1、小學(xué)數(shù)學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”教學(xué)研究,任敏龍 杭州市上城區(qū)教育學(xué)院,一莢豌豆有幾粒？ （二上年級(jí)）,一莢豌豆有幾粒呢？猜一猜。 在作業(yè)紙上寫下來。,生1：我猜是5粒，我估計(jì)那么一夾大概有5粒。 生2：我猜3粒，我上次剝到過3粒的豌豆。 生3：我猜是24粒，因?yàn)?粒，3粒和4粒的豌豆我都吃到過的。 生4：6粒的我也吃到過的。,請(qǐng)小朋友們拿出一夾豌豆，剝一剝，數(shù)一數(shù)，把結(jié)果記錄下來。,學(xué)生剝豆的結(jié)果有：2粒、3粒、4粒、5粒、6粒、7粒，其中4粒5粒居多 。 看了大家的剝豆結(jié)果，有沒有人想修改你的猜測的，當(dāng)然也可以不變。 生1：我改成5了，因?yàn)?粒的最多。 生2：我改成46，因?yàn)榇蟛糠秩硕际莿兊?6粒的

2、。 生3：我改成27了，因?yàn)槎伎赡堋?那么一般有幾粒呢？要解決這個(gè)問題，怎么辦？,兩人組活動(dòng)要求： 1.每人再剝5夾豌豆，邊剝邊記錄在表1 2. 說說你們發(fā)現(xiàn)了什么？ 表1: 我的記錄單,生1：我剝到的有2粒、3粒、3粒、4粒、5粒。 生2：我剝到分別是2、3、4、5、6粒，正好5種情況。 師：大家同樣剝了5莢豌豆，為什么會(huì)出現(xiàn)不一樣的情況？,運(yùn)氣解釋與概率解釋,生3：因?yàn)槲覀兊倪\(yùn)氣不一樣。 生4：因?yàn)橥愣苟际潜浑S便拿出來剝的，不是事先規(guī)定好的，如果事先放好5莢，比如說分別是2、3、4、5、6粒的，那么大家就都一樣了，隨便拿出來就不一定了。,師：兩人剝的10莢豆子數(shù)會(huì)出現(xiàn)這六種情況嗎？ 生7：

3、如果老師放豌豆的時(shí)候就放好六種情況，就會(huì)出現(xiàn)，如果不是故意弄好的就不一定。 生8：老師又沒有剝開來看過，怎么可能故意弄好呢？ 師：是，老師確實(shí)沒有故意弄好。,小樣本量反映數(shù)據(jù)總體的局限性,生9：我們兩人6種情況都出現(xiàn)了。 生10：我們兩人只出現(xiàn)了5種情況。 師：與一個(gè)人剝的時(shí)候有什么不同？ 生11：因?yàn)閯兊那v數(shù)多，有了6種情況都出現(xiàn)的小組，但還是有小組沒有出現(xiàn)6種情況的。,四人組活動(dòng)要求： 1.組長負(fù)責(zé)，匯總，完成表2。 2.交流、記錄你們的發(fā)現(xiàn)。 表2,我們的發(fā)現(xiàn)： 。,全班匯總140莢（excel）,你發(fā)現(xiàn)了什么？,生1：我發(fā)現(xiàn)剛才我們沒有剝到1粒的，現(xiàn)在我們剝的多，有1粒的豌豆。,生2：

4、我發(fā)現(xiàn)8粒9粒的豌豆沒有。,生3：我覺得應(yīng)該修改一下剛才我們的結(jié)論，應(yīng)該是1粒7粒。,大樣本與小概率事件發(fā)生,你發(fā)現(xiàn)了什么？,生4：我發(fā)現(xiàn)4粒5粒的豌豆最多，1粒的最少，7粒的也比較少。,正態(tài)分布、眾數(shù),剛才我們沒有剝到8粒的豌豆，那么你們認(rèn)為8粒的豌豆有嗎？,生1：我想可能有的吧？ 生2：如果豌豆長一點(diǎn)的話，應(yīng)該可以找到8粒的。 生3：有的，我就剝到過差不多8粒的豌豆。 師：什么叫差不多8粒的豌豆？,生3：我以前吃到過一夾豌豆，剝出來后一共有8粒的，其中有1粒是很小的，不算這個(gè)小的豆子，就是7粒了，我爸爸也看到的。 師：和這位小朋友一樣，我也吃到過8粒的豌豆。 生：我也吃到過（幾個(gè)學(xué)生應(yīng)和）

