1、第二章 推 理 與 證 明,2.1合情推理與演繹推理1,從前有個(gè)財(cái)主，想教兒子識(shí)字，請(qǐng)來一位教書先生.先生把著學(xué)生的筆桿兒，寫一橫，告訴是個(gè)“一”字；寫兩橫，告訴是個(gè)“二”字；寫三橫，告訴是個(gè)“三”字.學(xué)到這里，兒子就告訴父親說： “我已經(jīng)學(xué)會(huì)了寫字，不 用先生再教了.”于是， 財(cái)主就把教書先生給辭退了.,一天，財(cái)主要邀請(qǐng)一位姓萬的朋友，叫兒子寫張請(qǐng)?zhí)?,財(cái)主的兒子怎么寫的?,情景導(dǎo)學(xué),探究點(diǎn)1 歸納推理,【1】1742年哥德巴赫(Goldbach ,16901764, 是德國(guó)一位中學(xué)教師,也是一位著名的數(shù)學(xué)家, 1725年當(dāng)選為俄國(guó)彼得堡科學(xué)院院士)觀察到:,新知探究,猜想:任何一個(gè)不小于6

2、的偶數(shù)都等于兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和.,任何一個(gè)不小于6的偶數(shù)都等于兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和.,哥德巴赫猜想,哥德巴赫猜想的過程：,具體的材料,觀察分析,猜想出一般性的結(jié)論,【3】成語“一葉知秋”,【2】統(tǒng)計(jì)初步中的用樣本估計(jì)總體,通過從總體中抽取部分對(duì)象進(jìn)行觀測(cè)或試驗(yàn), 進(jìn)而對(duì)整體作出推斷.,意思是從一片樹葉的凋落,知道秋天將要來到.比喻由細(xì)微的跡象看出整體形勢(shì)的變化,由部分推知全體.,由某類事物的 具有某些特征,推出 該類事物的 都具有這些特征的推理,或者由 概括出 的推理,稱為歸納推理（簡(jiǎn) 稱歸納）.,歸納推理,特點(diǎn)：部分 整體，個(gè)別 一般.,銅、鐵、鋁、金、銀等金屬都能導(dǎo)電，,猜想:所有金屬都導(dǎo)電.,又如

3、,猜想:,部分對(duì)象,全部對(duì)象,個(gè)別事實(shí),一般結(jié)論,概念解析,分析：數(shù)列的通項(xiàng)公式表示的是數(shù)列an的第n項(xiàng)an與序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.為此，我們先根據(jù)已知的遞推公式，算出數(shù)列的前幾項(xiàng).,解:當(dāng)n=1時(shí)，a1=1;,當(dāng)n=2時(shí)，,例題解析,當(dāng)n=3時(shí)，,當(dāng)n=4時(shí)，,觀察可得，數(shù)列的前4項(xiàng)都等于相應(yīng)序號(hào)的倒數(shù). 由此猜想，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為,春秋時(shí)代的魯班在林中砍柴時(shí)被齒形草葉割破了手,他由此受到啟發(fā)從而發(fā)明了鋸.,探究點(diǎn)2 類比推理,新知探究,類似于魯班發(fā)明鋸子，還有一些發(fā)明或發(fā)現(xiàn)也是這樣得到的.,魚類,潛水艇,蜻蜓,直升機(jī),仿生學(xué)中許多發(fā)明的最初構(gòu)想都是類比生物機(jī)制得到的.,可能有生命存在,

4、有生命存在,溫度適合生物的生存,一年中有四季的變更,有大氣層,行星、圍繞太陽運(yùn)行、繞軸自轉(zhuǎn),火星,地球,火星上是否有生命？,火星與地球類比的思維過程：,火星,地球,存在類 似特征,類比推理的過程（步驟）,觀察、比較,聯(lián)想、類推,猜想新結(jié)論,由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征,推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理.,類比推理,(1)類比推理是由特殊到特殊的推理.,(2)運(yùn)用類比推理常常先要尋找合適的類比對(duì)象,我們可以從不同的角度出發(fā)確定類比對(duì)象,基本原則是要根據(jù)當(dāng)前問題的需要,選擇適當(dāng)?shù)念惐葘?duì)象.,概念解析,(1)類比是從人們已經(jīng)掌握的事物的屬性,推斷正在研究中的事

5、物的屬性,它以已有知識(shí)為基礎(chǔ),類比出新的結(jié)論.,(2)是從一事物的特殊屬性推斷另一種事物的特殊屬性.,(3)類比的結(jié)果具有猜測(cè)性.,類比推理的特點(diǎn),例2 類比實(shí)數(shù)的加法和乘法，列出它們相似的運(yùn)算性質(zhì).,分析：實(shí)數(shù)的加法和乘法都是由兩個(gè)數(shù)參與的運(yùn)算，都滿足一定的運(yùn)算律，都存在逆運(yùn)算，而且“0”和“1”分別在加法和乘法中占有特殊的地位.因此，我們可以從上述4個(gè)方面來類比這兩種運(yùn)算.,解：（1）兩個(gè)實(shí)數(shù)經(jīng)過加法運(yùn)算或乘法運(yùn)算后，所得的結(jié)果仍然是一個(gè)實(shí)數(shù).,例題解析,(2)從運(yùn)算律的角度考慮，加法和乘法都滿足交換律和結(jié)合律，即,(3)從逆運(yùn)算的角度考慮，二者都有逆運(yùn)算，加法的逆運(yùn)算是減法，乘法的逆運(yùn)算

