1、北京市西城區(qū) 2011 年高三一模試卷 數(shù)學(xué)（理科） 2011. 4 第卷第卷（選擇題 共 40 分） 一、選擇題：本大題共一、選擇題：本大題共 8 8 小題，每小題小題，每小題 5 5 分，共分，共 4040 分分. . 在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出 符合題目要求的一項(xiàng)符合題目要求的一項(xiàng). . 1.1. 已知集合AxZ Zx 5，B x x2 0，則AI B等于 （A）(2,5)（B）2, 5)（C）2,3,4（D）3,4,5 2 2下列給出的函數(shù)中，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的是 （A）y 2 x （B）y x x 2 （C）y 2x（D）y x3 3 3.

2、設(shè)a log 2 3，b log 4 3，c 0.5，則 （A）c b a（B）b c a（C）b a c（D）c a b 4 4設(shè)向量a a (1,sin)，b b (3sin,1)，且a a/b b，則cos2等于 （A） 3 （B） 3 （C） 3 開始 （D） 3 5.5. 閱讀右側(cè)程序框圖，為使輸出的數(shù)據(jù)為31， 則處應(yīng)填的數(shù)字為 （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 S 1,i 1 i 是 否 S S 2i 輸出S i i1 結(jié)束 6.6.已知函數(shù)y sin x cosx，y 2 2sin xcos x，則下列結(jié)論正確的是 ,0)成中心對稱 4 （B）兩個(gè)函數(shù)的圖象均關(guān)于直線x

3、成中心對稱 4 （C）兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間( ,)上都是單調(diào)遞增函數(shù) 4 4 （A）兩個(gè)函數(shù)的圖象均關(guān)于點(diǎn)( （D）兩個(gè)函數(shù)的最小正周期相同 7 7已知曲線C : y 1 (x 0)及兩點(diǎn)A 1(x1,0) 和A 2 (x 2 ,0)，其中x 2 x 1 0.過A 1， A 2 分 x 別作x軸的垂線，交曲線C于B 1， B 2 兩點(diǎn)，直線B 1B2 與x軸交于點(diǎn)A 3 (x 3 ,0)，那么 （A）x 1, x 3,x 2 成等差數(shù)列 2 （B）x 1, x 3,x 2 成等比數(shù)列 2 （C）x 1,x3 ,x 2 成等差數(shù)列（D）x 1,x3 ,x 2 成等比數(shù)列 8 8如圖，四面體OABC的三

4、條棱OA,OB,OC兩兩垂直，OA OB 2,OC 3，D為 四面體OABC外一點(diǎn).給出下列命題. 不存在點(diǎn)D,使四面體ABCD有三個(gè)面是直角三角形 不存在點(diǎn)D,使四面體ABCD是正三棱錐 存在點(diǎn)D,使CD與AB垂直并且相等 存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)D,使點(diǎn)O在四面體ABCD的外接球面上 其中真命題的序號(hào)是 （A）（B）（C）（D） O A B C D 第卷第卷（非選擇題 共 110 分） 二、填空題：本大題共二、填空題：本大題共 6 6 小題，每小題小題，每小題 5 5 分，共分，共 3030 分分. . 9.9. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) 2i 對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為_. 1i C O B P 10.10.如

5、圖，從圓O外一點(diǎn)P引圓O的切線PA和割線PBC，已 知PA 2 2，PC 4，圓心O到BC的距離為 3，則 圓O的半徑為_. 1111.已知橢圓C : A x cos, 1 (R R )經(jīng)過點(diǎn)(m,)，則m _，離心率e _. 2 y 2sin 3 4 3 3 1212.一個(gè)棱錐的三視圖如圖所示， 則這個(gè)棱錐的體積為_. 正(主)視圖 3 4 側(cè)(左)視圖 俯視圖 1313.某展室有 9 個(gè)展臺(tái)， 現(xiàn)有3件展品需要展出， 要求每件展品獨(dú)自占用1個(gè)展臺(tái)， 并且3件 展品所選用的展臺(tái)既不在兩端又不相鄰，則不同的展出方法有_種；如果進(jìn)一步要 求3件展品所選用的展臺(tái)之間間隔不超過兩個(gè)展位，則不同的展出

