1、第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用復(fù)習(xí),臨清實(shí)驗(yàn)高中 數(shù)學(xué)組,本章知識(shí)結(jié)構(gòu),微積分,導(dǎo)數(shù),定積分,導(dǎo)數(shù)概念,導(dǎo)數(shù)運(yùn)算,導(dǎo)數(shù)應(yīng)用,函數(shù)的瞬時(shí)變化率,運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度,曲線的切線斜率,基本初等函數(shù)求導(dǎo),導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則,簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),函數(shù)單調(diào)性研究,函數(shù)的極值、最值,曲線的切線,變速運(yùn)動(dòng)的速度,面積,功,積分定義的含義,微積分基本定理的含義,微積分基本定理的應(yīng)用,路程,定積分概念,微積分基 本定理,最優(yōu)化問題,函數(shù)的平均變化率,函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,x1.x2D,f(x)從x1到x2平均變化率為:,函數(shù)的瞬時(shí)變化率,導(dǎo)數(shù),返回,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則:,1:兩個(gè)函數(shù)的和(差)的導(dǎo)數(shù),2:兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)

2、,3:兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù),返回,當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無限接近點(diǎn)P即x0時(shí),割線PQ如果有一個(gè)極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點(diǎn)P處的切線.,設(shè)切線的傾斜角為,那么當(dāng)x0時(shí),割線PQ的斜率,稱為曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率.,即:,返回,1) 如果恒有 f(x)0，那么 y=f（x) 在這個(gè)區(qū)間（a,b)內(nèi)單調(diào)遞增；,2) 如果恒有 f(x)0，那么 y=f（x）在這個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減。,一般地，函數(shù)yf（x）在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi),定理,f (x)0,f (x)0,如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有 ,則 為常數(shù).,返回,2)如果a是f(x)=0的一個(gè)根，并且在a 的左側(cè)附近f(x)0，那么是f(a)

3、函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值.,函數(shù)的極值,1)如果b是f(x)=0的一個(gè)根，并且在b左側(cè)附近f(x)0，在b右側(cè)附近f(x)0，那么f(b)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值,注：導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn),2)在閉區(qū)間a,b上的函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,則它必有最大值和最小值.,函數(shù)的最大（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù),返回,復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù):,注:y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.,復(fù)合函數(shù)y=f(g(x)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為:,返回,求由連續(xù)曲線y=f(x)對應(yīng)的曲邊梯形面積的方法,(2)取近似求和:任取xixi-1, xi，第i個(gè)小曲邊梯形的面積

4、用高為f(xi)而寬為Dx的小矩形面積 f(xi)Dx近似之。,(3)取極限:，所求曲邊梯形的面積S為,取n個(gè)小矩形面積的和作為曲邊梯形面積S的近似值：,xi,xi+1,xi,(1)分割:在區(qū)間0,1上等間隔地插入n-1個(gè)點(diǎn),將它等分成 n個(gè)小區(qū)間: 每個(gè)小區(qū)間寬度x,定積分的定義,如果當(dāng)n時(shí)，S 的無限接近某個(gè)常數(shù)，,這個(gè)常數(shù)為函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的定積分，記作,從求曲邊梯形面積S的過程中可以看出,通過“四步曲”: 分割-近似代替-求和-取極限得到解決.,定積分的定義：,定積分的相關(guān)名稱： 叫做積分號， f(x) 叫做被積函數(shù)， f(x)dx 叫做被積表達(dá)式， x 叫做積分變量， a

5、 叫做積分下限， b 叫做積分上限， a, b 叫做積分區(qū)間。,積分下限,積分上限,說明： (1) 定積分是一個(gè)數(shù)值, 它只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，,(2)定積分的幾何意義：,x=a、x=b與 x軸所圍成的曲邊梯形的面積。,當(dāng)f(x)0時(shí)，由yf (x)、xa、xb 與 x 軸所圍成的曲邊梯形位于 x 軸的下方，,=-S,上述曲邊梯形面積的負(fù)值。,定積分的幾何意義：,=-S,定積分的基本性質(zhì),性質(zhì)1.,性質(zhì)2.,定積分的基本性質(zhì),定積分關(guān)于積分區(qū)間具有可加性,性質(zhì)3.,定理 （微積分基本定理）,牛頓萊布尼茨公式,如果f(x)是區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù), 并且F(x)=f(x),則,(1)勻變速

6、運(yùn)動(dòng)的路程公式. 做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度 函數(shù)v=v(t) (v(t)0)在時(shí)間區(qū)間a,b上的定積分， 即 (2)變力作功公式 一物體在變力F(x)(單位：N)的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，如果物體沿著與F相同的方向,從x=a移動(dòng)到x=b (ab)(單位：m),則力F所作的功為,例1已經(jīng)曲線C：y=x3x+2和點(diǎn)A(1,2)。求在點(diǎn)A處的切線方程？,解：f/(x)=3x21， k= f/(1)=2 所求的切線方程為： y2=2(x1), 即 y=2x,變式1：求過點(diǎn)A的切線方程？,例1已經(jīng)曲線C：y=x3x+2和點(diǎn)(1,2)求在點(diǎn)A處的切線方程？,解：變1：設(shè)切點(diǎn)為P（x0，x0

7、3x0+2），,切線方程為 y ( x03x0+2)=(3 x021)(xx0),又切線過點(diǎn)A(1,2),2( x03x0+2)=( 3 x021)(1x0) 化簡得(x01)2(2 x0+1)=0，,當(dāng)x0=1時(shí)，所求的切線方程為：y2=2(x1),即y=2x,解得x0=1或x0=,k= f/(x0)= 3 x021，,當(dāng)x0= 時(shí)，所求的切線方程為： y2= (x1),即x+4y9=0,變式1：求過點(diǎn)A的切線方程？,例1：已經(jīng)曲線C：y=x3x+2和點(diǎn)(1,2)求在點(diǎn)A處的切線方程？,變式2：若曲線上一點(diǎn)Q處的切線恰好平行于直 線y=11x1，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為 _, 切線方程為_,(2,8)或

8、( 2, 4),y=11x14或y=11x+18,例4 已知函數(shù)f(x)=x3-x，其圖象記為曲線C. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)證明：若對于任意非零實(shí)數(shù)x1，曲線C與其在點(diǎn)P1(x1,f(x1)處的切線交于另一點(diǎn) P2(x2,f(x2).曲線C與其在點(diǎn)P2處 的切線交于另一點(diǎn)P3(x3, f(x3)， 線段P1P2,P2P3與曲線C所圍成封閉 圖形的面積分別記為S1,S2，則 為定值.,【解析】(1) 令f(x)0得到x 或x- ，令f(x)0有 因此原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 (-,- ) 和( ,+)；單調(diào)遞減區(qū)間為(- , );,(2)f(x)=3x2-1，P1(x1,x13-x1)，f(x1)=3x12-1， 因此過點(diǎn)P1的切線方程為： y=(3x12-1)(x-x1)+x13-x1，即 y=(3x12-1)x-2x13，由 得x3-x= (