1、第四章 地球橢球及其數(shù)學投影變換的基本理論,地球橢球的數(shù)學基礎 測量數(shù)據(jù)計算的數(shù)學知識 地圖投影的數(shù)學理論（地圖學）,4.1- 旋轉(zhuǎn)橢球面的參數(shù)表示及數(shù)學性質(zhì),1 、橢球方程： 表面上平行于赤道面的緯圈均為圓,2、經(jīng)線和緯線的曲線方程,M0饒Z軸旋轉(zhuǎn)，形成緯圈（平行圈），其半徑：,經(jīng)度為L的經(jīng)線方程：,在XOZ坐標面上的起始經(jīng)線方程：,1）、經(jīng)線方程：,2）、緯圈方程：,或：,3、地球橢球的幾何、物理元素,扁率：,第一偏心率：,第二偏心率：,長半軸：,短半軸：,1）、幾何元素,幾個關系式：,1954年北京坐標系，克拉索夫斯基橢球元素：,我國1980年大地坐標系采用第16屆 IAGIUGG 橢球

2、，其橢球元素為：,2）、地球橢球的幾何、物理元素,4.2- 常用坐標系及關系,1、大地坐標系： 以大地經(jīng)度L、大地緯度B和大地高為點的坐標。,注：水準測量的一般為正常高或正高，GPS測量的為大地高,一、 常用坐標系,2、天文坐標系：以天文經(jīng)度 和天文緯度為點的坐標,以鉛垂線和水準面為依據(jù),天文子午面：過地面點P的鉛垂線和地球旋轉(zhuǎn)軸組成的面。,3、空間直角坐標系：以地心（參心）為原點，以平均自轉(zhuǎn)軸為Z軸，指向平均北極，X軸指向平均起始子午面與平均赤道面的交點，Y軸與XOZ平面垂直而建立的坐標系。,當原點在總地球橢球質(zhì)心時稱地心空間直角坐標系。,當原點在參考橢球質(zhì)心時稱參心空間直角坐標系。,在過P

3、點的子午面上，以P點的 子午橢圓中心為原點，長軸為X 軸，短軸為Y軸而建立的平面直 角坐標系。,4、子午面直角坐標系,設P點的大地經(jīng)度為L，則P點的坐標表示為(L，x，y).,5、地心緯度坐標系,地心緯度：橢球面上一點到地心 的連線與赤道面之間的夾角。,設M點的經(jīng)度為L，則其地心緯 度坐標為（L， ， ）,若P點的大地高為H，則其坐標為（L， ， ，H）。,歸化緯度：從子午橢圓上M點作X 軸的垂線，與以長半軸為半徑的 圓相交于M,M與橢圓中心O的連 線與X軸的夾角。,6、地心歸化緯度坐標系,設M點的經(jīng)度為L，則其坐標為（L，u）,若M點的大地高為H，則其坐標為（L，u，H）。,在XOY子午面內(nèi)

4、，有:,7、站心地平坐標系,1).大地站心地平坐標系: 以測站P為原點，以P點法線為Z軸，天頂方向為正，以子午線切線方向為 X軸,向北為正，Y軸與XPZ平面垂直，向東為正. Z為天頂距,A為大地方位角,S為M點到站心點的斜距.M點直角坐標(x,y,z), 極坐標為(S,A,Z),2).天文站心地平坐標系,8.大地極坐標系,MN為過M點的子午線，S為大地線 的長度，A為大地線S的大地方位角 ，則P點的大地極坐標為（S，A）。 大地極坐標（S，A）可與大地坐標 （L，B）相互換算。,二、坐標系間的關系,1、子午平面坐標系與大地坐標系的關系,切線MT的斜率的導數(shù)式：,由橢圓方程求導得：,代入第一式得

5、：,2,1,M點子午平面坐標(L，x，y)大地坐標（L，B）,引入輔助符號：,則有：,另外,如圖可知：,2、子午平面坐標系與歸化緯度坐標關系,由橢圓的參數(shù)方程可知：,3、空間直角坐標同子午面直角坐標的關系,4、空間直角坐標同歸化緯度坐標的關系,5、空間直角坐標與大地坐標的關系,又因為：,所以又有：,1）、M 在橢球面上,2）、M不在橢球面上,3）、軸空間直角坐標推算大地坐標,其中B要采用迭代法計算,直至兩次 之差小于允許誤差為止.,1)、大地緯度B與歸化緯度u的關系,由子午平面坐標系與大地坐標系的關系有:,由子午平面坐標系與歸化緯度坐標關系有:,6、大地緯度B，歸化緯度u，地心緯度之間的關系,

