1、1、第4章根軌跡法，主要內(nèi)容：1)根軌跡的概念2)繪制根軌跡的基本條件3)繪制根軌跡的規(guī)則4)廣義根軌跡2)第4章根軌跡法4-1根軌跡4-2繪制根軌跡的基本規(guī)則4-3廣義根軌跡的學(xué)習(xí)指導(dǎo)與總結(jié)3，4-1根軌跡4.1.1只要求解了閉環(huán)系統(tǒng)的根，系統(tǒng)的響應(yīng)就很容易求解。然而，很難找到三階以上系統(tǒng)的根。如果系統(tǒng)中有一個(gè)可變參數(shù)，就更難找到根。1948年，埃文斯提出了一種圖形根軌跡法來確定系統(tǒng)的閉環(huán)特征根。在已知開環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)分布的基礎(chǔ)上，當(dāng)某些參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，確定閉環(huán)極點(diǎn)的一種簡(jiǎn)單圖解法。定義：當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中的參數(shù)從0變化時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征根在S平面上的軌跡稱為系統(tǒng)根軌跡。通常，開環(huán)傳遞系數(shù)被視

2、為可變參數(shù)。4，其中k是系統(tǒng)的開環(huán)比例系數(shù)。Kg=2K稱為系統(tǒng)的開環(huán)根軌跡增益。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)是：例如，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是已知的，分析了閉環(huán)特征根在0 K時(shí)在S平面上的運(yùn)動(dòng)軌跡和特征。解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為0.5，系統(tǒng)的閉環(huán)特性方程為s2 2s 2K=0。系統(tǒng)的兩個(gè)閉環(huán)特征根的解析解如下：(1 1) K=0:s1=0，s2=2，這是根跡的起點(diǎn)，用表示。2，1，(2) 0k0.5: S1和s2都是負(fù)實(shí)數(shù)。K s1，s2 .S1沿著負(fù)實(shí)軸從坐標(biāo)原點(diǎn)向左移動(dòng)；S2從點(diǎn)(2，j0)開始，沿著負(fù)實(shí)軸向右移動(dòng)。(3) k=0.5: S1=S2=1，多重根。閉環(huán)特征根s1、s2隨k值的變化而變化。(4)

3、k0.5:k=0，k=0，k=0.5，k，k，6，7，二階系統(tǒng)有兩個(gè)特征根，其軌跡有兩個(gè)分支。因此：(1)n階系統(tǒng)有n個(gè)分支；(2)每個(gè)支路的起點(diǎn)(K=0)位于開環(huán)的極點(diǎn)；(3)每個(gè)支路的端點(diǎn)(k)要么是開環(huán)零點(diǎn)，要么是無窮遠(yuǎn)點(diǎn)；(4)(1，j0)有多個(gè)根，這叫做分離點(diǎn)。穩(wěn)定性當(dāng)K從0開始時(shí)，圖中的根軌跡不會(huì)穿過虛軸進(jìn)入S的右半平面，因此二階系統(tǒng)對(duì)所有K值都是穩(wěn)定的。4.1.2根軌跡和系統(tǒng)性能，9。如果高階系統(tǒng)的根軌跡可以進(jìn)入S的右半平面，那么根軌跡與虛軸交點(diǎn)處的k值就是臨界開環(huán)增益。具有穩(wěn)態(tài)性能的開環(huán)系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一個(gè)極點(diǎn)，該系統(tǒng)屬于類型1系統(tǒng)，因此根軌跡上的k值是靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv。給

4、定系統(tǒng)ess的要求，閉環(huán)極點(diǎn)位置的允許范圍可由根圖確定。當(dāng)K Kg*時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。10，3。動(dòng)態(tài)性能從圖中可以看出，當(dāng)0 K 0.5時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)都位于負(fù)實(shí)軸上，系統(tǒng)過阻尼，單位階躍響應(yīng)是非周期性的。當(dāng)K=0.5時(shí)，閉環(huán)的兩個(gè)實(shí)極點(diǎn)重合，系統(tǒng)是一個(gè)臨界阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)是非周期過程。當(dāng)K 0.5時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)是一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)，系統(tǒng)欠阻尼，單位階躍響應(yīng)是一個(gè)阻尼振蕩過程。11、4.1.3軌跡方程用于研究負(fù)反饋控制系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)，如下圖所示。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)是系統(tǒng)的特征方程為： D(s)=1 G(s)H(s)=0或G(s)H(s)=1。12，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)寫如下，其中Kg是系

