1、第三章 隨機(jī)變量與概率分布,隨機(jī)變量及其種類 概率分布 正態(tài)分布 二項分布,隨機(jī)變量及其種類,隨機(jī)變量（random variable） 在一定范圍內(nèi)隨機(jī)取值的變量 以一定的概率分布取值的變量 分類 離散型(discrete)隨機(jī)變量：只取有限個可能值（通常為整數(shù)） 例：發(fā)病個體數(shù)，產(chǎn)仔數(shù) 連續(xù)型(continuous)隨機(jī)變量：在一定范圍內(nèi)可取無限個可能值（實數(shù)） 例：產(chǎn)奶量，體長，日增重,概率分布,概率函數(shù)(probability function) 隨機(jī)變量取某一特定值的概率函數(shù)（離散型隨機(jī)變量） 概率密度函數(shù)(probability density function) 隨機(jī)變量取某一特

2、定值的密度函數(shù)（連續(xù)型隨機(jī)變量） 概率分布函數(shù)(probability distribution function) 隨機(jī)變量取值小于或等于某特定值的概率,離散型隨機(jī)變量的概率分布,概率函數(shù),X ：隨機(jī)變量，x：該隨機(jī)變量的某一可能取值,概率分布函數(shù),離散型隨機(jī)變量的概率分布,例1：擲一次骰子所得點(diǎn)數(shù)的概率函數(shù),概率分布列,離散型隨機(jī)變量的概率分布,例2：擲二次骰子所得點(diǎn)數(shù)之和的概率分布,離散型隨機(jī)變量的概率分布,概率分布圖,離散型隨機(jī)變量的概率分布,隨機(jī)變量的期望(expectation) - 總體平均數(shù),對于例1：,離散型隨機(jī)變量的概率分布,期望的性質(zhì),(a是常量),1. 2. 3. 4.

3、,（當(dāng)X和Y彼此獨(dú)立）,離散型隨機(jī)變量的概率分布,隨機(jī)變量的函數(shù)的期望,設(shè)H(X)是隨機(jī)變量X的某個函數(shù),例：,對于例1：,離散型隨機(jī)變量的概率分布,隨機(jī)變量的方差(variance) - 總體方差,對于例1：,離散型隨機(jī)變量的概率分布,方差的性質(zhì) 1. Var(a) = 0 （a是常量） 2. Var(aX ) = a2Var(X ) 3. Var(X + Y ) = Var(X ) + Var(Y ) (X和Y彼此獨(dú)立） 4. Var(XY ) = Var(X )Var(Y ),/,連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布,概率密度函數(shù) 滿足以下條件的函數(shù)f (x)稱為連續(xù)性隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù):,(

4、x是X的任一可能取值),連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布,概率分布函數(shù),期望,方差,連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布,正態(tài)分布（normal distribution） 具有如下概率密度函數(shù)的隨機(jī)變量稱為正態(tài)分布隨機(jī)變量：, = 期望 2 = 方差,（可以證明這個函數(shù)滿足概率密度函數(shù)的3個條件）,正態(tài)分布,正態(tài)分布概率密度函數(shù)的幾何表示,正態(tài)曲線,f (x),x,曲線下某區(qū)間的面積即為隨機(jī)變量在該區(qū)間取值的概率,正態(tài)分布,正態(tài)分布的特點(diǎn) 只有一個峰，峰值在x = 處 曲線關(guān)于x = 對稱，因而平均數(shù)=眾數(shù)=中位數(shù) x軸為曲線向左、右延伸的漸進(jìn)線 由兩個參數(shù)決定： 平均數(shù) 和 標(biāo)準(zhǔn)差 決定曲線在x 軸上的位置

5、決定曲線的形狀,正態(tài)分布,平均數(shù)的影響,標(biāo)準(zhǔn)差的影響,正態(tài)分布,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(standard normal distribution),令,Z服從正態(tài)分布,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,對于,標(biāo)準(zhǔn)化,正態(tài)分布,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù),0,正態(tài)分布,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計算 附表1 (p. 274),正態(tài)分布,(1) P( Z u) 或 P(Z -u) (u 0),直接查表,正態(tài)分布,(2) P( Z -u) 或 P(Z u),查表,正態(tài)分布,(3) P( a Z b),或,例：設(shè) Z N(0, 1)，求 (1) P(Z 0.64) (2) P(Z 1.53) (3) P(-2.12 Z -0.53) (4

6、) P(-0.54 Z 0.84),正態(tài)分布,正態(tài)分布,P( -1 Z 1) = 68.26% P( -2 Z 2) = 95.45% P( -3 Z 3) = 99.73% P( -1.96 Z 1.96) = 95% P( -2.58 Z 2.58) = 99%,幾個特殊的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率,正態(tài)分布,68.3%,95.5%,99.7%,正態(tài)分布,對于給定的兩尾概率求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布在x軸上的分位點(diǎn) 附表2 （p. 276）,/2,/2,正態(tài)分布,用2 查附表2，可得一尾概率為 時的分位點(diǎn)u,對于給定的一尾概率求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布在x軸上的分位點(diǎn),正態(tài)分布,一般正態(tài)分布的概率計算 轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布計

7、算,例： 設(shè) X N(30, 102)，求P(X 40),X N( , 2),正態(tài)分布,P( - X + ) = 68.26% P( - 2 X + 2 ) = 95.45% P( - 3 X + 3 ) = 99.73% P( - 1.96 X + 1.96 ) = 95% P( - 2.58 X + 2.58 ) = 99%,幾個特殊的一般正態(tài)分布概率,正態(tài)分布,-3 -2 - + +2 +3,x,68.3%,95.5%,99.7%,偏度與峭度,偏度（skewness） 度量一個分布的對稱性的指標(biāo),峭度（kurtosis） 度量一個分布的尖峭或平坦程度的指標(biāo),（總體）,（樣本）,（總體）,（樣本）,離散型隨機(jī)變量的概率分布,二項分布（binomial distribution） 假設(shè)：1. 在相同條件下進(jìn)行了n次試驗 2. 每次試驗只有兩種可能結(jié)果（1或0） 3. 結(jié)果為1的概率為p，為0的概率為1-p 4. 各次試驗彼此間是獨(dú)立的 在n次試驗中，結(jié)果為1的次數(shù)（X = 0，1，2，n）服從二項分布，表示為,離散型隨機(jī)變量的概