6、由上可得:,所以大地緯度B與歸化緯度u的關系式:,2)、大地緯度B與地心緯度的關系,3)、歸化緯度u與地心緯度的關系,由子午平面坐標,可得:,所以:,大地緯度B，歸化緯度u，地心緯度之間的關系公式匯總:,4)、大地緯度B，歸化緯度u，地心緯度之間的大小關系：,Bu,三者之間的差異很小。,4.3- 橢球面上的幾種曲率半徑,橢球面上的法截面與法截線 法截面：過橢球面任意點的法線的平面。 法截線：法截面與橢球面的交線。 （1）、過一點有無數(shù)個法截線 （2）、過一點的不同方向的法截線的曲率半徑不同。 卯酉圈：過某點的法線且與該點的子午面垂直的法截面與橢球的交線。 子午圈與卯酉圈是兩條相互垂直的法截線。

7、,一、子午圈曲率半徑,dS是子午圈上的一段微分弧長，M為子午圈上K點處的曲率半徑，由曲率半徑的定義有：,如圖,由上兩式可得,根據(jù)子午平面直角坐標與大地坐標的關系有：,因而,目的： M=f (B),又,則,進而可得：,而,因而有,即,那么,又因為,則,即,或,PT是平行圈和卯酉圈的公切線。 麥尼爾定理：通過曲面上一點引兩條截弧，一為法截弧，另一條為斜截弧，且在該點上兩截弧有公共切線，則斜截弧在該點的曲率半徑為法截弧在該點的曲率半徑乘以兩截弧平面夾角的余弦。,根據(jù)子午平面直角坐標與大地坐標的關系有：,比較以上兩式可知卯酉曲率半徑為：,二、卯酉圈曲率半徑,根據(jù)以上定理有：,可知，N為P點處卯酉曲率半

8、徑。其長度等於橢球面到短軸的距離Pn,由此可見，卯酉圈曲率部心位于橢球的旋轉(zhuǎn)軸上,又因為,則,或,或,三、主曲率半徑的計算：子午圈曲率半徑M與卯酉圈曲率半徑N,用級數(shù)展開，取至8次項有：,1、子午圈曲率半徑M,其中,將相應的橢球參數(shù)代入便可求得各系數(shù)。,2、卯酉圈曲率半徑N,用級數(shù)展開，取至8次項有：,其中,將相應的橢球參數(shù)代入便可求得各系數(shù)。,或,用級數(shù)展開，取到8次項有,其中,四、任意法截弧的曲率半徑,根據(jù)微分幾何中的尤拉公式，任意方向法截線的曲率與子午、卯酉曲率,因此，任意方向的曲率半徑為：,半徑的關系為：,將上式分子分母同除以M，并顧及,則有,1,用R表示平均曲率半徑，根據(jù)平均曲率公式

9、有,因而有,可見，RA與方位角A和緯度B有關。 當A為0，時，RA取極小值M， /2， 3/2時，RA取得極大值N。 當A由00900時，RA由MN，當A由9001800時，RA由NM。其變化周期為1800，并關于子午圈和卯酉圈對稱。 由此可知：NRAM,五、平均曲率半徑 過曲面上任意一點的所有方向的法截弧曲率半徑RA的算術(shù)平均值，用R表示。 我們知道，當A由00900時，RA由MN，所以只要計算該區(qū)間的平均值則可。,M、N、R的關系：,M、N、R計算公式對照：,由于,可知,因而有：,可見,R為主曲率半徑的幾何平均值.,4.4- 橢球面上的弧長計算,一、子午弧長的計算 從赤道E開始到緯度為B的

10、P點之間的子午弧長。,如圖可知,E,則,將上式代入,積分后整理得：,由于最后一項很小，通常忽略不計。,根據(jù)克拉索夫斯基橢球元素，子午弧長計算公式為：,根據(jù)1975年國際橢球元素，子午弧長公式為：,公式的應用： （1）.計算子午圈長： 將B=900代入一個象限內(nèi)的子午弧長，其4倍為子午圈長,（2）.同一子午圈上兩個緯度為B1，B2的點之間的弧長計算:,、X=X2-X1， 其中X1為赤道至緯度為P1的點之間的弧長； X2為赤道至緯度為P2的點之間的弧長。,、也可直接將X展開為B=B2-B1的級數(shù)：,由式,在P1點處展開，得：,1,得：,1,也可在Pm處展開：,代入相關數(shù)值得：,對于小于40km的弧

11、長，可進一步簡化為：,（3）、由X計算B的反算公式：,進而可得：,對于小段弧，則可用下式求B ：,二、由子午線長度球大地緯度：,1、迭代法：（采用克拉索夫斯基橢球參數(shù)計算）,第一步：計算Bf的初始值：,以后每步按下式反復迭代計算：,計算步驟：,根據(jù)子午弧長計算公式,2、直接法：（采用1975年橢球參數(shù)計算）,令,則,利用三角級數(shù)回代公式：,根據(jù)弧長計算公式,可得：,三、平行圈的半徑與弧長,可見，相同經(jīng)差在不同緯度的平行圈上的弧長是不同的，在赤道最長，越靠近兩極越小。,由子午平面直角坐標與大地坐標的關系可知平行圈半徑：,那么，平行圈上兩點之間的弧長為：,將相應的偏導數(shù)代入有：,令,，由于,則,針

