1、,數(shù)學(xué)物理方程,本課程主要內(nèi)容：二階線性偏微分方程的建立和求解 重點(diǎn)：數(shù)學(xué)物理方程求解方法中的分離變量法和行波法. 特點(diǎn)：加強(qiáng)物理模型和數(shù)學(xué)物理思想的介紹，以便充分了解模型的物理意義，有利于根據(jù)數(shù)學(xué)物理模型建立數(shù)學(xué)物理方程,教案目錄,1方程的建立(3課時) 2方程的分類(2課時) 3分離變量法(7課時) 4行波法(2課時) 5積分變換法(2課時) 6格林函數(shù)法(4課時) 7貝塞耳函數(shù)(4課時),第一講波動方程的建立,一講課設(shè)計(jì): 1.目的基本要求:描述波動方程的建立 2.重點(diǎn):波動方程的建立 3.方法與手段:講授 4.深化與拓展:1). 弦的微小橫振動 ；2).均勻桿的縱振動；3). 傳輸線方

2、程（電報方程）；4）薄膜的微小橫振動；5).電磁波傳播方程 5.小結(jié):波動方程的建立 6.作業(yè):習(xí)題一:4-7題,二講課內(nèi)容,數(shù)學(xué)物理方程（簡稱數(shù)理方程）是指從物理學(xué)及其它各門自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)中所導(dǎo) 出的函數(shù)方程，主要指偏微分方程和積分方程,數(shù)學(xué)物理方程所研究的內(nèi)容和所涉及的領(lǐng) 域十分廣泛，它深刻地描繪了自然界中的許多物理現(xiàn)象和普遍規(guī)律.,從物理規(guī)律角度來分析，數(shù)學(xué)物理定解問題表征的是場和產(chǎn)生這種場的源之間的關(guān)系,根據(jù)分析問題的不同出發(fā)點(diǎn)，把數(shù)學(xué)物理問題分為正向問題和逆向問題.,不同出發(fā)點(diǎn),正向問題，即為已知源求場,逆向問題，即為已知場求源.,前者是經(jīng)典數(shù)學(xué)物理所討論的主要內(nèi)容. 后者是高等

3、數(shù)學(xué)物理（或稱為現(xiàn)代數(shù)學(xué)物理）所討論的主要內(nèi)容,多數(shù)為二階線性偏微分方程,振動與波（振動波，電磁波）傳播滿足波動方程,熱傳導(dǎo)問題和擴(kuò)散問題滿足熱傳導(dǎo)方程,靜電場和引力勢滿足拉普拉斯方程或泊松方程,數(shù)學(xué)物理方程的類型和所描述的物理規(guī)律,三類典型的數(shù)學(xué)物理方程,三類典型的數(shù)學(xué)物理方程,退化為拉普拉斯方程,分離變量法,偏微分方程,標(biāo)準(zhǔn)的常微分方程,標(biāo)準(zhǔn)解，即為各類特殊函數(shù),三類數(shù)學(xué)物理方程的一種最常用解法,第一章 數(shù)學(xué)建模-數(shù)學(xué)物理定解問題,1.1 數(shù)學(xué)建模-波動方程類型的建立,具有波動方程的數(shù)理方程的建立,定解條件,傳輸線方程,1.1.1波動方程的建立,1. 弦的微小橫振動,考察一根長為,且兩端固

4、定、水平拉緊的弦,討論如何將這一物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的定解問題要確定弦的運(yùn)動方程，需要明確：,確定弦的運(yùn)動方程,（2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛頓第二定律.,（3）按物理定理寫出數(shù)學(xué)物理方程（即建立泛定方程）,要研究的物理量是什么？ 弦沿垂直方向的位移,注意： 物理問題涉及的因素較多，往往還需要引入適當(dāng)假設(shè)才能使方程簡化 數(shù)學(xué)物理方程必須反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍規(guī)律，所以考察點(diǎn)不能取在端點(diǎn)上，但可以取除端點(diǎn)之外的任何位置作為考察點(diǎn),（1.1.1）,(1.1.2),注意到:,故由圖1.11得,這樣，(1.1.1)和(1.1.2)簡化為,因此在微小橫振動條件下，可得出,故有

