1、3.1.3,空間向量的數(shù)量積運算,選修2-1,問題引入,根據(jù)功的計算,我們定義了平面兩向量的數(shù)量積運算.一旦定義出來,我們發(fā)現(xiàn)這種運算非常有用,它能解決有關(guān)長度和角度問題.,探究新知,1 兩個向量的夾角的定義:,類似地，可以定義空間向量的夾角,如圖，已知兩個非零向量 、 ,在空間任取一點 ，作 ， ，則角 叫做 與 的夾角，記作：,思考：平面向量的夾角與空間向量的夾角的區(qū)別？,平面向量的夾角是在平面內(nèi)，而空間向量的夾角是在空間中，即把向量的夾角從二維空間拓展到三維空間。,探究新知,1 兩個向量的夾角的定義:,類似地，可以定義空間向量的夾角,兩個向量的夾角是惟一確定的！,如圖，已知兩個非零向量

2、、 ,在空間任取一點 ，作 ， ，則角 叫做向量 與 的夾角，記作：,探究新知,2 空間向量的數(shù)量積,注:兩個向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量; 規(guī)定:零向量與任意向量的數(shù)量積等于零.,已知空間兩個非零向量 、 ,則 叫做向量 、 的數(shù)量積，記作：,即,探究新知,平面向量數(shù)量積的幾何意義,探究新知,A1,B1,B,A,類比平面向量，你能說出 的幾何意義嗎？,數(shù)量積 等于 的長度 與 在 的方向上的投影 的乘積.,空間向量的數(shù)量積的幾何意義：,探究新知,3 空間兩個向量的數(shù)量積性質(zhì),注： 性質(zhì)是求向量夾角的依據(jù) 性質(zhì)是證明兩向量垂直的依據(jù)； 性質(zhì)是求向量的長度（模）的依據(jù).,顯然，對于非零向量 、

3、 ， 是單位向量有如下性質(zhì)：,探究新知,4 空間向量的數(shù)量積滿足的運算律,探究新知,思考：對于三個均不為0的數(shù)a，b，c，若ab=ac，則b=c。對于向量 ，由 能得到 嗎？如果不能，請舉出反例。,探究新知,思考：對于三個均不為0的數(shù)a，b，c，若ab=c，則 。對于向量 ，若 能否寫成 嗎？也就是向量有除法嗎？,探究新知,思考：對于三個均不為0的數(shù)a，b，c，有 .對于向量 ， 成立嗎？也就是說，向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律嗎？,注意：,探究新知,課堂練習,探究新知,A,B,C,D,3.如圖，在正方體中指出各對向量的夾角。,例題講解,例1 如圖：已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于1，

4、點E、F分別是AB、AD的中點.計算：,例題講解,例2 在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它和這條斜線垂直.,已知：如圖，PO、PA 分別是平面 的垂線、斜線,AO是PA在平面 內(nèi)的射影， . 求證：,分析：用向量來證明兩直線垂直，只需要證明兩直線的方向向量的數(shù)量積為零即可。,請同學們適當取向量嘗試看看！,例題講解,例2 在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它和這條斜線垂直.,已知：如圖，PO、PA 分別是平面 的垂線、斜線,AO是PA在平面 內(nèi)的射影， . 求證：,分析：用向量來證明兩直線垂直，只需要證明兩直線的方向向量的數(shù)量積為零即可。,請

5、同學們適當取向量嘗試看看！,例題講解,逆命題成立嗎?,證明：在直線 上取向量 ，只需要證明 即可,例題講解,m,n,例3 已知直線m，n是平面 內(nèi)的兩條相交直線，如果 ，求證：,分析：要證明一條直線與一個平面垂直,由直線與平面垂直的定義可知,就是要證明這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直.,例題講解,，即 垂直于平面 內(nèi)任意直線.所以,證:在 內(nèi)作不與 重合的任一直線 ,在 上取非零向量 因 與 相交,故向量 不平行,由共面向量定理,存在唯一實數(shù) ,使,例題講解,空間向量的運用還經(jīng)常用來判定空間垂直關(guān)系, （1）證明兩直線垂直常可轉(zhuǎn)化為證明以這兩條線段對應的向量的數(shù)量積為零. （2）證明一條直線與一個平面垂直,常轉(zhuǎn)化為這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直.即證明這條直線所對應的向量分別與平面內(nèi)兩條相交直線所對應的向量的數(shù)量積為零.,運用空間向量判定空間垂直關(guān)系,課堂小結(jié),課堂小結(jié) 知識： 1正確分清楚空間向量的夾角。 2兩個向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)和計算方法。 3