12、對相同經(jīng)度差，比較不同緯度上弧長的變化：,四、子午線弧長和平行圈弧長變化的比較 單位緯度差的子午線弧長隨緯度升高而緩慢地增長，而單位經(jīng)度差的平行圈弧長則隨緯度升高而急劇縮短。 如右圖： AB-BC 緩慢減少 BD-CE 急劇縮短,五、利用經(jīng)緯格網(wǎng)計算橢球面的面積,如圖可知，橢球面梯形面積微分可用下列式子表示：,那么，橢球面梯形面積為：,據(jù)此可以計算整個地球橢球面積約為5.1億km2. 如果假設地球為圓球，則表面積為4R2=R=6371km,將（1-e2sin2B）-2展開為級數(shù),則:,將L2-L1=2,B1=0,B2= /2代入上式,并將其值乘以2,則可得地球橢球的全面積PE.,4.5- 大地

13、線,如圖，AB兩點緯度不同，在A點安置經(jīng)緯儀照準B點（設不考慮垂線偏差，即鉛垂線與法線重合）。 A點的法線（鉛垂線）與B點的法線（鉛垂線）不共面。 說明A-B點的照準面與B-A點的照準面不重合。 AB之間存在兩條法截線。,一、法截弧與相對法截弧,引言 法截?。哼^橢球面上某點的法線的法截面與橢球面相交得到的曲線 問題：某點上安置經(jīng)緯儀，照準面？,如圖，AB兩點緯度不同，在A點安置儀器觀測B點，照準面與橢球面的交線AaB稱A點的正法截線，或B點的反法截線；在B點安置儀器觀測A點，照準面與橢球面的交線BbA稱B點的正法截線，或A點的反法截線。AaB與BbA稱A、B兩點的相對法截線。,相對法截弧： A

14、到B的法截弧與B到A的 法截弧稱為相對法截弧。,1、定義,2、法截弧的性質(zhì) 緯度不同的兩點其正反法截弧不重合 過A、B兩點的法線交短軸于na 、n b ，B1B2時，onaonb, na與nb不重合。當兩點不再同一子午圈上也不在同一平行圈上時，兩點間有兩條法截弧。當兩點在同一子午圈上或同一平行圈上，兩點間只有一條法截弧，即正反法截線重合。,如圖可知：,而,所以,可見，當B1B2時，OnaOnb, na與nb不重合。,思考：若AB兩點緯度相同，AB之間存在幾條法截線？為什么？ 若經(jīng)度相同，情況又如何？,、某點的緯度愈高，其法線與短 軸的交點愈低，即當B2B1時， Onb Ona,則法截線BbA偏

15、上， 而 AaB偏下。, 、由于當緯度不同時正反法 截線不重合，故在橢球面上A、B、C三點所測角度不能構(gòu)成閉合三角形。 解決辦法： 用大地線代替 相對法截線,二、大地線（測地線）,（1）、定義：橢球面上兩點間最短程曲線。,、大地線上每點的密切面（無限接近的三個點構(gòu)成的平面）都包含該點的法線。即大地線上各點的法線與曲面法線重合。各點的法線不相交，大地線是空間曲線。,、大地線上任何點的密切面就 是該點的法截面；,（2）、大地線的性質(zhì),、曲面上連接任何兩點的最短曲線必為大地線。,、大地線的曲率,顯然,子午圈和赤道及其上的弧段都是大地線.,（3）、正反法截線之間的夾角,（4）、大地線與正法截弧之間的夾

16、角為：,在一等三角測量中，可達千分之一二秒，不容忽視。,（5）、大地線與法截線長度之差只 有百萬分之一毫米，可以忽略。,在橢球面上進行測量計算時，應當以兩點間的大地線為依據(jù)，在地面上測得的方向、距離、角度等，應當歸算到相應大地線的方向、距離、角度。,三、大地線的微分方程和克萊勞方程,1、大地線的微分方程:即dL、dB、dA與dS 之間的關系式,如圖，P為大地線上任意一點，其經(jīng)度為L，緯度為B，該點 處大地線方位角訓A，當大地線增加dS到P1點時，L，B，A 的變化相應為dL、dB、dA、dS 。,dS在子午圈上分量P1P2=MdB,dS在平行圈上分量PP2=rdL=NcosBdL,又PP2P1

17、為一微分直角三角形，則有：,2,由此可得,1,由球面直角三角形p1p3N ，根據(jù)角的余弦定理有：,即：,又近似地認為：,因而有：,又因,三個微分關系式可整理為：,2、克萊勞方程,由,得,得微分方程,又因,解微分方程得克萊勞方程：,式中常數(shù)C亦稱大地線常數(shù),、克萊勞定理表明：在旋轉(zhuǎn)橢球面上，大地線各點的平行圈半徑與大地線在該點的大地方位角的正弦的乘積等于常數(shù)。,、稱大地線常數(shù)C的意義 當大地線穿越赤道時，B=0，A=A0，赤 道半徑為a，則：,當大地線與平行圈相切時，B=B0， A=900，r=r0，則：,、由克萊勞方程可知：,可見，某一大地線常數(shù)等于橢球半徑與該大地線穿越赤道時的大地方位角的正