6、方法有_種. 14.14.已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正整數(shù)，對于n 1,2,3,，有 3a n 5, a n為奇數(shù)， a n1 a n,a n為偶數(shù).其中k為使an1為奇數(shù)的正整數(shù) 2k 當(dāng)a 1 11時(shí)，a 100 _； 若存在mN N，當(dāng)n m且an為奇數(shù)時(shí)，an恒為常數(shù)p，則p的值為_. 三、解答題：本大題共三、解答題：本大題共 6 6 小題，共小題，共 8080 分分. .解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程. . 15.15.（本小題滿分（本小題滿分 1313 分）分） 設(shè)ABC中的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且cosB * 4 ,b

7、 2. 5 5 時(shí)，求角A的度數(shù)； 3 （）求ABC面積的最大值. （）當(dāng)a 1616 （本小題滿分（本小題滿分 1313 分）分） 甲、乙、丙三人獨(dú)立破譯同一份密碼，已知甲、乙、丙各自破譯出密碼的概率分別為 1 11 , p.且他們是否破譯出密碼互不影響.若三人中只有甲破譯出密碼的概率為 . 2 34 （）求甲乙二人中至少有一人破譯出密碼的概率； （）求p的值； （）設(shè)甲、乙、丙三人中破譯出密碼的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX. 17.17.（本小題滿分（本小題滿分 1313 分）分） 如圖,ABCD是邊長為3的正方形，DE 平面ABCD，AF /DE，DE 3AF， BE與平面ABC

8、D所成角為600. ()求證：AC 平面BDE； ()求二面角F BE D的余弦值； （） 設(shè)點(diǎn)M是線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 試確定點(diǎn)M的 位置，使得AM /平面BEF，并證明你的結(jié)論. 18.18. （本小題滿分（本小題滿分 1414 分）分） 已知函數(shù)f (x) A F E DC B a(x1) ，其中a 0. x2 （）求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間； （）若直線x y 1 0是曲線y f (x)的切線，求實(shí)數(shù)a的值； （）設(shè)g(x) xln x x f (x)，求g(x)在區(qū)間1,e 上的最大值. （其中e為自然對數(shù)的底數(shù)） 19.19. （本小題滿分（本小題滿分 1414 分）分） 已知拋物

9、線y 2px(p 0)的焦點(diǎn)為F，過F的直線交y軸正半軸于點(diǎn)P，交拋物 線于A,B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限. （）求證：以線段FA為直徑的圓與y軸相切； 2 2 uu u ruuu r uuu ruu u r 1 1 1 , ，求 2 的取值范圍.（）若FA 1 AP,BF 2 FA, 2 4 2 20.20.（本小題滿分（本小題滿分 1313 分）分） 定義(a1,a2, ,an) |a 1 a 2 |a 2 a 3 |L |a n1 a n |為有限項(xiàng)數(shù)列a n 的波 動(dòng)強(qiáng)度. n （）當(dāng)an (1)時(shí)，求(a 1,a2 ,L ,a 100 )； （）若數(shù)列a,b,c,d滿足(ab)(bc

10、) 0，求證：(a,b,c,d) (a,c,b,d)； （）設(shè)an各項(xiàng)均不相等，且交換數(shù)列an中任何相鄰兩項(xiàng)的位置，都會(huì)使數(shù)列的 波動(dòng)強(qiáng)度增加，求證：數(shù)列an一定是遞增數(shù)列或遞減數(shù)列. 北京市西城區(qū) 2011 年高三一模試卷 參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 數(shù)學(xué)（理科） 2011.4 一、選擇題：本大題共一、選擇題：本大題共 8 8 小題，每小題小題，每小題 5 5 分，共分，共 4040 分分. . 題號(hào) 答案 1 C 2 B 3 A 4 D 5 B 6 C 7 A 8 D 二、填空題：本大題共二、填空題：本大題共 6 6 小題，每小題小題，每小題 5 5 分，共分，共 3030 分分. . 9.9.

11、2 10.10.211.11. 315 ， 24 12.12. 12 13.13.60，4814.14.62；1或5 注：11 題，13 題，14 題第一問 2 分，第二問 3 分. 三、解答題：本大題共三、解答題：本大題共 6 6 小題，共小題，共 8080 分分. .若考生的解法與本解答不同，正確者可參照評分標(biāo)準(zhǔn)給分若考生的解法與本解答不同，正確者可參照評分標(biāo)準(zhǔn)給分. . 15.（本小題滿分（本小題滿分 1313 分）分） 解： （）因?yàn)閏osB 43 ，所以sin B .2 分 55 5ab1 因?yàn)閍 ，b 2，由正弦定理可得sin A .4 分 3sin Asin B2 因?yàn)閍 b，所

