1、1,函數(shù)的孤立奇點(diǎn)及其分類(P193),一、函數(shù)孤立奇點(diǎn)的概念及其分類 二、函數(shù)各類孤立奇點(diǎn)的充要條件 三、用函數(shù)的零點(diǎn)判斷極點(diǎn)的類型 四*、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài),2,例1,是函數(shù),的孤立奇點(diǎn).,一 、函數(shù)孤立奇點(diǎn)的概念及其分類,3,解,的奇點(diǎn)存在,函數(shù)的奇點(diǎn)為,總有,4,5,定義1 若Laurent級數(shù)(5-1-1)中所含(z-z0)的負(fù)冪項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)分別為 1）零個， 2）有限個， 3）無窮多個， 則分別稱z0為f(z)的可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)和本性奇點(diǎn)。且當(dāng)z0為極點(diǎn)時，若級數(shù)中負(fù)冪的系數(shù)c-m0 并且cn=0(n=-m-1,-m-2, ), 則稱z0為f(z)的m級極點(diǎn)，一級極點(diǎn)又稱為簡單極點(diǎn)。,

2、6,1 可去奇點(diǎn),如果Laurent級數(shù)中不含 的負(fù)冪項(xiàng),則稱孤立奇點(diǎn) 稱為 的可去奇點(diǎn).,定義,二、函數(shù)各類孤立奇點(diǎn)的充要條件,7,可補(bǔ)充定義,存在，,則 必是 的可去奇點(diǎn)。,(由于這個原因，因此把這樣的奇點(diǎn)z0叫做 f(z) 的可去奇點(diǎn)。),這樣得到下面的結(jié)論：,8,由定義判斷:,冪項(xiàng),由有界性判斷：,的可去奇點(diǎn)的充要條件為,注：函數(shù)f(z)的可去奇點(diǎn)z0看作它的解析點(diǎn)，且規(guī)定,9,解,無負(fù)冪項(xiàng),另解,10,由于z=0為函數(shù) 的可去奇點(diǎn)，且當(dāng)z0時，f(z)1，因此可補(bǔ)充定義 f(0)=1，使 f(z) 在整個復(fù)平面上處處解析。,11,如果補(bǔ)充定義:,時,12,Schwarz 引理,13,

3、2 極點(diǎn),其中關(guān)于,的最高冪為,即,的(m級)極點(diǎn).,那末孤立奇點(diǎn),稱為函數(shù),定義,如果Laurent級數(shù)中只有有限多個,的,負(fù)冪項(xiàng),14,則,由極點(diǎn)的定義,15,注意到:,由此可得：,16,的極點(diǎn)的充要條件是,為函數(shù),例,有理分式函數(shù),是二級極點(diǎn),是一級極點(diǎn).,由此也得：,17,的Laurent展開式中含有,的負(fù)冪項(xiàng)為有限項(xiàng).,在點(diǎn) 的某去心鄰域內(nèi),其中 在 的鄰域內(nèi)解析, 且,由定義判別：,由定義的等價形式判別：,由極限判別：,判斷 .,18,例如 是函數(shù) 的二級極點(diǎn)，這里,19,解,注意: 不能以函數(shù)的表面形式作出結(jié)論 .,解析且,20,定理 點(diǎn) 為 的 階極點(diǎn)的充要條件為 是 的 階零

4、點(diǎn)。,推論2 若點(diǎn) 為函數(shù) 的 階零點(diǎn)(k=1,2)，則 z0為函數(shù) 的 階零點(diǎn)；當(dāng) 時， z0為函數(shù) 的 階極點(diǎn)。,注意： 若函數(shù) 在點(diǎn) 解析， ，則當(dāng) 為函數(shù) 的 階零點(diǎn)或 階極點(diǎn)時， 也分 別是函數(shù) 的 階零點(diǎn)或 階極點(diǎn)。,21,解,這些奇點(diǎn)是,孤立奇點(diǎn).,上述定理為判斷函數(shù)的極點(diǎn)提供了一個較為簡便的方法.,22,例3 求下列函數(shù)孤立奇點(diǎn)的類型，并指出極點(diǎn)級數(shù) （2） 解： 顯然 和 是函數(shù) 的孤立奇點(diǎn)，分別取 和,則可見z=1和z=-1分別是f2(z)的二階極點(diǎn)和三階極點(diǎn)。,23,（4） 解： 點(diǎn) 為 的一級零點(diǎn); 函數(shù) 的零點(diǎn)為 ， 且 在這些點(diǎn)處不為零，由定理，這些點(diǎn)為函數(shù) 的一級

5、零點(diǎn)。由定理2的推論2， 為函數(shù) 的二級零點(diǎn)，又由推論1及其注意， 它為 的二級極點(diǎn)，而 為 的簡單極點(diǎn)。,24,練習(xí),求,的奇點(diǎn), 如果是極點(diǎn), 指出它的,級數(shù).,答案,25,3 本質(zhì)（性）奇點(diǎn),則孤立奇點(diǎn),稱為,的本性奇點(diǎn).,若Laurent級數(shù)中含有無窮多個,的負(fù)冪項(xiàng),例如，,含有無窮多個z的負(fù)冪項(xiàng),同時,不存在.,26,例,為f(z)的本性奇點(diǎn)，因?yàn)椋?27,綜上，當(dāng)z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)時，可用極限 值存在有限、為 、不存在，來區(qū)分奇點(diǎn)是可 去奇點(diǎn)、極點(diǎn)還是本性奇點(diǎn)。,28,綜上所述:,孤立奇點(diǎn),可去奇點(diǎn),m級極點(diǎn),本性奇點(diǎn),Laurent級數(shù)的特點(diǎn),存在且為 有限值,無負(fù)冪項(xiàng),含

6、無窮多個負(fù)冪項(xiàng),不存在,29,4 、 解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì),定義 如果函數(shù) 在區(qū)域 內(nèi) 解析，則稱無窮遠(yuǎn)點(diǎn) 為 的孤立奇點(diǎn)。 在 內(nèi)， 的羅倫展開式為 作變換 ，則在 內(nèi)的解析函數(shù) 的羅朗展開式為：,30,定義 如果 是函數(shù) 的可去奇點(diǎn)， 極點(diǎn)或者本性奇點(diǎn)，則 分別稱是 的 可去奇點(diǎn)，(m級)極點(diǎn)或者本性奇點(diǎn). 因此 （1）如果當(dāng) 時， ,那么稱z= 為函數(shù) 的可去奇點(diǎn)； （2）如果只有有限（至少有一個）正整數(shù) ， 使得 ，那么稱z=是函數(shù)f(z)的極點(diǎn)。,（3）如果有無窮多個正整數(shù) ，使得 ， 那么稱z=是函數(shù)f(z)的本性奇點(diǎn)。,31,當(dāng)z=是函數(shù) f(z) 的極點(diǎn)時,設(shè)對于正整數(shù)m， cm0, 且當(dāng)km時，ck=0，此時稱z=是函數(shù) f(z)的m級極點(diǎn)。 特別地，當(dāng)m=1時，稱z=是函數(shù)f(z)的單極點(diǎn)。,32,定理3 設(shè)函數(shù) 在區(qū)域： 內(nèi)解 析,那么 是函數(shù) 的可去奇點(diǎn)，極點(diǎn) 或者本性