5、。,那9粒一莢的豌豆有嗎？,生1：（有點(diǎn)遲疑）應(yīng)該也有的吧？ 生2：估計(jì)很長的豌豆有9粒的。 師：有沒有人認(rèn)為一定沒有9粒的？ 生：（搖頭）沒有。,那20粒一夾的豌豆有嗎？,師：那20粒一夾的豌豆有嗎？ 生：（開心地笑）那肯定沒有的。 生1：如果20粒的話估計(jì)要很長很長了（做手勢）那么長的豌豆我沒有看到過。 生2：20粒的豇豆倒有的。,那20粒一夾的豌豆有嗎？,師：說得很有道理，目前世界上還沒有一夾豌豆有20粒報(bào)道。但說不定以后會(huì)有的，就像袁隆平爺爺培育的水稻一樣，稻穗是越來越大，對(duì)嗎？（學(xué)生認(rèn)同），到時(shí)候要是能吃上那么大的豌豆就好了。,如果剝這樣的豌豆100夾，那么4粒5粒的豌豆大概有多少呢

6、？,生：剛才我們剝豆140莢，4粒5粒加起來74莢，大概一半，50莢。 頻率：74莢/140莢50%。 概率：任意剝一莢豌豆，剝到4粒5粒的可能性是50%。 頻數(shù)：100莢的50%是50。,頻率與概率,討論：樣本大小與變異,剝1莢； 剝5莢； 小組匯總交流； 全班匯總交流。,摸1個(gè)； 摸5個(gè)； 小組匯總交流； 全班匯總交流。,新課標(biāo)“四基”,基礎(chǔ)知識(shí) 基本技能 基本思想方法 基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),能否用這樣的題材來教學(xué)眾數(shù)？,能否用這樣的題材來教學(xué)可能性？,（1）從這140夾豌豆中任取一莢。說說你取到的豌豆的情況。,請(qǐng)從下面的角度用“一定”、“可能”、“不可能”說說事件發(fā)生的結(jié)果,（2）再剝1000莢

7、。說說這1000莢豌豆的情況。,請(qǐng)從下面的角度用 “一定”、“可能”、“不可能”說說事件發(fā)生的結(jié)果,可以細(xì)化的提問,繼續(xù)剝，會(huì)出現(xiàn)5粒的莢數(shù)比4粒多的情況嗎？ 如果剝1000莢，圖可能是怎樣的？ 繼續(xù)調(diào)查，有可能剝到8粒一莢的豌豆嗎？ 繼續(xù)調(diào)查，再任意剝一莢，剝到8粒的可能性大嗎？,（3）如果好心的攤主盡挑好的賣給你，說說你買到的豌豆的情況以及你的看法。,請(qǐng)從下面的角度用 “一定”、“可能”、“不可能”說說事件發(fā)生的結(jié)果,統(tǒng)計(jì)學(xué)是關(guān)于收集和分析數(shù)據(jù)的科學(xué)和藝術(shù)。 大不列顛百科全書,你知道嗎？,螞蟻搬家要下雨。,今天我看到螞蟻搬家， 是否一定會(huì)下雨？,統(tǒng)計(jì)推斷：一種什么樣的推理？ 雖然不象邏輯推

8、理那樣有100%的把握，但它可以使我們?cè)诔ＷR(shí)的范圍內(nèi)不能作選擇的地方作出某種決策，而且提供足夠的信心。,合情推理,哈利波特放映第一周觀眾人數(shù)統(tǒng)計(jì)圖,統(tǒng)計(jì)推理,討論形成的主要觀點(diǎn),培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)推理能力，首先要幫助學(xué)生形成把數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)產(chǎn)生的背景相聯(lián)系的意識(shí)； 其次要幫助學(xué)生從已有的數(shù)據(jù)信息中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)而利用規(guī)律推理； 再次要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)據(jù)的隨機(jī)性，利用表示可能性大小程度的語詞描述推測的結(jié)果。,預(yù)測30屆奧運(yùn)會(huì)中國金牌數(shù),平、升、降都有道理，關(guān)鍵是哪種可能性更大！別讓學(xué)生誤解了統(tǒng)計(jì)推理！,數(shù)據(jù)分析觀念,了解在現(xiàn)實(shí)生活中有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析作出判斷，體會(huì)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵著信