12、以A是銳角， 所以A 30.6 分 o （）因?yàn)锳BC的面積S 13 acsin B ac， 7 分 210 22 所以當(dāng)ac最大時(shí)，ABC的面積最大. 因?yàn)閎 a c 2accosB，所以4 a c 因?yàn)閍 c 2ac，所以2ac 22 222 8 ac. 9 分 5 8 ac 4， 11 分 5 所以ac 10， （當(dāng)a c 10時(shí)等號(hào)成立） 12 分 所以ABC面積的最大值為3.13 分 16.（本小題滿分（本小題滿分 1313 分）分） 解：解：記“甲、乙、丙三人各自破譯出密碼”分別為事件A 1 , A 2 , A 3 ，依題意有 11 P(A 1) ,P(A 2 ) ,P(A 3 )

13、 p,且A 1 , A 2 , A 3 相互獨(dú)立. 23 （）甲、乙二人中至少有一人破譯出密碼的概率為 122 1 P(A 1 A 2 )1 . D FC 3 分 233 y （）設(shè)“三人中只有甲破譯出密碼”為事件B，則有 A 121 p B ，5 分P(B) P(A 1 A 2 A 3 )(1 p) x 233 1 p11 所以，p .7 分 344 （）X的所有可能取值為0,1,2,3.8 分 所以P(X 0) 1 ， 4 P(X 1)P(A 1 A 2 A 3 )P(A 1 A 2 A 3 )P(A 1 A 2 A 3 ) 111312111 ， 423423424 P(X 2) P(A

14、 1 A 2 A 3 )P(A 1 A 2 A 3 )P(A 1 A 2 A 3 ) 1131211111 ， 2342342344 1111 .11 分P(X 3)=P(A 1 A 2 A 3 ) 23424 X分布列為： 03X21 11111 P 424424 12 分 所以，E(X) 0 17.17.（本小題滿分（本小題滿分 1313 分）分） ()證明： 因?yàn)镈E 平面ABCD， 所以DE AC.2 分 因?yàn)锳BCD是正方形， 所以AC BD， 從而AC 平面BDE.4 分 ()解：因?yàn)镈A, DC,DE兩兩垂直， 所以建立空間直角坐標(biāo)系D xyz如圖所示. F D M C y E

15、z 1111113 123 .13 分 42442412 A B x 0o 因?yàn)锽E與平面ABCD所成角為60，即DBE 60，5 分 所以 ED 3. DB 由AD 3可知DE 3 6，AF 6. 6 分 則A(3,0,0)，F(xiàn)(3,0, 6)，E(0,0,36)，B(3,3,0)，C(0,3,0)， uuu ruuu r 所以BF (0,3, 6)，EF (3,0, 2 6)，7 分 uuu r n nBF 03y 6z 0 設(shè)平面BEF的法向量為n n (x, y,z)，則uuu，即，r n nEF 03x2 6z 0 令z 6，則n n (4,2,6). 8 分 uu u ruuu r

16、 因?yàn)锳C 平面BDE，所以CA為平面BDE的法向量，CA (3,3,0)， uuu r uuu r n nCA613 所以cosn n,CA .9 分uuu r 13 n n CA3 226 因?yàn)槎娼菫殇J角，所以二面角F BE D的余弦值為 ()解：點(diǎn)M是線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)M(t,t,0). 13 .10 分 13 uuuu r AM (t 3,t,0)， 則 因?yàn)锳M /平面BEF， uuuu r 所以AM n n0，11 分 即4(t 3)2t 0，解得t 2.12 分 此時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為(2,2,0)，BM 18.18. （本小題滿分（本小題滿分 1414 分）分） 解： （）f

17、(x) 1 BD，符合題意. 13 分 3 a(2 x) ， （x 0） ，3 分 x3 在區(qū)間(,0)和(2,)上，f (x) 0；在區(qū)間(0,2)上，f (x) 0. 所以，f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(,0)和(2,)，單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2).4 分 a(x 0 1) y 0 x 0 2 （）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0, y0)，則x 0 y 0 1 0 7 分（1 個(gè)方程 1 分） a(2 x ) 01 3 x 0 解得x01，a 1.8 分 （）g(x) xln xa(x1)， 則g(x) ln x1a，9 分 解g (x)0，得xe 所以，在區(qū)間(0,e 在區(qū)間(e 當(dāng)ea 1 a 1 a

