最小方差無偏估計(jì)和有效估計(jì)_第1頁(yè)
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1、第2.3節(jié) 最小方差無偏估計(jì)和有效估計(jì),一、最小方差無偏估計(jì),二、有效估計(jì),一、最小方差無偏估計(jì),最小方差無偏估計(jì)在均方誤差意義下達(dá)到最優(yōu)，是一種最優(yōu)估計(jì).如何尋求此種估計(jì)，將變得非常有意義.,1 最小方差無偏估計(jì)的判別法,定理2.7,證,注,此定理是最小方差無偏估計(jì)的判別法，但無 法尋求最小方差無偏估計(jì)的存在性.,2 由于L(X)的任意性，因而很難利用定理判別.,例1(p52例2.19),證,由此例可以看出，利用判別定理進(jìn)行判別，非常復(fù)雜，況且也無法利用此定理去尋求MVUE.,充分完備統(tǒng)計(jì)量是解決上述困難的有力工具.,定理2.8,證明從略,定理2.9,注,由此定理可以看出，需求最小方差無偏估

2、計(jì)， 可以只在無偏的充分統(tǒng)計(jì)量中去發(fā)現(xiàn)，如果這 樣的無偏充分統(tǒng)計(jì)量唯一，則此統(tǒng)計(jì)量就是 最小方差無偏估計(jì)。以下定理回答此問題.,證,以及,由此可得,又由于T是完備統(tǒng)計(jì)量，因而由定義1.6可知,注,最小方差無偏估計(jì)計(jì)算方法,例如,例2(p54例2.20),解,由例1.10可知,所以,例3(p54例2.21),解,首先尋求充分完備統(tǒng)計(jì)量，樣本的聯(lián)合分布為,利用完備分布族定義可以驗(yàn)證該分布族具有完備性.,又由于,所以,二、有效估計(jì),上一節(jié)介紹了最小方差無偏估計(jì)以及相應(yīng)的尋求方法。自然會(huì)引入另一個(gè)問題：最小方差無偏估計(jì)是否可以任意的??？是否有下界？事實(shí)上， Rao-Cramer不等式可以回答此問題。,

3、1、Fisher信息量,為Fisher信息量.,Fisher信息量的另外一種表達(dá)式為：,2、Rao-Cramer不等式,定理2.10,由此可見，統(tǒng)計(jì)量的方差不可以無限的小，存在下界。當(dāng)其方差達(dá)到下界，它一定是MVUE. 但最小方差無偏估計(jì)不一定達(dá)到下界.,證(證明過程可以不講）,由統(tǒng)計(jì)量T(X)的無偏性可知：,因而,又由于,因而,則有,改寫上式為,由施瓦茲不等式可知,因而有,又因?yàn)?這是因?yàn)?則有,綜上所述,例4(p55例2.22),解,解,例5(p56例2.23),其信息量的下界為,又因?yàn)?其信息量的下界為,3、有效估計(jì),定義2.8,定義2.9,定義2.10,例6,證,有信息量計(jì)算公式可知：,

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