9、息；了解對(duì)于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題背景選擇合適的方法；通過數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性，一方面對(duì)于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計(jì)的核心。,統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)路線圖,統(tǒng)計(jì)與概率如何聯(lián)系？,統(tǒng)計(jì)教學(xué)三個(gè)系列,提出問題，收集和整理數(shù)據(jù)：對(duì)信息的分類(滲透抽樣) ；對(duì)信息的信度和效度判斷；整理數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)分布）；設(shè)計(jì)調(diào)查方法（抽樣）。 用統(tǒng)計(jì)圖表描述數(shù)據(jù)：表；條形、折線、扇形統(tǒng)計(jì)圖。 用集中量刻畫數(shù)據(jù)特征：平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)（反映數(shù)據(jù)分布）。,概率教學(xué)兩個(gè)系列,排列與搭配：有序列舉；排列；搭配；簡單排列搭配的算法化；解決實(shí)際問題。

10、 可能性：定性描述；定量刻畫；頻率與概率關(guān)系的可能性試驗(yàn)。,實(shí)踐與綜合一個(gè)系列,用統(tǒng)計(jì)圖表描述數(shù)據(jù),重兩頭，弱中間；先“讀”后“制”，以“讀”為主，相互促進(jìn)。 圖表學(xué)習(xí)中的對(duì)應(yīng)（行列交匯）。 單式圖學(xué)習(xí)重視反映數(shù)據(jù)優(yōu)越性體會(huì)，復(fù)式圖學(xué)習(xí)突出利于比較。 折線圖學(xué)習(xí)重視變化速度與折線的“陡”“緩”關(guān)系。,統(tǒng)計(jì)表的形成和設(shè)計(jì),分類,設(shè)計(jì)一種反饋工具,卡紙,雙面膠,用粉筆滾一下,統(tǒng)計(jì)表：與分類同構(gòu),用兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)將下面數(shù)據(jù)分類,兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)作縱橫欄表目,坐標(biāo)系中確定位置。 搭配在表中的體現(xiàn)。,項(xiàng)目,班級(jí),人數(shù),A,B,C,D,三（1）班,三（2）班,三（3）班,三（4）班,折線統(tǒng)計(jì)圖的變量選擇,陳東0-10歲

11、身高情況統(tǒng)計(jì)表,折線統(tǒng)計(jì)圖,身高/厘米,年齡/歲,陳東0-10歲身高情況統(tǒng)計(jì)圖,估計(jì)陳東5歲半時(shí)的身高,身高/厘米,年齡/歲,110,為什么可以這樣估計(jì)？,身高/厘米,年齡/歲,110,推斷過程,數(shù)據(jù)的按年齡分段抽樣。 建立假設(shè)，根據(jù)已有數(shù)據(jù)推斷。 推斷緊密聯(lián)系數(shù)據(jù)產(chǎn)生背景。,折線圖的變量分析,估計(jì)二月月中的銷售額,折線圖的變量分析,估計(jì)到二月月中時(shí)的累計(jì)銷售額,病人A體溫變化記錄統(tǒng)計(jì)圖,病人B體溫變化記錄統(tǒng)計(jì)圖,病人C體溫變化記錄統(tǒng)計(jì)圖,明明體溫變化記錄統(tǒng)計(jì)圖,聰聰體溫變化記錄統(tǒng)計(jì)圖,病人C體溫變化記錄統(tǒng)計(jì)圖,姓名：明明 經(jīng)過治療，體溫下降，但又出現(xiàn)了反復(fù)，要進(jìn)一步治療。,姓名：聰聰 經(jīng)過治

