數(shù)的一般形式 yax2bxc 可以轉化為頂點式 ya(xh)2k 加以分析,【例 1】已知二次函數(shù) y2(x1)2m 的圖象上有三個點， 坐標分別為 A(2，y1)，B(3，y2)，C(4，y3)，則y1，y2，y3的大,小關系是(,),

2、Ay1y2y3 Cy3y1y2,By2y1y3 Dy3y2y1,解析：二次函數(shù)的解析式為 y2(x1)2m， 該二次函數(shù)的拋物線開口向上，且對稱軸為直線 x1. 點 A(2，y1)，B(3，y2)，C(4，y3)為二次函數(shù) y2(x1)2 m 的圖象上三個點，且三點橫坐標距離對稱軸 x1 的距離遠 近順序為 C(4，y3)，B(3，y2)，A(2，y1)， 三點縱坐標的大小關系為 y3y2y1. 答案：D,【跟蹤訓練】,1二次函數(shù) yx22x5 有(,),D,A最大值5 C最大值6,B最小值5 D最小值6,2拋物線 y(x2)23 可以由拋物線 yx2 平移得到，則,下列平移過程正確的是(,)

3、,B,A先向左平移 2 個單位，再向上平移 3 個單位 B先向左平移 2 個單位，再向下平移 3 個單位 C先向右平移 2 個單位，再向下平移 3 個單位 D先向右平移 2 個單位，再向上平移 3 個單位,3如圖 22-1，在 RtOAB 中，OAB90，O 為坐標原 點，邊 OA 在 x 軸上，OAAB1 個單位長度，把 RtOAB 沿 x 軸正方向平移 1 個單位長度后得AA1B1. (1)求以 A 為頂點，且經過點 B1 的拋物線的解析式；,(2)若(1)中的拋物線與 OB 交于點 C，與 y 軸交于點 D，求,點 C，D 的坐標,圖 22-1,解：(1)由題意，得點 A(1,0)，B1

4、(2,1) 設拋物線的解析式為 ya(x1)2. 將 B1 坐標代入，得 a1. 所以拋物線的解析式為 y(x1)2. (2)因為點 B 坐標為(1,1)，所以直線 OB 的解析式為 yx.,側)拋物線與 y 軸的交點 D 的坐標為(0,1),熱點二,二次函數(shù)與一元二次方程的關系,二次函數(shù) y ax2 bx c(a0) 與一元二次 ax2 bx c 0(a0)從形式上看十分相似，兩者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別當 拋物線 yax2bxc 的 y 值為 0 時，就得到一元二次方程 ax2 bxc0.拋物線與 x 軸是否有交點就取決于一元二次方程 ax2bxc0 的根的個數(shù)的情況 當 b24ac0 時，方

5、程有兩個不相等的實數(shù)根，拋物線與 x 軸的兩個交點的橫坐標是此方程的兩個實數(shù)根； 當 b24ac0 時，方程有兩個相等的實數(shù)根，拋物線與 x 軸只有一個交點，此交點的橫坐標是方程的根； 當 b24ac0 時，方程沒有實數(shù)根，拋物線與 x 軸沒有交點,【例 2】 已知函數(shù) ymx26x1(m 是常數(shù)),(1)求證：不論 m 為何值，該函數(shù)的圖象都經過 y 軸上的一,個定點；,(2)若該函數(shù)的圖象與 x 軸只有一個交點，求 m 的值 思路點撥：(1)根據(jù)解析式可知，當 x0 時，函數(shù)值與 m 值無關，故不論 m 為何值，函數(shù) ymx26x1的圖象都經過 y 軸上一個定點(0,1),(2)應分兩種情

6、況討論：當函數(shù)為一次函數(shù)時，與 x 軸有 一個交點；當函數(shù)為二次函數(shù)時，利用根與系數(shù)的關系解答,解：(1)當 x0 時，y1. 所以不論m 為何值，函數(shù) ymx26x1 的圖象都經過 y 軸上的一個定點(0,1) (2)當m0 時，函數(shù) y6x1 的圖象與 x 軸只有一個 交點； 當m0 時，函數(shù) ymx26x1 的圖象與 x 軸只有一個 交點，則方程 mx26x10 有兩個相等的實數(shù)根，所以(6)2 4m0，解得 m9. 綜上所述，若函數(shù) ymx26x1 的圖象與 x 軸只有一個 交點，則 m 的值為 0 或 9.,【跟蹤訓練】,3,4拋物線 y2x25x3 與坐標軸的交點共有_個,5已知關

