1、2.3.1 離散型隨機變量的均值,復習回顧,1、離散型隨機變量的分布列,2、離散型隨機變量分布列的性質(zhì)：,(1)1pi0，i1，2，； (2)p1p2pi1,引入,對于離散型隨機變量，可以由它的概率分布列確定與該隨機變量相關事件的概率。但在實際問題中，有時我們更感興趣的是隨機變量的某些數(shù)字特征。例如，要了解某班同學在一次數(shù)學測驗中的總體水平，很重要的是看平均分；要了解某班同學數(shù)學成績是否“兩極分化”則需要考察這個班數(shù)學成績的方差。 我們還常常希望直接通過數(shù)字來反映隨機變量的某個方面的特征，最常用的有期望與方差.,問題：某人射擊10次，所得環(huán)數(shù)分別是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；則所

2、得的平均環(huán)數(shù)是多少？,把環(huán)數(shù)看成隨機變量的概率分布列：,權數(shù),加權平均,按3：2：1的比例混合,18元/kg,?,24元/kg,36元/kg,定價為混合糖果的平均價格才合理,按3：2：1的比例混合,18元/kg,24元/kg,36元/kg,平均價格為,按3：2：1的比例混合,18元/kg,24元/kg,36元/kg,把3種糖果的價格看成隨機變量的概率分布列：,離散型隨機變量取值的平均值,數(shù)學期望,一般地，若離散型隨機變量X的概率分布為：,則稱,為隨機變量X的均值或數(shù)學期望。它反映了離散型隨機變量取值的平均水平。,理解概念,可能取值的算術平均數(shù)為,隨機變量x的均值與x可能取值的算術平均數(shù)何時相等

3、,?,舉例 隨機拋擲一個骰子，求所得骰子的點數(shù)X的均值。,隨機變量的均值是常數(shù)，而樣本的平均值隨 著樣本的不同而變化，因而樣本的平均值是 隨機變量； 對于簡單隨機樣本，隨著樣本容量的增加， 樣本的平均值越來越接近總體的平均值，因 此，我們常用樣本的平均值來估計總體的平 均值。,設YaXb，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機變量 （1） Y的分布列是什么？ （2） EY=？,思考：,一、離散型隨機變量取值的平均值,數(shù)學期望,二、數(shù)學期望的性質(zhì),基礎訓練,1、隨機變量的分布列是,(1)則E= .,2、隨機變量的分布列是,2.4,(2)若=2+1，則E= .,5.8,E=7.5,則a= b= .,0.4

4、,0.1,例1.籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分已知某運動員罰球命中的概率為0.7，則他罰球1次的得分X的均值是多少？,一般地，如果隨機變量X服從兩點分布，,則,小結：,例2.籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分已知某運動員罰球命中的概率為0.7，他連續(xù)罰球3次； （1）求他得到的分數(shù)X的分布列； （2）求X的期望。,解：,(1) XB（3，0.7）,(2),一般地，如果隨機變量X服從二項分布，即XB（n,p），則,小結：,證明：,所以,若B(n，p)，則Enp,證明：若B(n，p)，則Enp,知識應用：,例6 (14年四川高考) 一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤

5、游戲都需要擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分（即獲得-200分）.設每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立. （）設每盤游戲獲得的分數(shù)為，求的分布列； （）玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？ （）玩過這款游戲的許多人發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分數(shù)相比，分數(shù)沒有增加反而減少了.請運用概率統(tǒng) 計的相關知識分析分數(shù)減少的原因.,解：,例3.一次數(shù)學單元測驗由20個選擇題構成，每個選擇題有4個選項，其中有且只有一個選項是正確答案，每題選擇正

6、確答案得5分，不作出選擇或選錯不得分，滿分100分，學生甲選對任一題的概率為0.9，學生乙則在測驗中對每題都從4個選項中隨機地選擇一個。求學生甲和乙在這次數(shù)學單元測驗中的成績的期望。,甲選對題數(shù)為,乙選對題數(shù)為,歸納求離散型隨機變量均值的步驟：,、確定離散型隨機變量可能的取值。,、寫出分布列，并檢查分布列的正確與否。,、求出均值。,例4. 決策問題：根據(jù)氣象預報，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01，該地區(qū)某工地上有一臺大型設備，遇到大洪水時要損失60000元，遇到小洪水時要損失10000元。為保護設備，有以下種方案： 方案1：運走設備，搬運費為3800元。 方案2：建

7、保護圍墻，建設費為2000元，但圍墻只能 擋住小洪水。 方案3：不采取措施，希望不發(fā)生洪水。 試比較哪一種方案好。,決策的準則 由于結果的不確定性，原則之一就是：比較各種決策的“平均”好處，哪種決策的平均好處大，就選哪一種。即哪個決策的期望值大，就選擇哪一種。 例：在一個潮濕的雙休日早晨，你想步行會一個 朋友。由于擔心可能會下雨，準備帶上雨傘?？?能采取的行動有兩種：帶上雨傘或把雨傘留在家 里，決策模型中稱之為“策略或方案”。 碰到的天氣情況也有兩個：下雨和不下雨， 決策模型中稱之為“狀態(tài)或事件”。面對以上兩個 策略和兩種狀態(tài)，有且僅有四種結果： 帶了雨傘，下雨了； 帶了雨傘，沒下雨； 把雨傘

8、留下，下雨了。 把雨傘留下，沒下雨。,類似這樣的決策問題，我們稱之為“風險型”決策問題。 特點是，決策中可能碰到的各種自然狀態(tài)（為決策者所不可控因素），其發(fā)生的概率是已知的，或者是可以估算出來。決策的準則就是“期望值”原則，對收益來說，期望值越大越好，對損失來說，期望值越小越好。當然這類決策問題是存在一定的風險的。,析:審清題意是解決該題的關鍵. 1.抓住蠅子一個個有順序地飛出,易聯(lián)想到把8只蠅子看作8個元素有序排列. ，由于=0“表示 ”，最后一只必為 果蠅，所以有=1“表示 ” P （=0 ） = ，同理有P （=1 ）= =2“表示 ”有P （=2）= =3“表示 ”有P （=3）= =4“表示 ”有P （=4）= =5“表示 ”有P （=5）= =6“表示 ”有P （=6）=,例7、（07，重慶）某單位有三輛汽車參加某種事故保險，單位年初向保險公司交納900元的保險金，對在一年內(nèi)發(fā)生此種事故的每輛汽車，單位可獲9000元的賠償（假設每輛車最多只賠償一次）。設這三輛車在一年內(nèi)發(fā)生此種事故的概率分別為1/9、1/10、1/11，且各