1、2.2拋物線的簡單性質,拋物線的簡單性質,【做一做1】 拋物線y=4x2的焦點到準線的距離是(),答案:C,【做一做2】 等腰直角三角形ABO內接于拋物線y2=2px(p0),O為拋物線的頂點,OAOB,則ABO的面積是() A.8p2B.4p2C.2p2D.p2,答案:B,思考辨析 判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內打“”,錯誤的打“”. (1)拋物線既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形. () (2)拋物線的頂點一定在過焦點且與準線垂直的直線上. () (3)直線與拋物線相交時,直線與拋物線不一定有兩個公共點. (),探究一,探究二,探究三,思維辨析,直線與拋物線的位置關系 【例1】 已

2、知拋物線的方程為y2=4x,直線l過定點P(-2,1),斜率為k.當k為何值時,直線l與拋物線:只有一個公共點;有兩個公共點;沒有公共點? 思維點撥:用解析法解決這個問題,只要討論直線l的方程與拋物線的方程組成的方程組的解的情況,由方程組解的情況判斷直線l與拋物線的位置關系. 解:由題意,設直線l的方程為y-1=k(x+2).,得ky2-4y+4(2k+1)=0.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,(2)當k0時,方程的判別式為=-16(2k2+k-1). 1由=0,即2k2+k-1=0,從而方程組(*)只有一個解. 這時,直線l與拋物線只有一個公共點.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,于是

3、,當k 時,方程沒有實數(shù)解,從而方程組(*)沒有解.這時,直線l與拋物線沒有公共點. 綜上,我們可得,反思感悟解決直線與圓錐曲線的交點問題時,主要方法是構建一元二次方程,判斷其解的個數(shù),確定斜率或直線的傾斜角時,應特別注意斜率為0和斜率不存在兩種情形,還應注意在拋物線中,直線和曲線有一個公共點并不一定相切.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓練1 如圖,已知拋物線y2=-x與直線y=k(x+1)(k0)相交于A,B兩點,且直線與x軸交于點N. (1)求證:OAOB; (2)當OAB的面積等于 時,求k的值. 思維點撥:利用根與系數(shù)的關系、弦長公式或應用向量解題.,探究一,探究二,探究三,

4、思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,求拋物線方程 【例2】 已知拋物線的頂點在坐標原點,對稱軸為x軸,且與圓x2+y2=4相交的公共弦長等于2 ,求這條拋物線的方程. 思維點撥:因為圓和拋物線都關于x軸對稱,所以它們的交點也關于x軸對稱,即公共弦被x軸垂直平分,于是由弦長等于2 ,可知交點縱坐標為 .,探究一,探究二,探究三,思維辨析,解:設所求拋物線方程為y2=2px或y2=-2px,p0. 設交點A(x1,y1),B(x2,y2)(y10,y20),所求拋物線方程為y2=3x或y2=-3x. 反思感悟因為拋物線是軸對稱圖形,所以與對稱軸垂直的弦一定被對稱軸平分.,探究一,探究二,探

5、究三,思維辨析,變式訓練2拋物線的頂點在原點,以x軸為對稱軸,經(jīng)過焦點且傾斜角為135的直線被拋物線所截得的弦長為8,試求拋物線的方程.,解:如圖,依題意設拋物線方程為y2=2px(p0),則經(jīng)過焦點且傾斜角為135的直線方程為y=-x+ p. 設直線交拋物線于點A(x1,y1),B(x2,y2),則由拋物線的定義,又點A(x1,y1),B(x2,y2)是拋物線和直線的交點,探究一,探究二,探究三,思維辨析,x1+x2=3p.將其代入,得p=2. 所求拋物線的方程為y2=4x. 當拋物線的方程設為y2=-2px時,同理可求得拋物線的方程為y2=-4x.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,與拋物

6、線有關的最值問題 【例3】如圖所示,已知直線l:y=2x-4交拋物線y2=4x于A,B兩點,試在拋物線AOB這段曲線上求一點P,使PAB的面積最大,并求出這個最大面積. 思維點撥:通過聯(lián)立方程組求得A,B坐標,從而可得|AB|的大小;設出P點坐標,利用點到直線的距離公式表示出AB邊上的高,從而表示出PAB的面積;考慮P點坐標變量的范圍求得目標函數(shù)的最大值即可.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,設P(x0,y0)為拋物線AOB這段曲線上一點,d為P點到直線AB的距離,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟解決本題的關鍵是弦AB為定值,將點P到直線AB的距離的最值轉化為二次函數(shù)問題求解.在應

7、用配方法求最值時,一定要注意自變量的取值范圍.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓練3在拋物線y2=2x上求一點P,使P到直線x-y+3=0的距離最短,并求出距離的最小值.,解:(方法一)設P(x0,y0)是y2=2x上任一點,探究一,探究二,探究三,思維辨析,(方法二)設與拋物線相切且與直線x-y+3=0平行的直線方程為x-y+m=0,探究一,探究二,探究三,思維辨析,因忽視斜率不存在及二次項系數(shù)而致誤 【典例】 求過點P(0,1)且與拋物線y2=2x只有一個公共點的直線方程. 易錯分析:當直線與拋物線的對稱軸平行時,直線與拋物線只有一個公共點.另外,設直線方程時要討論斜率是否存在.,

8、解:(1)若直線斜率不存在,則過點P(0,1)的直線方程為x=0.,直線x=0與拋物線只有一個公共點.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,(2)若直線斜率存在,設為k,則過點P的直線方程為y=kx+1.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,糾錯心得錯誤之一是遺漏直線斜率不存在的情況,僅考慮斜率存在的直線.錯誤之二是方程組消元后的方程k2x2+2(k-1)x+1=0被認定為二次方程,因而由直線與拋物線只有一個公共點,得出=0.事實上方程的二次項系數(shù)為含字母的k2,方程不一定是二次方程.當k=0時,方程是一次方程-2x+1=0,此時方程組只有一解.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓練設拋物線

9、y2=8x的準線與x軸交于點Q,若過點Q的直線l與拋物線有公共點,則直線l的斜率的取值范圍是(),解析:設直線方程為y=k(x+2),與拋物線聯(lián)立方程組整理得ky2-8y+16k=0.當k=0時,直線與拋物線有一個交點;當k0時,由=64-64k20,解得-1k1,所以-1k1. 答案:C,1 2 3 4 5,1.拋物線的頂點在原點,焦點在x軸上,其通徑的兩端與頂點連成的三角形的面積為4,則此拋物線的方程是 (),答案:B,1 2 3 4 5,2.已知A,B是拋物線y2=2px(p0)上兩點,O為原點,若|OA|=|OB|,且AOB的垂心恰是此拋物線的焦點,則A,B兩點所在的直線方程為(),解析:因為|OA|=|OB|,所以A,B兩點關于x軸對稱,設A,B兩點的坐標分別為(x0,y0),(x0,-y0)(x00).由于AOB的垂心是焦點,焦點坐標為,答案:D,1 2 3 4 5,3.已知拋物線y2=2px(p0),過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點,若線段AB的中點的縱坐標為2,則該拋物線的準線方程為.,由線段AB的中點的縱坐標為2,得y1+y2=2p=4. 所以p=2,故準線方程為x=-1. 答案:x=-1,1 2 3 4 5,4.如圖所示,過拋物線y2=4x的焦點F,作傾斜角為