7、于 x 的函數(shù) yax2x1(a 為常數(shù)) (1)若函數(shù)的圖象與 x 軸恰有一個交點，求 a 的值；,(2)若函數(shù)的圖象是拋物線，且頂點始終在 x 軸上方，求 a,的取值范圍,解：(1)當 a0 時，函數(shù)為 yx1，它的圖象顯然與 x 軸,只有一個交點(1,0),當 a0 時，依題意，得方程 ax2x10 有兩個相等的,實數(shù)根,熱點三,二次函數(shù)的綜合應用,【例 3】 已知關于 x 的二次函數(shù) yax2bxc(a0)的圖 象經過點 C(0,1)，且與 x 軸交于不同的兩點 A，B，點 A 的坐標 是(1,0) (1)求 c 的值； (2)求 a 的取值范圍； (3)該二次函數(shù)的圖象與直線 y1

8、交于 C，D 兩點，設 A， B，C，D 四點構成的四邊形的對角線相交于點 P，記PCD 的 面積為 S1，PAB的面積為S2，當0a1時，求證：S1S2為 常數(shù)，并求出該常數(shù),(1)解：將點 C(0,1)代入 yax2bxc，得 c1. (2)解：由(1)知：yax2bx1，將點 A(1,0)代入， 得 ab10，b(a1) 二次函數(shù)為 yax2(a1)x1.,二次函數(shù)為 yax2(a1)x1 的圖象與 x 軸交于不同,的兩點，,0.而(a1)24aa22a14aa22a1,(a1)2，,實數(shù) a 的取值范圍是 a0 且 a1.,(3)證明：如圖 22-2， 0a1， 圖 22-2,把 y1

9、 代入 yax2(a1)x1，得,ax2(a1)x0，解得,x10，x2,1a a,.,CD,1a a,.,S1S2SPCDSPABSACDSCAB,S1S2 為常數(shù)，這個常數(shù)為 1.,【跟蹤訓練】 6如圖 22-3，拋物線 yx2bxc 的頂 點為 D(1，4)，與 y 軸交于點 C(0，3)， 與 x 軸交于 A，B 兩點(點 A 在點 B 的左側) (1)求拋物線的解析式； (2)連接 AC，CD，AD，試證明ACD 為,直角三角形；,圖 22-3,(3)若點 E 在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點 F， 使以 A，B，E，F(xiàn) 為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求 出所有滿足條件的

10、點 F 的坐標；若不存在，請說明理由,則拋物線解析式為x22x3. (2)結合圖形，拋物線 yx22x3，與 x 軸的交點為(1,0)， (3,0)，,由 AC2CD2AD2，所以ACD 為直角三角形,(3)存在點 A(3,0)，B(1,0)，則|AB|4. 拋物線 yx22x3 的對稱軸為 x1. 點 E 在拋物線的對稱軸上，,則過點 E 作 EFAB.交拋物線于點 F.,要使以 A，B，E，F(xiàn) 為頂點的四邊形為平行四邊形， 則|EF|4.,設點 F 坐標為(x，y)，則|x1|4，故 x5 或 x3. 當 x3 時，y 32 233 96 312 ，則點 F 為,(3,12),當 x3 時

11、，y522532510312. 則點 F 為(5,12),故存在點 F(5,12)或(3,12)，使以 A，B，E，F(xiàn) 為頂點的四邊,形為平行四邊形,7如圖 22-4，拋物線 y(x1)2 k 與 x 軸交于 A，B 兩點，與 y 軸交于點 C(0，3) (1)求拋物線的對稱軸及 k 的值； (2)拋物線的對稱軸上存在一點 P，使得 PA PC 的值最小，求此時點 P 的坐標；,(3)點 M 是拋物線上一動點，且在第三象限,圖 22-4,當 M 點運動到何處時，AMB 的面積最大？求出AMB 的最大面積及此時點 M 的坐標； 當 M 點運動到何處時，四邊形 AMCB 的面積最大？求出 四邊形

12、AMCB 的最大面積及此時點 M 的坐標,解：(1)拋物線 y(x1)2k 的對稱軸為直線 x1. 拋物線 y(x1)2k 過點 C(0，3)， 則3(01)2k, k4.,(2)如圖 D6，根據(jù)兩點之間線段最短可知，當 P 點在線段 AC 上就可使PA PC 的值最小，又因為點P 要在對稱軸上，所 以 P 點應為線段 AC 與對稱軸直線 x1 的交點,圖 D6,由(1)可知，拋物線的表達式為 y(x1)24x22x3. 令 y0，則(x1)240，解得 x13，x21. 則點 A，B 的坐標分別是 A(3,0)、B(1,0) 設直線 AC 的表達式為 ykxb，則,所以直線 AC 的表達式為 yx3. 當 x1 時， y(1)32， 所以點 P 的坐標為(1，2),(3),當點 M 運動到拋物線的頂點時，AMB 的面積最大 由拋物線表達式 y(x1)24 可知，拋物線的頂點坐標為,(1，4)點 M 的坐標為(1，4),方法一：,如圖D6，過點M 作MHx 軸于