5、統(tǒng)的根增益，zi是系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)，pj是系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)。此時(shí)，它被稱為常規(guī)(180)根軌跡，根軌跡方程可以寫成：13，根軌跡的相角方程：其中k=0，1，2，(所有整數(shù))。根據(jù)這兩個(gè)條件，可以完全確定S平面上的根軌跡和根軌跡上相應(yīng)的Kg值。相角條件是確定S平面上根軌跡的一個(gè)充分必要條件，也就是說，繪制roo時(shí)只需使用相角條件圖中顯示了已知的開環(huán)零極點(diǎn)分布。p2、P3、P1、Z1、s1、1、1、2、3、在s平面中找到一個(gè)點(diǎn)s1，并從每個(gè)開環(huán)的零點(diǎn)和極點(diǎn)繪制到S1點(diǎn)的向量。檢查s1是否滿足相角條件：(s1z 1)(s1p 1)(s1p 2)(s1p 3)=1123=(2 k1)？如果s1滿足相角條件

6、，它就是根軌跡上的一個(gè)點(diǎn)。在S平面中找到所有滿足相角條件的s1點(diǎn)，并將這些點(diǎn)連接成一條平滑曲線，即閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。1948年，埃文斯提出了用圖解法繪制根跡的一些基本規(guī)則，可以快速繪制閉環(huán)系統(tǒng)的粗根跡。在粗根軌跡的基礎(chǔ)上，必要時(shí)可以利用相角條件使其精確，從而大大簡(jiǎn)化了整個(gè)根軌跡繪制過程。16，4-2繪制根軌跡的基本規(guī)則，4.2.1繪制180軌跡的基本規(guī)則1根軌跡的起點(diǎn)(Kg=0)和終點(diǎn)(Kg):根軌跡從開環(huán)極點(diǎn)開始，在開環(huán)零點(diǎn)結(jié)束。證明了當(dāng)Kg=0時(shí)，存在s=pj (j=1，2，n)，表明當(dāng)Kg=0時(shí)，閉環(huán)特征方程的根是開環(huán)極點(diǎn)。特征方程改寫如下：當(dāng)Kg時(shí)，有s=zi (i=1，2，m)，所以

7、根軌跡最終必須是開環(huán)零。在實(shí)際系統(tǒng)中，在開環(huán)傳遞函數(shù)m n中，m根軌跡的端點(diǎn)是開環(huán)零點(diǎn)，n m根軌跡的端點(diǎn)將在無窮遠(yuǎn)處。如果有限值的零點(diǎn)稱為有限零點(diǎn)，無窮遠(yuǎn)處的零點(diǎn)稱為無限零點(diǎn)，那么根軌跡將最終成為開環(huán)零點(diǎn)。證明規(guī)則兩條路徑的分支數(shù)和對(duì)稱性：系統(tǒng)根路徑的分支數(shù)等于開環(huán)有限零數(shù)m和有限極點(diǎn)數(shù)n中的較大者，根路徑是連續(xù)的，相對(duì)于實(shí)軸對(duì)稱。證明了1 G(s)H(s)=0，19，特征方程階數(shù)=maxn，特征根數(shù)=方程階數(shù)=根軌跡分枝數(shù)=maxn，并且由于閉環(huán)特征方程中的某些系數(shù)是根軌跡增益的函數(shù)，當(dāng)Kg從0連續(xù)變化時(shí)，特征方程的某些系數(shù)也連續(xù)變化，所以特征方程根的變化必然是連續(xù)的。因?yàn)殚]環(huán)傳遞函數(shù)是有