5、,(1.1.5),(1.1.6),即為,（1.1.7）,上式即為弦作微小橫振動的運(yùn)動方程，簡稱為弦振動方程,其中,討論：,（1）若設(shè)弦的重量遠(yuǎn)小于弦的張力，則上式(1.1.7)右端的重力加速度項(xiàng)可以忽略由此得到下列齊次偏微分方程：,（1.1.8）,稱式（1.1.8）為弦的自由振動方程,(1.1.9),處單位質(zhì)量上的橫向外力,式（1.1.9）稱為弦的受迫振動方程.,2、 均勻桿的縱振動,段的運(yùn)動方程為,（1.1.10）,可得,（1.1.11）,這就是桿的縱振動方程,討論,（1.12）,其中,這與弦振動方程（1.8）具有完全相同的形式,3. 傳輸線方程（電報方程）,（1.1.13）,同理可得：,(

6、1.1.14),式（1.1.13）及（1.1.14）即為一般的傳輸線方程（或電報方程）,(1)無失真線,(1.1.15),其中,(2)無損耗線,（1.1.16）,(1.1.17),具有與振動方程類似的數(shù)學(xué)形式，盡管它們的物理本質(zhì)根本不同,(3)無漏導(dǎo)，無電感線,（1.1.18）,(1.1.11),它們具有與下節(jié)將討論的一維熱傳導(dǎo)方程類似的數(shù)學(xué)形式， 盡管它們的物理本質(zhì)根本不同,1.1.2 波動方程的定解條件,定解條件：初始條件和邊界條件,1.初始條件,波動方程的初始條件通常是,（1.1.22）,，如圖1.5所示，然后放手任其振動，試寫出初始條件。,【解】 初始時刻就是放手的那一瞬間， 按題意初

7、始速度為零，即有,初始位移如圖所示,2.邊界條件,常見的線性邊界條件分為三類：,第一類邊界條件,直接規(guī)定了所研究的物理量在邊界上的數(shù)值,第二類邊界條件,規(guī)定了所研究的物理量在邊界外法線方向上方向?qū)?shù)的數(shù)值,（1.1.23）,（1.1.24）,第三類邊界條件,規(guī)定了所研究的物理量及其外法向?qū)?shù)的線性組合在邊界上的數(shù)值,（1.1.25）,第二講熱傳導(dǎo)方程類型的建立,一講課設(shè)計(jì) 1.目的基本要求:描述熱傳導(dǎo)方程類型的建立 2.重點(diǎn):熱傳導(dǎo)方程類型的建立 3.方法與手段:講授 4.深化與拓展:1）熱傳導(dǎo)方程； 2）擴(kuò)散方程 5.小結(jié):熱傳導(dǎo)方程類型的建立 6.作業(yè):習(xí)題一:10,二講課內(nèi)容,1.2.1

8、數(shù)學(xué)物理方程熱傳導(dǎo)類型方程的建立,1.熱傳導(dǎo)方程,推導(dǎo)固體的熱傳導(dǎo)方程時， 需要利用能量守恒定律和關(guān)于熱傳導(dǎo)的傅里葉定律：,熱傳導(dǎo)的傅里葉定律：,（1.2.1）,圖1.8,取直角坐標(biāo)系Oxyz, 如圖1.8,表示t時刻物體內(nèi)任一點(diǎn)（x,y,z）處的溫度,在dt 時間內(nèi)通過ABCD面流入的熱量為,則根據(jù)能量守恒定律得熱平衡方程,或?qū)懗?(1.2.2),2. 擴(kuò)散方程,(1.2.3),其中,將一維推廣到三維，即得到,(1.2.4),上述方程與一維熱傳導(dǎo)方程具有完全類似的形式,若外界有擴(kuò)散源，且擴(kuò)散源的強(qiáng)度為,這時，擴(kuò)散方程應(yīng)為,（1.2.5）,從上面的推導(dǎo)可知，熱傳導(dǎo)和擴(kuò)散這兩種不同的物理現(xiàn)象，