18、弦乘積，或等于該大地線上具有最大緯度的那點的平行圈半徑。,則有：,、由于r=NcosB,克萊勞方程又可寫成： rsinA=NcosBsinA=C 設u為歸化緯度，a為長半徑，根據(jù)歸化緯度與子午平面直角坐標的關系有r=x=acosu，克萊勞方程還可表示為：,克萊勞方程的意義：是經(jīng)典的大地主題解算的基礎。,一、歸算原因與歸算要求 1、原因：測量計算是以參考橢球面和法為基準的，而野外地面觀測的基準線是鉛垂線，不是法線，而垂線與法線存在著垂線偏差，不能直接在地面上處理觀測成果，應將地面元素歸算到橢球面。 2、歸算的基本要求： （1）、以橢球面的法線為基準； （2）、將地面觀測元素化為橢球面上大地線的相

19、應元素。,4.6-將地面觀測值歸算至橢球面,二、將地面觀測的水平方向歸算至橢球面,將地面觀測的水平方向歸算至橢球面上的三差改正： 垂線偏差改正u：垂線偏差影起 標高差改正h ：照準點高于橢球面 截面差改正g：正反法截弧不重合,在R1RM中，由球面正弦定理得：,1、垂線偏差改正u：如圖A為測站，M為觀測目標，若M在ZZ1O垂直面內(nèi)，無論以垂線為基準還是以法線為準，照準面均為ZZ1O，若M不在ZZ1O垂直面內(nèi)，以垂線為基準的照準面為Z1MR1，以法線為基準的照準面為ZMR，以AO方向為參考方向，OAR1與OAR相差u= RAR1。,P,在球面ZZ1M中，根據(jù)正弦定理有：,由上式可見,垂線偏差 改正

20、主要與測站點的 垂線偏差和觀測方向 的天頂距(或豎直角) 有關.,2、標高差改正h： 由照準點高度引起的改正 經(jīng)過垂線偏差改正后，測站點的觀測值已加垂線垂線偏差改正，其法線便與垂線一致，測站高度對水平方向無影響。則通過某一照準點只能有一個法截面（黃色面）。 由于不在同一子午面或同一平行圈上的兩點的法線是不共面的，當照準點高出橢球面某一高度時，照準面就不能通過照準點的法線與橢球面的交點（綠色面），由此引起方向偏差h.,標高改正主要與照準點的高程有關。 經(jīng)此改正后,地面觀測的水平方向值歸化為橢球面上相應法截弧方向。,3、截面差改正:將法截弧方向化為大地線方向應加的改正。,式中,N1為測站處的卯酉曲

21、率半徑。該項改正很小，100公里約0.03”，只有一等控制網(wǎng)才估計此項改正。,經(jīng)過以上三項改正，則將地面方向觀測值歸算到橢球面上大地線的相應方向元素。,經(jīng)過三項改正，則將地面方向觀測值歸算到橢球面上大地線的相應方向元素。,三、將地面觀測的長度歸算至橢球面,根據(jù)測距方法不同，有兩種情形：基線尺量距的歸算與電磁 波測距歸算.,1、基線尺量距的歸算（學生自學）： 將基線尺量取的距離經(jīng)傾斜改正后，可認為是基線平均高程 （Hm）面上的長度S0，平均高程面上的長度S0歸算至橢球面 上的大地線長 s。,（1）、垂線偏差對長度的影響,、垂線偏差在任方向（方位角為A）的分量：,、垂線偏差對長度的影響 即水準面不

22、平行于橢球面對長度的影響。,設u1與u2是A、B兩點在基線方向的垂 線偏差分量，又設垂線偏差沿基線方向 是線性變化的，則有：,如圖h為A、B兩點的高差，可用水準測量得到， D為A、B兩點在水準面上的距，S0為在平均高 的橢球面距離，由于垂線偏差的存在，水準面 不平行橢球面，D與S0不相等。,由圖可知：,那么有：,即：,進而可得：,經(jīng)過垂線偏差改正，基線平均水準面則平行于橢球面。,該項改正主要與垂線偏差分量u及基線端點的大地高差h 有關，數(shù)值較小，根據(jù)具體情況決定是否改正。,、高程對長度歸算的影響,如圖可知：,其中,將上式展開高極數(shù)，取至二次項有：,可得：,顧及以上兩項改正，地面基線歸算到橢球面

23、上的長度公式：,至此，便將地面基線長度歸算到橢球面上的長度。,測線端點A、B的大地高為：,2、電磁波測距的歸算,由于法截線長度與大地線長度相差很小，法截線長度與 以起點A曲率半徑為半徑的圓弧長相差也很小，則可認為大地 線長是半徑為RA的圓弧長。,i為儀高，v為覘標高，為高程異常。,1）、電磁波測距的歸算公式,在Q1Q2O中，由余弦定理有：,根據(jù)三角函數(shù)半角公式有：,則,上式則為電磁波測距的歸算公式。 下面將上式進一步化簡，令H1H2Hm=(H1+H2)/2,h=H2-H1,則：,展開級數(shù)，舍去五次項則，得：,按反正弦函數(shù),1,經(jīng)過以上各項改正，則將電磁波測距儀所測斜距公算到參考橢球面上。,由上