6、是除法，這就使得方程,都有唯一解,(4)在加法中，任意實(shí)數(shù)與0相加都不改變大?。怀朔ㄖ械?與加法中的0類似，即任意實(shí)數(shù)與1的積都等于原來的數(shù).即,三角形,思考：你認(rèn)為平面幾何中的哪一類圖形可以作為四面體的類比對(duì)象？,例3：類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想,分析：考慮到直角三角形的兩條邊互相垂直，我們可以選取有3個(gè)面兩兩垂直的四面體，作為直角三角形的類比對(duì)象.,解：如上圖，在RtABC中，C=90.設(shè)a,b,c分別表示三條邊的長(zhǎng)度，由勾股定理，得,類比勾股定理的結(jié)構(gòu)，我們猜想,成立.,歸納小結(jié),提出猜想,觀察、分析、比較、聯(lián)想,歸納、類比,從具體問題出發(fā),通俗地說，合

7、情推理是指“合乎情理”的推理.,例4 如圖所示，有三根針和套在一根針上的若干金屬片.按下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上.,1.每次只能移動(dòng)1個(gè)金屬片； 2.較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面. 試推測(cè)：把n個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針,最少需要移動(dòng)多少次?,例題解析,分析：我們從移動(dòng)1,2,3,4個(gè)金屬片的情形入手，探究其中的規(guī)律性，進(jìn)而歸納出移動(dòng)n個(gè)金屬片所需的次數(shù).,解：當(dāng)n=1時(shí)，只需把金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針，用符號(hào)（13）表示，共移動(dòng)了1次. 當(dāng)n=2時(shí)，為了避免將較大的金屬片放在較小的金屬片上面，我們利用2號(hào)針作為“中間針”，移動(dòng)順序是：,（1）把第1個(gè)金屬片從1號(hào)針

8、移到2號(hào)針； （2）把第2個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針； （3）把第1個(gè)金屬片從2號(hào)針移到3號(hào)針； 用符號(hào)表示為：（12）（13）（23） 共移動(dòng)了3次. 當(dāng)n=3時(shí)，把上面兩個(gè)金屬片作為一個(gè)整體，歸結(jié)為n=2的情形，移動(dòng)順序是： （1）把上面兩個(gè)金屬片從1號(hào)針移到2號(hào)針；,（2）把第3個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針； （3）把上面兩個(gè)金屬片從2號(hào)針移到3號(hào)針； 其中（1）和（3）都需要借助中間針.用符號(hào)表示為： （13）（12）（32）；（13）；（21）（23）（13） 共移動(dòng)了7次. 當(dāng)n=4時(shí)，把上面3個(gè)金屬片作為一個(gè)整體，移動(dòng)順序是： （1）把上面3個(gè)金屬片從1號(hào)針移到2號(hào)針；,（2）把第

9、4個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針； （3）把上面3個(gè)金屬片從2號(hào)針移到3號(hào)針； 用符號(hào)表示為： （12）（13）（23）（12）（31）（32）（12）；（13）；（23）（21）（31）（23）（12）（13）（23）. 共移動(dòng)了15次. 至此，我們得到依次移動(dòng)1,2,3,4個(gè)金屬片所需次數(shù)構(gòu)成的數(shù)列.,1,3,7,15. 觀察這個(gè)數(shù)列，可以發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含著如下規(guī)律：,由此我們猜想：若把n個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針，最少需要移動(dòng)an次，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為：,思考：把n個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針, 怎樣移動(dòng)才能達(dá)到最少的移動(dòng)次數(shù)呢?,通過探究上述n=1,2,3,4時(shí)的移動(dòng)方法，我們可以歸納出對(duì)n

10、個(gè)金屬片都適用的移動(dòng)方法.當(dāng)移動(dòng)n個(gè)金屬片時(shí)，可分為下列3個(gè)步驟：,（1）把上面（n-1）個(gè)金屬片從1號(hào)針移到2號(hào)針； （2）把第n個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針； （3）把上面(n-1)個(gè)金屬片從2號(hào)針移到3號(hào)針.,這樣就把移動(dòng)n個(gè)金屬片的任務(wù)，轉(zhuǎn)化為移動(dòng)兩次（n-1）個(gè)金屬片和移動(dòng)一次第n個(gè)金屬片的任務(wù). 而移動(dòng)（n-1）個(gè)金屬片需要移動(dòng)兩次（n-2）個(gè)金屬片和移動(dòng)一次第（n-1）個(gè)金屬片，移動(dòng)（n-2）個(gè)金屬片需要移動(dòng)兩次（n-3）個(gè)金屬片和移動(dòng)一次第（n-2）個(gè)金屬片如此繼續(xù).直到轉(zhuǎn)化為移動(dòng)1個(gè)金屬片的情形.根據(jù)這個(gè)過程，可得遞推公式,從這個(gè)遞推公式出發(fā)，可以證明（1）式是正確的.,一般來說，由合情推理所獲得的結(jié)論，僅僅是一種猜想，未必可靠.,費(fèi)馬猜想：,同樣地，類比推理所得的結(jié)論也不一定可靠，你能舉一個(gè)例子嗎？,半個(gè)世紀(jì)之后，歐拉發(fā)現(xiàn)：,猜想：,不是質(zhì)數(shù)，從而推翻了費(fèi)馬的猜想,B,C,當(dāng)堂檢測(cè),3.（2014新課標(biāo)全國(guó)卷I）甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過 A、B 、C 三個(gè)城市時(shí)， 甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市； 乙說：我沒去過C城市； 丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市； 由此可判斷乙