18、 1， )上，g(x)為遞減函數(shù)， a 1,)上，g(x)為遞增函數(shù). 10 分 1，即0a1時(shí)，在區(qū)間1, e上，g(x)為遞增函數(shù)， 所以g(x)最大值為g(e) eaae.11 分 當(dāng)ea 1e，即a2時(shí)，在區(qū)間1, e上，g(x)為遞減函數(shù)， 所以g(x)最大值為g(1) 0.12 分 a 1 當(dāng)1 e e，即1a2時(shí)，g(x)的最大值為g(e)和g(1)中較大者； e ，g(e) g(1) aeae0，解得a e 1 e 所以，1 a 時(shí)，g(x)最大值為g(e) eaae，13 分 e 1 e a2時(shí)，g(x)最大值為g(1) 0. 14 分 e 1 ee 綜上所述，當(dāng)0 a 時(shí)，

19、g(x)最大值為g(e) eaae，當(dāng)a時(shí)，g(x)的最大值 e 1e 1 為g(1) 0. 19.19. （本小題滿分（本小題滿分 1414 分）分） 解：解： （）由已知F ( p ,0),設(shè)A(x 1,y1)，則 y 1 22px 1 ， 2 2xp y 1 2xp 圓心坐標(biāo)為( 1 ，2 分 ,)，圓心到y(tǒng)軸的距離為1 424 圓的半徑為 FA12xpp x 1 ()1 ，4 分 2224 所以，以線段FA為直徑的圓與y軸相切.5 分 uu u ruuu r uuu ruu u r （）解法一：設(shè)P(0,y0), B(x 2 ,y 2 )，由FA 1 AP,BF 2 FA,得 ppp

20、(x 1 ,y 1)1( x1,y0 y 1)， (x 2 , y 2 ) 2 (x 1 ,y 1)， 6 分 222 p 所以x 11x1 ,y 11(y0 y 1)， 2 pp x 22 (x 1 ),y 22 y 1 ，8 分 22 222 由y2 2 y 1 ，得y2 2 y 1 . 22 又y 1 2px 1 ，y2 2px 2 ， 2 所以 x 22 x 1 .10 分 代入 ppppp x 2 2 (x 1 )，得 2 2x 1 2 (x 1 )，(1 2 ) x 12 (1 2 )， 22222 p ，12 分整理得x 1 2 2 代入x p 2 p 1 1x1 ，得 2 p

21、2 1 p 2 ， 22 所以 1 1 1 2 ， 2 因?yàn)?1 1 4 , 1 2 ，所以 4 2 的取值范圍是 3 ,2. 2 解法二：解法二：設(shè)A(x (x p 1 , y 1 ),B 2 , y 2 )，AB: x my 2 ， 將x my p 2 代入y2 2px，得y22pmy p2 0， 所以y 2 1 y 2 p （*） ， 由 u FA u u r uuu ruuu ruu u r 1 AP，BF 2 FA，得 (x 1 p 2 , y(x pp 1) 11, y0 y 1) ，( 2 x 2 ,y 2 ) 2 (x 1 2 , y 1) ， 所以，x p 1 2 1x1 ,

22、 y 1 1(y0 y 1) ， p 2 x p 2 2 (x 1 2 ), y 2 2 y 1 ， 2 將y2 2 y 1 代入（*）式，得y 2 p 1 ， 2 所以2px p2 1 ，x 1 p . 2 2 2 代入x p 1 2 1 1x1 ，得 11. 2 2 因?yàn)?1 1 4 , 1 2 ，所以 4 2 的取值范圍是 3 ,2. 2 20 （本小題滿分（本小題滿分 1313 分）分） （）解：(a 1,a2 ,L ,a 100 ) |a 1 a 2 |a 2 a 3 | L |a 99 a 100 | 22L 2 299 198 . （）證明：因?yàn)?a,b,c,d) |ab|bc|cd |， 13 分 14 分 6 分 7 分 8 分 10 分 12 分 13 分 14 分 1 分 3 分 (a,c,b,d) |ac| |cb|bd |， 所以(a,b,c,d)(a,c,b,d) |ab| |cd | |ac| |bd |.4 分 因?yàn)?ab)(bc) 0，所以a b c，或a b c. 若a b c，則 (a,b,c,d)(a,c,b,d) a b|cd | ac|bd | cb|cd |bd | 當(dāng)b c d時(shí)，上式 cbcd (bd) 2(