24、式可知： 第一項原始斜距 第二項是由兩點高差引起的改正，經(jīng)此改正將測線化為平距； 第三項是由平均測線高出參考橢球面引起的改正，經(jīng)此改正后測線變?yōu)橄揖€； 第四項為由弦線變?yōu)榛【€的改正。,可以證明：橢球半徑的誤差對邊長歸算結(jié)果影響很小，而高差誤差對邊長歸算比較敏感。 弦長公式：,1,四、將地面觀測高程歸算至大地高程,4.7-大地測量主題解算概述,大地元素：大地經(jīng)度L、大地緯度B、大地線長S、正反大地方 位角A12與A21。 ？ 大地主題解算：已知某些大地元素推求另一些大地元素，分為 正解與反解,已知Pl點的大地坐標(L1，B1)，P1至P2的大地線長S及其大地方位角A12，計算P2點的大 地坐標(

25、L2，B2)和大地線S在P2點的反方位角A21，這類問題叫做大地主題正解。,1、大地主題正解：已知(L1 ，B1)， A12，S，計算(L2 ，B2)，A21,一、大地主題解算定義,由于計算公式均為極數(shù)式，收斂速度不同，解算精度與S有關，故根據(jù)大地線的長短，大地主題解算可分為： 短距離(400km以內(nèi))， 中距離(400l000km) 及 長距離(1000km以上) 三種。,如果已知P1和P2點的大地坐標(L1，B1)和(L2，B2)，計算P1至P2的大地線長S及其正、反方位角A12，A21，這類問題叫做大地主題反解。,2、大地主題反解：已知(L1，B1)， (L2， B2)， 計算A12，S

26、12 ，A21,3、大地主題解算方法：70余種，按基本思想可分為以下幾類:,（1）、以大地線微分方程為基礎：,勒讓德級數(shù)式，高斯平均引數(shù)公式都是以大地線微分方程為基礎。,這類方法特點：解算精度與距離有關，距離越長，收斂越慢，只適用于較短距離。,（2）、白塞爾大地主題解算方法 基本思想:,基本特點：解算精度與距離無關，既適合短距離解算，又適合 長距離解算。（展開式為e2或e2的極數(shù)）,（3）、利用地圖投影理論進行大地主題解算；,（4）、對大地微分方程進行數(shù)值積分的大地主題解算方法；,（5）、依據(jù)大地線外的其它線為基礎的大地主題解算方法。,二、大地微分方程解法,已知P1（L1，B1），則在P1處大

27、地方位角為A12的大地線S上 的任意點P2（L2，B2）及其大地方位角A21必是大地線的長度 S 的函數(shù):,B2=B(S） L2=L(S) A21=A(S),在P1處展開為S 的級數(shù)有：,大地主題正解公式,若能求出各階導數(shù)，便可得正解公式。下面來求各階導數(shù):,由大地線的微分公式，得其一階導數(shù)為：,同理，可求出B對S的高階導數(shù)以及L、A對S的各階導數(shù)。代入麥克勞林級數(shù)展開式，即可得正算公式。,并將上述符號及各階導數(shù)代入級數(shù)展開式即可大地正解公式：,引用符號,因其級數(shù)收斂較慢，只適用于邊長短于30km的情況。,1）、基本思想：、把勒讓德在大地線中點M展開，以使項數(shù)少，收斂快，精度高。 、由于求定中

28、點M很復雜，將M點用大地線兩端點平均緯度及平均方位角相對應的m點來代替，并用迭代計算實現(xiàn)大地主題正算。,三、高斯平均引數(shù)公式,1、高斯平均引數(shù)正算公式： 已知(L1,B1)，A12，S12，計算(L2， B2)，A21。,設M點是大地線P1P2的中點，P1P2=S則有：MP2 =S/2，MP1=-S/2仿勒讓德級數(shù)，在M點展開得：,2）、公式推導：,類似地，有：,若能求得以上各式中的各階導數(shù)，便可得到高斯引平均數(shù)正 算公式。下面來討論相關計算。,類似地，有：,其中：,式中:,先來求 的各階導數(shù) ：,已知：,由大地線微分方程：,可知,是大地緯度B和大地方位角A的函數(shù)，那么有：,將上式中的系數(shù)在均

29、點Bm，Am處再展開為級數(shù)得：,目的：求,各階系數(shù),注意：中點M并非均點m,亦即：,由大地線的微分公式：,對上式求導，得：,由于BM與Bm相差很小，?。?將以上各式代入以下：,便將求 化為求 各階導數(shù)、（BM-Bm）及（AM-Am）.,將以上各式代入正式便可得 ：,將上式兩邊同乘以S得：,令,將上所求代入：,將上所求代入：,可得：,依照以上可得：,以上三式可用于解算120km主題問題，當距離小于70km時，可略去m2項。,進而：,因計算Bm , Lm，Am 要用到B2 , L2 , A2 ，而B2 , L2 , A2為求知量，因此需要迭代計算。,3）、用迭代法計算Bm , Lm，Am,B、則B