8、理分式，所以閉環(huán)特征方程只有兩種根：實(shí)根和復(fù)根。實(shí)根位于實(shí)軸上，復(fù)根成對(duì)共軛，而根軌跡是根的集合，因此它必須與實(shí)軸對(duì)稱。證明了，20，21，22，三條路徑的漸近線的規(guī)律：當(dāng)m n在開環(huán)傳遞函數(shù)中時(shí)，有n m條根路徑沿著一組漸近線分支到無窮遠(yuǎn)處，其中a與實(shí)軸成一個(gè)角度，a與實(shí)軸相交，并且有：(k=0，1，n m 1)。證明了如果有特征根sk，那么S平面。也就是說，(sk zi)=(sk pj)=a被代入相角條件23，考慮到從所有開環(huán)有限零點(diǎn)zi和極點(diǎn)pj到s平面上無窮遠(yuǎn)處的特征根sk的矢量長(zhǎng)度相等。因此，對(duì)于sk，所有開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)聚集在一起，它們的位置是實(shí)軸上的點(diǎn)a，并且zi=pj=a，(k=

9、0，1，n m 1)，得到24，也就是說，上述公式中的s nm1的系數(shù)相等，也就是(nm) a=pj zi，25，證明：讓零點(diǎn)和極點(diǎn)的分布如圖所示，p2，P3，P1，Z1，s1，1，1=0，2，3，并且取S1上的一個(gè)測(cè)試點(diǎn)從圖中可以看出，從復(fù)共軛極點(diǎn)到實(shí)軸s1點(diǎn)的矢量相位角之和是2，復(fù)共軛零點(diǎn)也是2。因此，在確定實(shí)軸上的根軌跡時(shí)，可以忽略復(fù)零點(diǎn)和復(fù)極點(diǎn)的影響。26，s1點(diǎn)左側(cè)的開環(huán)實(shí)數(shù)為零，從極點(diǎn)到S1點(diǎn)的矢量相位角為零。s1點(diǎn)右側(cè)的開環(huán)實(shí)數(shù)為零，從極點(diǎn)到s1點(diǎn)的矢量相角為。如果s1是根軌跡，相位角條件應(yīng)該滿足：j i=(2k 1) m1 n1 ()=(2k 1) m n=2k 1，即s1右側(cè)

10、的開環(huán)實(shí)數(shù)為零，且極點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)。在證明之后，27，示例4-1，讓負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)嘗試確定根軌跡的數(shù)量、起點(diǎn)和終點(diǎn)、漸近線以及根軌跡在實(shí)軸上的分布。，解決方案：開環(huán)極點(diǎn)p1=0，p2=1，p3=5。系統(tǒng)的根軌跡有三個(gè)分支，從系統(tǒng)的三個(gè)有限開環(huán)極點(diǎn)開始，當(dāng)Kg時(shí)，沿三條漸近線趨于無窮大；實(shí)軸上三條漸近線的交點(diǎn)和實(shí)軸上28，j的根軌跡分布在(0，1)和(5)的實(shí)軸段上。60、29，其中z i和p j是系統(tǒng)的有限開環(huán)零點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)。特點(diǎn)：1)分離點(diǎn)是系統(tǒng)閉環(huán)的雙根。2)因?yàn)楦壽E是對(duì)稱的，所以分離點(diǎn)要么位于實(shí)軸上，要么以共軛對(duì)的形式出現(xiàn)在復(fù)平面上。3)如果兩個(gè)實(shí)際開環(huán)零點(diǎn)(極點(diǎn))之間有根軌

11、跡，則必須有一個(gè)分離點(diǎn)。規(guī)則5分離點(diǎn)(交匯點(diǎn)):兩個(gè)或多個(gè)根軌跡在S平面上相遇后立即分離的點(diǎn)稱為根軌跡的分離點(diǎn)(交匯點(diǎn))。分離點(diǎn)的坐標(biāo)d是以下等式的解，30，4)如果在開環(huán)零點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)之間有根軌跡，或者沒有分離點(diǎn)或多個(gè)分離點(diǎn)。證明了根軌跡在S平面相交，表明閉環(huán)特征方程中存在多個(gè)根。設(shè)s=d為分離點(diǎn)，多個(gè)根的個(gè)數(shù)為1，31，正璧，32，例4-2，求出例4-1系統(tǒng)根軌跡的分離點(diǎn)。解決方案：根據(jù)示例4-1，系統(tǒng)實(shí)軸上的根軌跡段(1，0)位于兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)之間，并且在該軌跡段上必須有根軌跡的分離點(diǎn)。如果分離點(diǎn)的坐標(biāo)是d，那么根軌跡在分離點(diǎn)上的分離角是90。如果方程的階數(shù)較高，可以用啟發(fā)式方法確定分離點(diǎn)