9、但可以用同一類方程來描述.,1.2.2 熱傳導(dǎo)（或擴(kuò)散）方程的定解條件,1 初始條件,熱傳導(dǎo)方程的初始條件一般為,（1.2.6）,2 邊界條件,(1.2.7),直接給出函數(shù)u 在邊界上的數(shù)值,所以是第一類邊界條件.,2. 第二類,設(shè)單位時間內(nèi)通過邊界上單位面積流入的熱量為,.,如圖1.10所示.,圖1.10,所以當(dāng),由熱平衡方程給出:,(1.2.8),3. 第三類,根據(jù)牛頓冷卻定律: 單位時間從周圍介質(zhì)傳到邊界上單位面積 的熱量與表面和外界的溫度差成正比, 即,為常數(shù),與推導(dǎo)條件(1.2.11)相似,此時可得邊界條件,(1.2.1),其中,第三講穩(wěn)定場方程類型的建立 及數(shù)學(xué)物理定解理論,一講課

10、設(shè)計(jì) 1.目的基本要求: 1)描述穩(wěn)定場方程類型的建立;2)數(shù)學(xué)物理定解理論 2.重點(diǎn):穩(wěn)定場方程方程類型的建立 3.方法與手段:講授 4.深化與拓展:數(shù)學(xué)物理定解理論 5.小結(jié):穩(wěn)定場方程方程類型的建立及數(shù)學(xué)物理定解理論 6.作業(yè):習(xí)題一:3,1,1.3 數(shù)學(xué)建模穩(wěn)定場方程類型的建立,1.3.1 數(shù)學(xué)建模穩(wěn)定場方程類型的建立,1 靜電場的電勢方程,直角坐標(biāo)系中泊松方程為,(1.3.1),(1.3.2),稱這個方程為拉普拉斯方程.,2. 穩(wěn)定溫度分布,導(dǎo)熱物體內(nèi)的熱源分布和邊界條件不隨時間變化,故熱傳導(dǎo)方程中對時間的偏微分項(xiàng)為零，從而熱傳導(dǎo)方程 （1.2.1)，(1.2.2) 即為下列拉普拉斯

11、方程和泊松方程.,(1.3.3),(1.3.4),1.3.2 泊松方程和拉普拉斯方程的定解條件,泊松方程和拉普拉斯方程的定解條件不包含初始條件, 而只有邊界條件.,邊界條件分為三類:,2、在邊界上給定未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的值,即為第二類邊界條件,3、在邊界上給定未知函數(shù)和它的導(dǎo)數(shù)的某種線性組合, 即第三類邊界條件.,第一、二、三類邊界條件可以統(tǒng)一地寫成,(1.3.5),為常數(shù)，它們不同時為零,1.4 數(shù)學(xué)物理定解理論,1.4.1 定解條件和定解問題的提法,邊界條件的類型,除了前面我們介紹的第一、第二、第三類邊界條件之外，還有其它邊界條件，如自然邊界條件，銜接條件, 周期性條件和無邊界條件,1.4.2 數(shù)學(xué)物理定解問題的適定性,(1) 解的存在性,看所歸結(jié)出來的定解問題是否有解；,(2) 解的唯一性,看是否只有一個解,(3) 解的穩(wěn)定性,當(dāng)定解問題的自由項(xiàng)或定解條件有微小變化時， 解是否相應(yīng)地只有微小的變化量,定解問題解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性統(tǒng)稱為定解問題的適定性.,1.4.3 數(shù)學(xué)物理定解問題的求解方法,1.行波法； 2.分離變量法； 3.冪級數(shù)解法； 4.格林函數(shù)法；