30、m,Am,Lm的初值為：,A、由4-221式：,C、迭代計算公式為：,直到：,其中B（K） ，A（K）可用下式計算。,D：最后結(jié)果：,2、高斯平均引數(shù)反算公式,已知(L1，B1)， ( L2 ，B2)， 計算A12，S12 ，A21.,由于已知(L1，B1)， ( L2 ，B2)， B，L，Bm亦已知. 那么可由正解公式推求反算公式.,由正算公式,移項，將分母采用級數(shù)展開，整理可得:,右端第二項與第一項相比為小量，可以作近似：,將右端第二項中所含SsinAm，ScosAm用上式右端代入可得：,由此求出SsinAm，ScosAm，便可得平均方位角和大地線長度如下：,再將以上求得的 SsinAm，

31、ScosAm 代入下式,又可求得A，最后得起終點的大地方位角為：,1,2,一、地圖數(shù)學投影變換的意義和投影方程 1、地圖數(shù)學投影： 將橢球面上的元素（L，B，A，S） 按一定的數(shù)學法則投影到平面上。 投影方程可表示為： X=F1(L,B) Y=F2(L,B) 上式表達了橢球面上一點同投影面上相應點坐標之間的解析關系，也叫坐標投影方程，F(xiàn)1和F2稱投影函數(shù)。 2、地圖投影主要研究內(nèi)容： 1）、 投影方法 2）、投影方程的解析式 投影方法的本質(zhì)特征都是由投影條件和投影函數(shù)F的具體形式?jīng)Q定的。,4.8- 地圖數(shù)學投影變換的基本概念,二、地圖的投影變形 1、長度比m：投影面上無限小微分線段ds與橢球面

32、上相應的微分線段dS之比。 （1）、不同點的長度比不同 （2）、同一點上不同方向的長度比不同 （3）、m可大于1，等于1，小于1。,2、主方向和變形橢圓,（1）、主方向：在橢球面上有兩個正交的方向投影到平面上后仍然正交，則這兩個方向為主方向。 性質(zhì)：主方向投影后具有最大和最小長度比。,（2） 變形橢圓 若對應于最大和最小長度比方向在橢球 面上為x軸和y軸方向，在投影面上為x和y方向，a為x軸 方向的長度比,b為y軸方向的長度比,則有：,即,則變形橢圓方程為,單位圓,3、投影變形 （1）、長度變形v ：長度比m與1之差 v=m -1,任意方向的長度比m:,投影后的變形橢圓,投影前的單位圓,單位圓

33、,（2）、方向變形:設投影前從主方向起OP的方位角為,投影后OP的方位角為, (-)之差稱為方向變形.,某方向（以主方向起始） 投影后為1，則有：,由三角公式，得：,顯然，當 =時,亦即在主方向,沒有方向變形 當 + = 90或 270 時，方向變形最大, 若 0與 0為最大變形方向，則最大變形量可表示為：,顧及：,解得最大變形方向為：,（3）、角度變形：投影前的角度u與投影后的角度u之差。 u=u-u,兩方向、所夾角u的變形稱為角度變形，用u表示。即：,投影后的角度u,若角度變形最大，則方向變形應最大，即,思考：直觀上理解，角度變形與方向變形有何關系？,顯然，當 + = 90、 + = 27

34、0 或 += 270、 + = 90 時，角度變形最大，最大角度變形可表示為：,角度變形是方向變形的兩倍,（4）、面積變形：p-1 原面單位圓面積為，投影后變形橢圓面積ab,則投影面積 比為：,得面積變形(p-1)。,其中，a為x軸方向的長度比, b為y軸方向的長度比。,四、地圖投影分類 1、按變形性質(zhì)分： 、等角投影正形投影：長度比只與位置有關，與方向無關，某點的長度比為一常數(shù)。 a-b=0 或 a = b 、等積投影：投影前后面積不變，即面積比為1。 P=ab=1 、等距投影：某一主方向長度比為1。 a=1 或 b=1 任意投影：ab，ab1,2、按采用的投影面和投影方式分類,一、控制測量

35、對地圖投影的要求 1、應采用等角投影 等角投影的優(yōu)點: .可以免除大量角度觀測元素的投影歸算工作； .可以在有限的范圍內(nèi)使地圖上圖形與橢球上原形保持相似。 2、長度和面積變形應不大 .能用簡單的公式計算變形改正數(shù)； 3、分帶投影 .為了使變形量控制在一定范圍內(nèi)應分帶投影，各帶可聯(lián)成一整體，并能相互換算。,4.9- 高斯平面直角坐標系,二、高斯投影 由高斯提出并最先使用（但未發(fā)表），由史賴伯1866年整理發(fā)表，后來，克呂格對其補充和完善。所以又稱高斯-克呂格投影。 假想將地球橢球套在一個橢圓柱筒內(nèi)，地球橢球的某一子午線（中央子午線）與橢圓柱相切，用一定的投影方法將中央子午線兩側(cè)一定范圍內(nèi)的地區(qū)投