12、。d1=0.472，33，示例4-3眾所周知，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)是，嘗試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。解決方案：D=2.5 Left=0.67 Right=0.4D=2.01 Left=0.99 Right=99.49D=2.25 Left=0.8 Right=3.11d=2.47 Left=0.68 Right=0.65，D=2.47進(jìn)入開環(huán)復(fù)零點(diǎn)的根軌跡切線與正實(shí)軸方向之間的角度稱為標(biāo)記的入射角(終止角)。證明了開環(huán)系統(tǒng)有一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)px，x 1。在復(fù)極點(diǎn)px的根軌跡上取一個(gè)點(diǎn)s1，該點(diǎn)非常接近要求解的起始角。36、px、px 1、s1、因?yàn)閟1無限接近px，除了px之外，從零和開環(huán)極點(diǎn)到s1的所有

13、其他矢量相位角都可以用它們到Px的矢量相位角來代替，并且從Px到s1的矢量相位角是起始角。根據(jù)s1點(diǎn)必須滿足的相角條件，該規(guī)則中的公式可以在項(xiàng)移位后立即得到。認(rèn)證后，37號(hào)試著畫出系統(tǒng)的根軌跡。解答：例4-4讓負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為、起始角和終止角、1、2、3、1、3、2、=180123123=18056.5 19 59 108.5 37 90=180 117 90 153 63.5 119 121=149.5、39、40，根軌跡和虛軸的交點(diǎn)規(guī)則7:如果根軌跡和虛軸交點(diǎn)處的坐標(biāo)可通過以下兩種方法獲得：方法1:在系統(tǒng)的閉環(huán)特性方程D(s)=0中設(shè)s=j；方法2:通過勞斯穩(wěn)定性準(zhǔn)則獲得。 示例

14、4-5計(jì)算示例4-1中系統(tǒng)的根軌跡和S平面的虛軸的交點(diǎn)的交點(diǎn)坐標(biāo)。解決方案：方法1: S36S25KG=0使s=j，然后(J) 36 (J) 25 (J) KG=0，41，35=0.62 KG=0，KG=0(省略)，Kg=30，方法2: S36S25KG=0勞斯表如下：S3 1 5 s2 6 Kg s1 (30 Kg)/6 s0 Kg，當(dāng)Kg=30時(shí)，s1行全為零，勞斯表的第一列沒有符號(hào)，系統(tǒng)有共軛虛根。從s2行的輔助方程可以得到虛共軛根：6s2kg=0，42，j，d=0.472，kg=30，kg，kg，kg，j 2.24kg=30，43，44，解是三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)p1=0，p2，45，根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：系統(tǒng)的閉環(huán)特性方程是s3 2s2 2s Kg=0勞斯表，S3 12S22s1 (4kg)/2S0KG，設(shè)s1系數(shù)然后將Kg=4代入輔助方程2s2 Kg=0，實(shí)軸上的根軌跡是(，0)，即整個(gè)負(fù)實(shí)軸。，出口角度：46，系統(tǒng)根軌跡如圖所示。Kg，Kg，Kg，j1.414 Kg=4，47，48，規(guī)則8閉環(huán)極點(diǎn)之和：如果開環(huán)傳遞函數(shù)的分母階N比分子階M高兩倍或更多，即N M 2，則系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)之和等于其開環(huán)極點(diǎn)之和。1)根成分的總和是獨(dú)立于Kg的常數(shù)；2)各分支應(yīng)保持和的平衡，并向左右對(duì)稱移動(dòng)。證明：在公式中，49，如果n m 2，那么1 G(s)H(s)=sn