12、療，體溫逐漸下降，趨于正常，病情好轉(zhuǎn)。,杭州某商店太陽眼睛銷量統(tǒng)計(jì)圖,廠家,某地區(qū)某商店太陽眼睛銷量統(tǒng)計(jì)圖,杭州某商店太陽眼睛銷量統(tǒng)計(jì)圖,綜合觀察這兩張統(tǒng)計(jì)圖， 你又能獲得哪些新的信息？,激發(fā)矛盾：坡度不同刻度不同,系列三：用集中量刻畫數(shù)據(jù)特征,中位數(shù)：在一組按大小順序排列起來的數(shù)據(jù)中居中間位置的數(shù)值，叫中位數(shù)。眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的一個(gè)數(shù)值，叫眾數(shù)。,緊密聯(lián)系實(shí)際，注重早期滲透。 重視幾何直觀，分析數(shù)據(jù)分布，評(píng)估（統(tǒng)計(jì)量）表征優(yōu)劣。,算術(shù)平均數(shù),優(yōu)點(diǎn)：對(duì)數(shù)據(jù)變化反應(yīng)靈敏性；唯一確定性；可進(jìn)一步代數(shù)運(yùn)算；受抽樣變動(dòng)影響較小。 缺點(diǎn)：易受極端值影響；有數(shù)據(jù)不確切時(shí)無法計(jì)算。 絕大部分情

13、況下是一個(gè)良好的集中量。,中位數(shù)（位置平均數(shù)）,按照大小順序排列的一組數(shù)據(jù)中，處在中間位置的數(shù)值叫做中位數(shù)。當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，。 優(yōu)點(diǎn)：不易受極端數(shù)據(jù)影響；唯一確定；易算易懂；受抽樣變動(dòng)影響較小。 缺點(diǎn)：不適合進(jìn)一步代數(shù)運(yùn)算。 適用于有極端值或個(gè)別數(shù)據(jù)不確切。,眾數(shù),一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)。 優(yōu)點(diǎn)：不受極端數(shù)據(jù)影響；簡明易懂。 缺點(diǎn)：受抽樣變動(dòng)影響較大；受組距設(shè)定的變化影響較大；不適合進(jìn)一步代數(shù)運(yùn)算。 缺點(diǎn)較多，適用范圍十分狹窄。,關(guān)于集中量的討論,平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)：反映數(shù)據(jù)分布集中趨勢的量。 數(shù)據(jù)分布如何反映？用什么？學(xué)生如何體會(huì)數(shù)據(jù)分布特點(diǎn)？ 何謂集中趨勢？學(xué)生如何體會(huì)？ 它們

14、反映數(shù)據(jù)特征各有什么優(yōu)缺點(diǎn)？ 什么是“一般水平”？,集中量：平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù),次數(shù)分布有集中趨勢和離中趨勢。 集中趨勢是指數(shù)據(jù)向分布中心集中的趨勢，集中趨勢體現(xiàn)了數(shù)據(jù)的重心，數(shù)據(jù)總是圍繞這個(gè)重心擺動(dòng)。 集中量就是描述數(shù)據(jù)的集中趨勢或典型水平的指標(biāo)。,確定重心必須根據(jù)數(shù)據(jù)的分布情況,感覺如何？,張叔叔最近三周乘公交車上班所需的時(shí)間統(tǒng)計(jì)表,36,37,37,39,39,39,39,40,41,41,42,42,63,65,43,張叔叔乘公交車上班通常需要幾分鐘？,36 37 37 39 39 39 39 40 41 41 42 42 43 63 65,張叔叔最近三周乘公交車上班所需的時(shí)間統(tǒng)計(jì)表

15、,36 37 37 38 39 39 39 39 40 40 41 41 41 41 42 42 43 59 63 65,張叔叔最近四周乘公交車上班所需的時(shí)間統(tǒng)計(jì)表,北師大版：三下年級(jí),人教版：三下年級(jí),北師大版：三下年級(jí),移多補(bǔ)少：各個(gè)數(shù)據(jù)域平均數(shù)的代數(shù)和為0。 一組數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的偏差（距離）總和最小。,各挑一人比即可，即本組一般水平。,怎么比？能不能變成一個(gè)人？,市青少年射擊選拔賽成績表,選哪三位選手參加省的比賽？為什么？,射擊選拔賽成績分析表,你選誰？,數(shù)據(jù)的理論分析脫離現(xiàn)實(shí)背景引起誤導(dǎo),哪種游戲獲獎(jiǎng)的可能性大？,拋一枚普通硬幣一次，正面朝上獲獎(jiǎng)。,擲一枚普通骰子一次，點(diǎn)子數(shù)“1”朝上