36、影到橢圓柱面上，再將橢圓柱面展開為平面。 目前，英國、美國、德國、中國、俄羅斯等均采用該投影。,2、高斯投影（正形投影）的性質(zhì)： （1）投影后角度不變 （2）長度比與點位有關，與方向無關 （3）離中央子午線越遠變形越大 （4）投影后，除中央子午線外，長度增大,3、高斯投影帶的劃分 為控制投影后的長度變形，采用分帶投影的方法。常用3度帶或6度帶分帶，城市或工程控制網(wǎng)坐標采用任意帶分帶。,1、高斯投影的條件： （1）、是正形投影，投影后角度不變； （2）、中央子午線不變形,已知6度帶的帶號n計算其中央子午線的經(jīng)度L0：,已知某點的經(jīng)度L計算其所在6度帶的帶號n：,已知3度帶的帶號n計算其中央子午線

37、的經(jīng)度L0：,已知某點的經(jīng)度L計算其所在3度帶的帶號n：,4、國家統(tǒng)一坐標 理論上中央子午線的投影是 x 軸，赤道的投影是 y 軸，其交點是坐標原點。 x 坐標是點至赤道的距離； y 坐標是點至中央子午線的距離，有正有負。 為了避免 y 坐標出現(xiàn)負值，其名義坐標加上 500 公里。 為了區(qū)分不同投影帶中的點，在點的Y坐標值上加帶號N 所以點的橫坐標通用表示的值為 y = N1000000+500000+y,1919年德國學者巴烏蓋爾建議采用30帶，將坐標縱軸西移500 km，并在縱坐標前冠以帶號。,5、橢球面元素化算到高斯投影面,主要內(nèi)容：,（1）. （L，B）=（x，y)，稱之為高斯正算；

38、為了檢核，還要反算，即(x,y) = （L，B）,（2）.角度：將橢球面上起算大地方位角APK歸算到高斯平面上相應.邊PK的坐標方位角PK，需計算收斂角與方向改化。,（3）.邊長：將橢球面上起邊PK長S歸算到高斯平面上的直線長s。,（4）、內(nèi)角：將橢球面上各三角形內(nèi)角歸算到高斯平面上由相應直線組成的三角形內(nèi)角。需計算曲率改化即方向改化。,三、正形投影的一般條件 高斯投影為正形投影的一種特例，故先研究正形投影的一般條件 出發(fā)點：在正形投影中，長度比與方向無關。 1、長度比的通用公式 如圖，在微分直角三角形 P1P2P3及P1P2P3中有：,則m2為：,令,則,因為q只與緯度B有關，所以稱q為等量

39、緯度，由于B與L相互獨立，因而dB與dl也相互獨立。,則長度比m2可表示為：,等量緯度的物理意義：相同的dq與dl所對應的橢球面上的弧長相同.,其中：r=NcosB,令,根據(jù)投影關系可知平面坐標x、y是大地坐標B、L的函數(shù)：,X=F1(L,B) Y=F2(L,B),那么平面坐標x、y必是等量緯度q、經(jīng)差l的函數(shù)，設其函數(shù)式為：,X=X(l,q) Y=Y(l,q),求微分，得dx、dy與dq與dl的關系式：,將上式代入,可得：,并令：,則，長度比公式為：,代入,2、柯西黎曼條件： 由圖可知：,當A=0或180 ，得經(jīng)線方向長度比：,當A = 90或270 ，得緯線方向長度比：,正形投影長度比與方

40、向A無關，要使m與A脫離關系，則必須滿 足F=0，E=G，即 ：,3,考慮到導數(shù)的方向（x隨q增加而增加, y隨l增加而增加），開根得：,再代入,由此可得橢球面到平面的正形投影的一般公式，又稱柯西黎曼條件：,同理可得由平面正形投影到橢球面上的一般條件：,當F=0，E=G時長度比公式可化為：,3、柯西黎曼條件的幾何意義,是A點處子午線收斂角。,平行圈微分弧上，B常數(shù),對投影方程全微分有：,子午微分弧上，L常數(shù),投影方程,那么,Y隨B增加而減少,那么,由上式可得 ：,柯西黎曼條件,進而可得子午線收斂角計算公式 ：,長度比計算公式 ：,高斯投影必須滿足的三個投影條件 中央子午線投影后為直線 中央子午

