1、第二節(jié) Lesbesgue積分的極限定理,第五章 積分論,1.Levi逐項(xiàng)積分定理,只要證明大于等于，但一般而 言fn(x)不會(huì)跑到f(x)上方,所以 我們有必要先把f(x)下移一點(diǎn)。,注意：當(dāng)fn(x)一致收斂f(x)時(shí)， fn(x)才會(huì)整體跑到f(x)上方。,若fn(x)為E上非負(fù)可測(cè)函數(shù)列，,說明：小于等于顯然成立， 因?yàn)閒n(x)總在f(x)的下方,Levi逐項(xiàng)積分定理的證明,引理1：設(shè)En是遞增集列， 是Rn上的非負(fù)可測(cè)簡(jiǎn)單 函數(shù)，則,引理2：設(shè)f(x)是E上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)，A是E中可測(cè)子集，則,證明：由條件知fn(x)為E上非負(fù)可測(cè)函數(shù)遞增列，,有定義，且從函數(shù)列的漸升性知道,下證

2、大于等于號(hào),Levi逐項(xiàng)積分定理的證明,證明：令c滿足0c1， 是Rn上的非負(fù)可測(cè) 簡(jiǎn)單函數(shù)，且,則En是遞增集列，,由引理1知,Levi逐項(xiàng)積分定理的證明,再由的積分定義知,于是從（應(yīng)用引理2）,對(duì)Levi逐項(xiàng)積分定理的說明,積分的幾何意義（函數(shù)非負(fù)）：,若fn(x)為E上非負(fù)可測(cè)函數(shù)列，,單調(diào)增集列測(cè)度的性質(zhì),2.Lebesgue逐項(xiàng)積分定理（級(jí)數(shù)形式）,然后利用Levi逐項(xiàng) 積分定理即可,對(duì)應(yīng)于測(cè)度的可數(shù)可加性,若fn(x)為E上非負(fù)可測(cè)函數(shù)列， 則,對(duì)比:積分的線性 (有限個(gè)函數(shù)作和),例 試求,為非負(fù)連續(xù)函數(shù)，當(dāng)然為非負(fù)可測(cè)函數(shù)，,例,從而結(jié)論成立,則 為非負(fù)連續(xù)函數(shù)，當(dāng)然為可測(cè)函數(shù)

3、， 從而由Lebesgue逐項(xiàng)積分定理知：,3.積分的可數(shù)可加性,然后利用Lebesgue 逐項(xiàng)積分定理即可,對(duì)應(yīng)于測(cè)度的可數(shù)可加性,Lebesgue逐項(xiàng)積分定理是關(guān)于被積函數(shù) 積分的可數(shù)可加性是關(guān)于積分區(qū)域,若f(x)在 （En可測(cè)且兩兩不交） 上非負(fù)可測(cè)或可積，則,注：在一零測(cè)度集上改變函數(shù)的取值不影響函數(shù)的可測(cè)性,推論：在一零測(cè)度集上改變函數(shù)的取值，不影響其可積性且積分值不變,證明：令E 1= Efg， E 2= Ef=g，則m E1=0 從而,即： 設(shè)f(x)=g(x) a.e.于E， f(x)在E上可積，則g(x)在E上也可積且,例 設(shè)0,1上的函數(shù)f(x)在Cantor集P上定義為

4、0，在Cantor集余集中長(zhǎng)度為1/3n的構(gòu)成區(qū)間上定義為n(n=1,2,3，) ，求f(x)在0,1上的Lebesgue積分值,解：令Gn為Cantor集P的余集中長(zhǎng)度為1/3n的構(gòu)成區(qū)間的并，由條件知f(x)是0,1上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)，根據(jù)積分的可數(shù)可加性知,4.Fatou引理,然后利用Levi逐項(xiàng) 積分定理即可,若fn(x)為E上非負(fù)可測(cè)函數(shù)列，,Levi逐項(xiàng)積分定理：,若fn(x)為E上非負(fù)可測(cè)函數(shù)列，則,注：嚴(yán)格不等號(hào)可能成立,注：fn(x)為E上非負(fù)可測(cè)函數(shù)列且一致收斂到0.,5.Lebesgue控制收斂定理,證明：顯然f(x)為E上可測(cè)函數(shù) （可測(cè)函數(shù)列的極限函數(shù)是可測(cè)函數(shù)）,設(shè)fn(x)為E上可測(cè)函數(shù)列， a.e.于E， 且存在非負(fù)可積函數(shù)F(x)，使得|fn(x)| F(x) a.e. 于E，,且由|fn(x)| F(x) a.e.于E，知|f(x)| F(x) a.e.于E， 所以fn(x)， f(x)都為E上可積函數(shù),則f(x)在E上可積且,由|fn(x)| F(x) a.e.于E， 知F(x)fn(x) 0 a.e.于E，由Fat