1、1,無窮與極限安順學(xué)院附中 李果,英國的海岸線無限長附中校園的邊界無限長,想過如何計算海岸線的長度嗎？,英國科學(xué)家理查遜 查詢了歐洲很多百科全書，發(fā)現(xiàn)很多很多國家對與其相鄰國的邊界測量的不完全相同，有時候誤差會達到百分之二十以上。 為什么會出現(xiàn)這種問題呢？,誤差產(chǎn)生的原因？,法國數(shù)學(xué)家蒙德爾布羅 1967年對這個問題做出解釋： 用來測量的尺子如果長短不一的話，會產(chǎn)生很大的誤差 故用小尺子測量海岸線結(jié)果更精準(zhǔn),尺子無限小的情況,大半島外有小半島，大海灣內(nèi)有小海灣，大石頭旁有小石頭，當(dāng)尺子無限小時，海岸線的長度會無限大！,柯克曲線,取一個邊長為1的正三角形，在每個邊上以中間的1/3為一邊，向外側(cè)凸

2、出作一個正三角形，再把原來邊上中間的1/3部分擦掉，就成了一個很像雪花的六角形。 這樣不斷地做下去，做出的圖形邊緣越來越不容易畫出，但邊緣上越來越小的許許多多的三角形是真實存在的，這樣無限地做下去，得到的圖形叫做柯克曲線。,計算柯克曲線的長度,測量規(guī)則：第一次用長度為1的尺子測量；第二次用長度為1/3的尺子測量，第三次用長度為1/9的尺子測量。 小組討論：第n+1次測量時，量得的周長是多少？,計算柯克曲線的長度,后一個圖的周長是前一個圖的4/3倍,9,芝諾悖論： 阿基里斯追不上烏龜。,10,2. 癥結(jié)： 無限段長度的和，可能是有限的； 無限段時間的和，也可能是有限的。 3. 芝諾悖論的意義：

3、尖銳地提出離散與連續(xù)的矛盾： 空間和時間有沒有最小的單位？,11,三、“有無限個房間”的旅館 1. “客滿”后又來1位客人 1 2 3 4 k 2 3 4 5 k+1 空出了1號房間,12,2. 客滿后又來了一個旅游團，旅游團 中有無窮個客人 1 2 3 4 k 2 4 6 8 2k 空下了奇數(shù)號房間,13,思考題解答,14,思 構(gòu)造一個無窮多個運動員百米賽跑，但結(jié)果沒有第一名的例子。（要求表達出每一個運動員的百米成績，且要求接近實際：不能跑進9秒）,15,解答,16,思：構(gòu)造一個“部分到整體的一一對應(yīng)”：從0，1）0，+）。,17,答 ： 即,18,四、無限與有限的區(qū)別和聯(lián)系 1. 區(qū)別 1

4、） 在無限集中，“部分可以等于全體”（這是無限的本質(zhì)），而在有限的情況下， 部分總是小于全體。,19,當(dāng)初的伽利略悖論，就是因為沒有看到 “無限”的這一個特點而產(chǎn)生的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 n 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 n2 該兩集合：有一一對應(yīng)，于是推出兩集合的元素個數(shù)相等；但由“部分小于全體”，又推出兩集合的元素個數(shù)不相等。這就形成悖論。,20,伽利略（Galileo Galilei，1564-1642），意大利物理學(xué)家、天文學(xué)家和哲學(xué)家，近代實驗科學(xué)的先驅(qū)者。,21,2.） “有限”時成立的許多命題，對“無限”不再成立 （

5、1）實數(shù)加法的結(jié)合律 在“有限”的情況下，加法結(jié)合律 成立: (a+b)+c = a+(b+c) ， a，b， c,22,在“無限”的情況下，加法結(jié)合律不再成立。如,23,五、 潛無限與實無限 1潛無限與實無限簡史 潛無限是指把無限看成一個永無終止的過程，認(rèn)為無限只存在于人們的思維中，只是說話的一種方式，不是一個實體。,24,從古希臘到康托以前的大多數(shù)哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家都持這種潛無限的觀點。他們認(rèn)為“正整數(shù)集是無限的”來自我們不能窮舉所有正整數(shù)。例如，可以想象一個個正整數(shù)寫在一張張小紙條上，從1，2，3，寫起，每寫一張，就把該紙條裝進一個大袋子里，那么，這一過程將永無終止。 因此，把全體正整數(shù)的袋

6、子看作一個實體是不可能的，它只能存在于人們的思維里。,25,但康托不同意這一觀點，他很愿意把這個裝有所有正整數(shù)的袋子看作一個完整的實體。這就是實無限的觀點。 康托的工作是劃時代的，對現(xiàn)代數(shù)學(xué)產(chǎn)生了巨大的影響，但當(dāng)時，康托的老師克羅內(nèi)克爾，卻激烈反對康托的觀點。所以康托當(dāng)時的處境和待遇都不太好。,26,康托Georg Ferdinand Philip Cantor (18451918) 德國數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今蘇聯(lián)列寧格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。1862年17歲時入瑞士蘇黎世大學(xué),翌年轉(zhuǎn)入柏林大學(xué),主修數(shù)學(xué)，從學(xué)于E.E.庫默爾、K.（T.W.）外

7、爾斯特拉斯和L.克羅內(nèi)克。1866年曾去格丁根學(xué)習(xí)一學(xué)期。1867年在庫默爾指導(dǎo)下以數(shù)論方面的論文獲博士學(xué)位。1869年在哈雷大學(xué)通過講師資格考試，后即在該大學(xué)任講師，1872年任副教授，1879年任教授。,27,2無限集合也有“大小” 從“一一對應(yīng)”說起 實無限的觀點讓我們知道，同樣是無限集合，也可能有不同的“大小”。 正整數(shù)集合是最“小”的無限集合。 實數(shù)集合比正整數(shù)集“大”。實數(shù)集合上全體連續(xù)函數(shù)的集合又比實數(shù)集合更大。 不存在最“大”的無限集合（即對于任何無限集合，都能找到更“大”的無限集合）。,28,這需要“一一對應(yīng)”的觀點。 1）“一一對應(yīng)”雙射（單射+滿射） 2）集合的勢|A|集合中元素的多少 3）|N| =可數(shù)無窮勢 a ， |Q|= a 4）|R| =不可數(shù)無窮（稱連續(xù)統(tǒng)勢 c）, ：無理數(shù)比有理數(shù)多得多。,29,5）無窮集合可能有不同的勢，其中最小的勢是 a ；不存在最大的勢。 6）“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”長期未徹底解決 “連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”：可數(shù)無窮 a 是無限集中最小的勢，連續(xù)統(tǒng)勢 c 是（否？）次小的勢。 ？,30,康托1882年曾認(rèn)為他證明了這一假 設(shè)，后來發(fā)現(xiàn)證明有錯。 直到現(xiàn)在，這一問題仍吸引著一些數(shù)學(xué)家的興趣。,31,六哲學(xué)中的無限 哲學(xué)對“無限”的興趣 哲學(xué)是研究整個世界的科學(xué)。自從提出“無限”的概念，就引起了哲