41、線投影后長度不變 正形投影條件，投影后角度不變 X為l的偶函數(shù)，y為l的奇函數(shù) 即當B常數(shù)，l以-l代換時，x值不變號，y值則變號,其中l(wèi)=L-L0，L0為中央子午線經(jīng)度。,四、高斯投影坐標的正反算公式,1、高斯投影正算公式 橢球面到平面的投影方程可表示為 x=x(l,B), y=y(l,B) 將以上兩式展開為經(jīng)差l的級數(shù)形式：,mi均為B的函數(shù)，且： x為l的偶函數(shù)，故只有偶數(shù)次項； y為l的奇函數(shù)，幫只有奇數(shù)資項。,式中：mi是緯度B的函數(shù)，也是等量緯度q的函數(shù) 如確定了各系數(shù)，則x，y與l，B的轉(zhuǎn)換關系式便確定了。,上兩式對l,q求偏導數(shù)有：,根據(jù)高斯投影的第三個條件：正形投影條件 （柯

42、西-黎曼條件）,則：,即：,可見，要求（x,y）與（l,q）的關系式，關鍵在于確定m0，m1， m3，其中關鍵又在于確定m0。,如圖，當l=0，即點在中央子午線上時，有x=m0=X,其中X為從赤道到緯度為B處中央子午線上的子午弧長?？梢杂没￠L計算公式求得。,那么可求得m0：,顧及子午弧長微分公式,及,則,那么可求得m1：,仿此依次求得m3，m4,可求得m2：,最后得高斯正算公式：,設從高斯平面投影到橢球面的投影方程為: B=1(x,y) l=2(x,y) 并滿足如下條件： （1）、x軸投影后為中央子午線，是投影的對稱軸 （2）、x軸長度投影后不變 （3）、正形投影 顯然B是y的偶函數(shù)，l是y的

43、奇函數(shù)。因而 投影方程可寫成如下級數(shù)形式:,2、高斯反算公式：,式中:n0，n1，n2，n3，是待定系數(shù)，都是x的函數(shù)。 若求出各系數(shù)，便可得到兩種坐標的換算關系式，下面來 求各系數(shù)：,又：,可得：,因面得：,令兩邊系數(shù)相等：,可見要求得n0,n1,n2，關鍵在于求n0。,當y=0時，x=X，中央子午線上與弧長X 對應的緯度用Bf表示，則 B= n0=Bf Bf稱為底點緯度，可以用弧長X計算得到。,那么n0為：,n0=Bf,又因為,可得n1為：,依次求得其它各系數(shù)：,將各系數(shù)代入級數(shù)式可得高斯反算公式：,1）、正算：由于l不大，將正算公式寫 成l的級數(shù)形式：,3、高斯投影正反算公式的幾何解釋：

44、,當l=0時，x=X，y=0,即位于P處； 當l0時， y0, xX，其差為x， 即位于P處。,正算是在中央子午線上P點展開l的級數(shù).,當y=0時，l=0,x=X,B=Bf； 當y0時，xX，BBf BBfB,反算是在中央子午線上P點展開y的級數(shù)。,2）、反算：由于y不大，將反算公式寫 成y的級數(shù)形式：,2）、高斯正、反算特點：,、橢球面上除中央子午線外，其它子午線投影 后，均向中央子午線彎曲，并向兩極收斂，同 時還對稱于中央子午線和赤道。 、橢球面上對稱于赤道的緯圈，投影后仍成為 關于赤道對稱的曲線，同時與子午線的投影曲線 互相垂直，并凹向兩極。 、距中央子午線愈遠的子午線，投影后彎曲愈 厲

45、害，長度變形也愈大。,4、高斯投影正反算公式的實用公式-P173-176：,五、 平面子午線收斂角的計算公式,沿平行圈緯度B不變，dq=0 ,求微分得：,1、用L，B計算 平面子午線收斂角的計算公式 如圖,兩曲線為子午線與平行圈在平面上的投影, 為收斂角.,求微分得：,對高斯正算公式,代入公式,可得：,根據(jù),進而可得：,1,根據(jù)三角學公式,可得,即,可見:,計算公式推導略,2、用x,y計算收斂角,經(jīng)整理，忽略y5以上項，則得到用平面坐標x，y計算子午線收 斂的公式：,3、計算收斂角的實用公式-P180,六、方向改化公式：,方向改正數(shù)：大地線投影曲線和其弦線之夾角。即由“曲改直”帶來的改正數(shù)。

46、目的：將曲邊三角形三內(nèi)角化為直邊三角形三內(nèi)角。 因每個角都要改正，所以工作量大，且又重要。,1、方向改化近似公式的推導,將橢球視為圓球，大地線則是 大圓弧。AB為大地線，AD、 BE為大圓弧，與軸子午線正交。 a、b點的方向改化分別為ab, ba,在大地線長度與y坐標不大 時可認為abba,保角投影前后角度相同，即,球面角超計算公式,其中為四邊形ABED的球面角超。,其中P為球面四邊形ABED的面 積，是個球面直角梯形，P可用 下式計算：,在中央子軸午線上，投影后長度不變，有,當橫坐標y不大時，忽略長度變形，可認為,那么,則得方向改正的計算公式：,考慮到方向值是順時針方向增加的，考慮其正負號后，使改正數(shù)是加到觀測值上方向改化公式可表示如下：,即,2、方向改化較精密公式（推導過程