16、獲獎(jiǎng)。,袋子里有完全相同的7個(gè)黃色球和3個(gè)藍(lán)色球，任意摸出一個(gè)球，摸出黃色球獲獎(jiǎng)。,正面 反面,古典概率：學(xué)生如何理解,工具性理解：硬幣有兩面，正面是其中之一，一次拋擲是1/2（1/2次）。 活動(dòng)性理解：硬幣一次拋擲有2種可能 正面朝上是其中一種，可能性是1/2。 等可能困難：一次摸球有2種可能結(jié)果，黃球或藍(lán)球，摸到藍(lán)球是1/2 。,對(duì)分?jǐn)?shù)的意義解釋應(yīng)如何把握？,轉(zhuǎn)一次轉(zhuǎn)盤，得一等獎(jiǎng)的可能性為 ，得二等獎(jiǎng)的可能性為 ，得三等獎(jiǎng)的可能性為 。,紅色：一等獎(jiǎng)藍(lán)色：二等獎(jiǎng)黃色：三等獎(jiǎng),設(shè)計(jì)游戲轉(zhuǎn)盤,幾何概率：潛在的困難,幾何概率：連續(xù)變量。 與第一環(huán)節(jié)交換：分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)和意義教學(xué)的影響。 要注意建立分

17、數(shù)意義“平均分”與等“可能性”之間的類比。強(qiáng)調(diào)用分?jǐn)?shù)表示可能性大小的前提。,可能性大小可以用直線上的點(diǎn)來表示。,0,1,一定,不可能,袋子里有完全相同的黃色球和藍(lán)色球共10個(gè)。,藍(lán)色 黃色,猜一猜，兩種顏色的球各有多少個(gè)？,猜球游戲,游戲規(guī)則：閉上眼，一次摸出一個(gè)，看后放回去，搖勻后可以再摸。,通過摸球你想知道什么？,想知道：哪種多？各占幾分之幾？ 基礎(chǔ)：直覺較多的摸出機(jī)會(huì)比較大；經(jīng)驗(yàn)袋中3紅2黃，100次試驗(yàn)?zāi)姆N球摸出次數(shù)會(huì)多些？ 你認(rèn)為可能知道嗎？ 多少有可能，10次夠了； 幾分之幾不可能，不會(huì)正好。,活動(dòng)要求,閉上眼，輪流摸，小組共摸20次。 步驟： 1.摸出一個(gè)球，記錄，放回； 2.搖

18、勻，重復(fù)第一個(gè)步驟； 3.統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，再猜一猜：兩種球各有多少個(gè)？ 4.組長把統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)輸入教師電腦。,(每個(gè)袋子里黃球個(gè)數(shù)相同、藍(lán)球個(gè)數(shù)相同),小組活動(dòng)記錄單,問題：兩種顏色的球各有多少個(gè)？,活動(dòng)成果的匯報(bào)與討論,哪種球比較多？怎么想的？ 只有一組數(shù)據(jù)你有把握嗎？ 說說猜測的方法。2,活動(dòng)成果的匯報(bào)與討論,摸更多更有把握。把全部數(shù)據(jù)加起來作為一個(gè)組摸球數(shù)量。再猜。,出現(xiàn)黃球、藍(lán)球次數(shù)占總次數(shù)的幾分之幾,你有什么發(fā)現(xiàn)？,黃球7個(gè)、藍(lán)球3個(gè)。因?yàn)椴▌?dòng)越來越平，接近7/10、3/10。 試驗(yàn)“次數(shù)少波動(dòng)大，次數(shù)多波動(dòng)小”。黃球次數(shù)/總次數(shù)7/10。 這個(gè)7/10前面出現(xiàn)過。想一想，它們有什么不一樣？ 一個(gè)精確，一個(gè)接近；一個(gè)“做”出來的，一個(gè)是“想”出來。,拋一枚普通硬幣試驗(yàn),歷史上一些著名數(shù)學(xué)家做拋硬幣試驗(yàn)的數(shù)據(jù),可能性大小,摸球試驗(yàn),用分?jǐn)?shù)表示,誰多誰少？ 各占幾分之幾？,次數(shù)少波動(dòng)大，次數(shù)多波動(dòng)小,討論：樣本大小與變異,剝1莢； 剝5莢； 小組匯總交流； 全班匯總交流。,摸1個(gè)； 摸5個(gè)； 小組匯總交流；